浙江省绍兴市上虞区春晖中学2020-2021学年高二特长班上学期10月月考数学试题
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（1）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（2）求平面 与平面 构成的锐二面角的余弦值．
23．已知点 在椭圆 内，过 的直线 与椭圆 相交于A，B两点，且点 是线段AB的中点，O为坐标原点．
（Ⅰ）是否存在实数t，使直线和直线OP的倾斜角互补？若存在，求出的值，若不存在，试说明理由；
（Ⅱ）求 面积S的最大值．
13．二项式 的展开式中常数项是______；展开式中各项的二项式系数之和为______；各项的项的系数之和为______．
14．若从 、 、 、 、 这 个整数中同时取 个不同的数组成无重复数字的四位数，要求各个数位上的数字和为奇数，则可组成不同的四位数共有______个．
15．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)．
A． B． C． D．
10．若用5种不同颜色去涂五边形 的五点顶点，若相邻两点的颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）
A．1440B．1020C．1260D．1480
二、填空题
11．设 为虚数单位，复数 满足 ，则 ______．
12．某校将 名优秀团员名额分配给 个不同的班级，要求每个班级至少一个，则不同的分配方案有______种．
16．如图，已知 分别是正方形 的边 的中点，现将正方形沿 折成 的二面角，则异面直线 与 所成角的余弦值是_______．
17．某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教（每地1人），要求甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，则不同的选派方案有______种．
三、解答题
18．三棱柱 中，侧棱与底面垂直， ， ， ， 分别是 ， 的中点．
C．60D．72
7．已知直线 与圆 交于不同的两点 ， ，若 是坐标原点，且 ，则正实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
8．已知椭圆 : 的左、右焦点为 ， ，若过点 作倾斜角为 的直线 交椭圆 于 ， ，若 ，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
9．已知在矩形 中， ，沿直线BD将△ABD折成 ，使得点 在平面 上的射影在 内（不含边界），设二面角 的大小为 ，直线 , 与平面 中所成的角分别为 ，则（）
参考答案
1．C
【分析】
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】
则 ．故选C．
【点睛】
本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．
2．B
【分析】
利用组合数和排列数公式计算可得结果.
（1）求证： 平面 ．
（2）求证： 平面 ．
19．现有编号为 ， ， ， ， ， ， 的7个不同的小球．
（1）若将这些小球排成一排，且要求 ， ， 三个球相邻，则有多少种不同的排法？
（2）若将这些小球排成一排，要求 球排在中间，且 ， ， 各不相邻，则有多少种不同的排法？
（3）若将这些小球排成一排，要求 ， ， ， 四个球按从左到右排（可以相邻也可以不相邻），则有多少种不同的排法？
7．A
【分析】
如图，取 的中点为 ，由题设可得 到直线 的距离为 且 ，故可求 的取值范围.
【详解】
如图，取 的中点为 ，则 且 ，
故 即 ，
所以 ，故 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又直线和圆是相交的，故 ，所以 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，注意根据题设给出的向量关系得到弦心距满足的条件，本题属于基础题.
浙江省绍兴市上虞区春晖中学2020-2021学年高二特长班上学期10月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
2． （）
A． B． C． D．
∵焦距为4，
∴ 即 ，
在椭圆中： 即 ，解得： ，
故选：D
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程和 ， ， 满足的方程关系，是简单题.
6．D
ห้องสมุดไป่ตู้【解析】
试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有 种排法，所以奇数的个数为 ，故选D.
【考点】排列、组合
【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．
【详解】
.
故选：B.
【点睛】
本题考查排列数与组合数的计算，考查计算能力，属于基础题.
3．C
【分析】
本题直接运用二项式的展开式的通项公式计算即可.
【详解】
解：∵二项式 的展开式的通项公式为： ，
∴ 二项式 的展开式中第 项是： ，
故选：C
【点睛】
本题考查二项式的展开式的通项公式，是简单题.
4．D
【分析】
把复数的分母部分进行实数化即可， ，化简后即可得到对应点，进而得到答案.
【详解】
，
在复平面内对应的点为 ，
复数 在复平面内对应的点位于第四象限
答案选D.
【点睛】
本题考查复数的化简，属于简单题.
5．D
【分析】
本题根据已知判断出 ， ，再利用 直接解题即可.
【详解】
解：∵椭圆 的焦点在 轴上，
∴ ， ，
（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，至多3个球，则有多少种不同的放法？
20．已知虚数 满足 是实数，且 ．
（1）试求 的模；
（2）若 取最小值 时对应的复数 记为 ，试求
① 的值；
②求 的值．
21．用数学归纳法证明： .
22．如图，在四棱锥 中， 为正三角形，四边形 为直角梯形， ， ，平面 平面 ，点 ， 分别为 ， 的中点， ．
8．A
【分析】
过 两点向左准线作垂线，构造如图所示的直角梯形，利用椭圆的第二定义两次求得 的值，从而得到关于离心率的方程，求解后可得正确的选项.
