[理学]04章平面任意力系
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或
投影方程 力矩方程
(基本形式)
即平面任意力系平衡的解析条件为： 力系中所有力在作用面内任意两个坐标轴上投影的代数和等于零，并且
各力对于平面内任意一点的矩的代数和等于零。
◆显然,由以上方程仅可以求解三个未知量
h
18
[例]
q Fq
M
F
A
B
l/2
l
y
F Ax
MA
A
F Ay
图a
解：（1）选取悬臂梁 A B为研究对象
h
7
二、 平面任意力系向作用面内一点简化
F1
F2
O
Fn
F3
F'1
F'2
=
O
+
F'3 F'n
F'1
M1
F'2
O M2
Mn F'n
M3 F'3
M1
M2
O M3
=
Mn
FR/
O
Mo
M 1 M o F 1 M 2 hM o F 2 M 3 M o F 3 8
平面任意力系向O点（简化中心）简化的结果：
注意：主矢与简化中心位置无关，主矩
则有关（特殊情况下无关）。因此说到 力系的主矩时，必须指出是力系对于哪 一点的主矩。
h
10
主矢的解析式（作来自百度文库在简化中心）
大 小
FR (Fx)2(Fy)2
方
c o s ( F R , i )
Fx F R
向
c o s ( F R ,
j)
Fy F R
方
向
y
主矢的方向直观确定
13
M O(F R)M O(F i)
结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等 于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任 意力系的合力矩定理。
h
14
平面平行力系的简化的最终结果？
y
F2
F1
Fn
F3
O
x
三种可能：一个力；一个力偶；或为平衡力系。
同向平面平行力系的简化的最终结果？
一个力h
15
教学 力的平移定理； 平面任意力系简化的结果；平衡方程的三 重点 种形式；平衡方程的灵活应用。
教学 平面任意力系简化的结果讨论与平衡方程的灵活应用。
难点
h
1
第四章 平面任意力系 (静力学的重点）
本章内容: 1 平面任意力系的简化 2 平面任意力系的平衡 3 物体系统的平衡
解决办法：解析法
h
2
第一节 平面任意力系向一点的简化
各力的作用线在同一平面内任意分布的力系称为平 面任意力系。例如：
大多数空间力系可简化为平面力系；
平面力系中平面任意h力系最常见。
3
一、 力的平移定理
FA
Fo
平移
转动与移动效应
若将力从轮的 边缘平移到O 点,将改变其对 轮的作用效应。
移动效应
如何才等效？
h
4
作用在刚体上力的F， 可以平移到其上任
一点，但必须同时附加一力偶，其力偶矩对 于原力F对新作用点之矩。即：M=MB（F）。 力偶的转向与原力对新作用点之矩的转向相 同。
同向平面平行力系的简化
线分布荷载的简化结果：一个合力 合力大小：荷载图的面积 合力方向：与各分力同向 合力作用线：荷载图的形心
R=4x2=8kN
h
16
例题：水平梁AB 受三角形分布的载荷作用，如图所示。已 知：q，l；试求合力大小及合力作用线的位置。
A l
qx
A
l
解：在距A端为x的微段dx的
q
梁上，载荷集度的大小为qx，
平面任意力系 向一点简化 平面汇交力系+平面力偶系
其中平面汇交力系的合成结果为:一个合力
F R F 1 F 2 F n F 1 F 2 F n F i
平面力偶系的合成结果为：一个合力偶
M O M 1 M 2 M n M O (F 1 ) M O (F 2 ) M O (F n ) M O (F i)
2、平衡方程的其他形式：
平面汇交力系合力，FR′ (主矢，作用在简化中心)
平面力 偶 系合力偶，MO (主矩，作用在该平面上)
主矢、主矩共同作用h等效于原力系
9
结论：平面一般力系向其作用平面 内任一点简化，得到一个力和一个力偶。 这个力称为原力系的主矢，作用于简化 中心,等于原力系各力的矢量和；这个力 偶的力偶矩称为原力系对简化中心的主 矩。等于原力系中各力对简化中心之矩 之代数和。
FR
O
h
x
11
固定端约束
一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约 束称为固定端或插入端支座。
A
A
FRA A MA
MA
FYA FXA
A
h
12
三、平面任意力系简化结果的讨论
情况 向O点简化的结果
分类 主矢R′ 主矩MO
1
FR′=0 MO=0
2
FR'=0 MO0
3
FR0 MO=0
4
F R′0 MO0
B x 由相似三角形关系可知
qx
xq l
q
因此分布载荷的合力大小
Bx
F R
0lqxdx
1ql
2
作用线的位置？（课外作业）
h
17
第二节 平面任意力系的平衡方程
一、平面任意力系的平衡方程
1. 平面任意力系平衡方程的基本形式 平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对于
任一点的主矩都等于零，即
西南交大希望学院理论力学多媒体课件
任课 教师
陈德先
授课 09道桥 班级 2、3班
授课 时间
2010/1 0/14-21
学时 6
课题 平面任意力系+习题课
课型 面授
教学 方法
讲练结合
教学 了解平面任意力系简化的方法；掌握平面任意力系简化的 目的 结果。掌握平衡方程的形式；牢固掌握用平衡方程解决力
学问题的方法与步骤。
q
Fq
l/2
l
图b
M
F
B
x
（2）画受力图,如图b所示
（3）列平衡方程
选取坐标系 A x ，y 并以点 为A 矩心，建立平衡方程：
Fix 0
FAx 0
Fiy 0
MA(Fi)0
FAy
qlF0 l
MAql2FlM0
（4）求解未知量 F Ax 0
FAy ql F
MA
ql2 2
Fl
M
所得结果均为正值，说明图中假h 设的约束力的方向是正确的。 19
F′
B
F″ B
F＝
F＝
A
A
F′ MB
A
h
5
说明：
①力的平移定理揭示了力与力偶的关系
分解
力
合成
力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关，M=F•
③力的平移定理是任意力系简化的理论基础。
平面汇交力系简化的理论基础?
h
平面力偶系简化的理论基础?
力的平行四边形法则
6
力偶等效定理
应用实例
为了了解偏心力F对立柱的作用效果， 将F平移到轴线上，可以容易的看出立 柱的变形情况
力系简化的最终结果 （与简化中心无关）
平衡状态（力系对物体的移动 和转动作用效果均为零）。 一个合力偶，M=MO。 合力FR=FR，作用线过O点。
一个合力，其大小为 FR=FR，
作用线到O点的距离为h=MO/FR' FR在O点哪一边，由MO符号决定
平面任意力系简化的最终结果，只有三种可能：一个力；
一个力偶；或为平衡力系。 h
投影方程 力矩方程
(基本形式)
即平面任意力系平衡的解析条件为： 力系中所有力在作用面内任意两个坐标轴上投影的代数和等于零，并且
各力对于平面内任意一点的矩的代数和等于零。
◆显然,由以上方程仅可以求解三个未知量
h
18
[例]
q Fq
M
F
A
B
l/2
l
y
F Ax
MA
A
F Ay
图a
解：（1）选取悬臂梁 A B为研究对象
h
7
二、 平面任意力系向作用面内一点简化
F1
F2
O
Fn
F3
F'1
F'2
=
O
+
F'3 F