3．二项式 的展开式中第3项为（）
A． B． C． D．
4．复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．已知椭圆 的焦点在 轴上，且焦距为4，则 等于（）
A．4B．5C．7D．8
6．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
A．24B．48
（2）求平面 与平面 构成的锐二面角的余弦值．
23．已知点 在椭圆 内，过 的直线 与椭圆 相交于A，B两点，且点 是线段AB的中点，O为坐标原点．
（Ⅰ）是否存在实数t，使直线和直线OP的倾斜角互补？若存在，求出的值，若不存在，试说明理由；
（Ⅱ）求 面积S的最大值．
13．二项式 的展开式中常数项是______；展开式中各项的二项式系数之和为______；各项的项的系数之和为______．
14．若从 、 、 、 、 这 个整数中同时取 个不同的数组成无重复数字的四位数，要求各个数位上的数字和为奇数，则可组成不同的四位数共有______个．
15．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)．
A． B． C． D．
10．若用5种不同颜色去涂五边形 的五点顶点，若相邻两点的颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）
A．1440B．1020C．1260D．1480
二、填空题
11．设 为虚数单位，复数 满足 ，则 ______．
12．某校将 名优秀团员名额分配给 个不同的班级，要求每个班级至少一个，则不同的分配方案有______种．
16．如图，已知 分别是正方形 的边 的中点，现将正方形沿 折成 的二面角，则异面直线 与 所成角的余弦值是_______．
17．某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教（每地1人），要求甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，则不同的选派方案有______种．
三、解答题
18．三棱柱 中，侧棱与底面垂直， ， ， ， 分别是 ， 的中点．
C．60D．72
7．已知直线 与圆 交于不同的两点 ， ，若 是坐标原点，且 ，则正实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
8．已知椭圆 : 的左、右焦点为 ， ，若过点 作倾斜角为 的直线 交椭圆 于 ， ，若 ，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
9．已知在矩形 中， ，沿直线BD将△ABD折成 ，使得点 在平面 上的射影在 内（不含边界），设二面角 的大小为 ，直线 , 与平面 中所成的角分别为 ，则（）
参考答案
1．C
【分析】
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】
则 ．故选C．
【点睛】
本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．
2．B
【分析】
利用组合数和排列数公式计算可得结果.
（1）求证： 平面 ．
（2）求证： 平面 ．
19．现有编号为 ， ， ， ， ， ， 的7个不同的小球．
（1）若将这些小球排成一排，且要求 ， ， 三个球相邻，则有多少种不同的排法？
（2）若将这些小球排成一排，要求 球排在中间，且 ， ， 各不相邻，则有多少种不同的排法？
（3）若将这些小球排成一排，要求 ， ， ， 四个球按从左到右排（可以相邻也可以不相邻），则有多少种不同的排法？
7．A
【分析】
如图，取 的中点为 ，由题设可得 到直线 的距离为 且 ，故可求 的取值范围.
【详解】
如图，取 的中点为 ，则 且 ，
故 即 ，
所以 ，故 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又直线和圆是相交的，故 ，所以 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，注意根据题设给出的向量关系得到弦心距满足的条件，本题属于基础题.
浙江省绍兴市上虞区春晖中学2020-2021学年高二特长班上学期10月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
2． （）
A． B． C． D．
∵焦距为4，
∴ 即 ，
在椭圆中： 即 ，解得： ，
故选：D
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程和 ， ， 满足的方程关系，是简单题.
6．D
ห้องสมุดไป่ตู้【解析】
试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有 种排法，所以奇数的个数为 ，故选D.
【考点】排列、组合
【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．
【详解】
.
故选：B.
【点睛】
本题考查排列数与组合数的计算，考查计算能力，属于基础题.
3．C
【分析】
本题直接运用二项式的展开式的通项公式计算即可.
【详解】
解：∵二项式 的展开式的通项公式为： ，
∴ 二项式 的展开式中第 项是： ，
故选：C
【点睛】
本题考查二项式的展开式的通项公式，是简单题.
4．D
【分析】
把复数的分母部分进行实数化即可， ，化简后即可得到对应点，进而得到答案.
【详解】
，
在复平面内对应的点为 ，
复数 在复平面内对应的点位于第四象限
答案选D.
【点睛】
本题考查复数的化简，属于简单题.
5．D
【分析】
本题根据已知判断出 ， ，再利用 直接解题即可.
【详解】
解：∵椭圆 的焦点在 轴上，
∴ ， ，
（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，至多3个球，则有多少种不同的放法？
20．已知虚数 满足 是实数，且 ．
（1）试求 的模；
（2）若 取最小值 时对应的复数 记为 ，试求
① 的值；
②求 的值．
21．用数学归纳法证明： .
22．如图，在四棱锥 中， 为正三角形，四边形 为直角梯形， ， ，平面 平面 ，点 ， 分别为 ， 的中点， ．
8．A
【分析】
过 两点向左准线作垂线，构造如图所示的直角梯形，利用椭圆的第二定义两次求得 的值，从而得到关于离心率的方程，求解后可得正确的选项.
3．二项式 的展开式中第3项为（）
A． B． C． D．
4．复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．已知椭圆 的焦点在 轴上，且焦距为4，则 等于（）
A．4B．5C．7D．8
6．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
A．24B．48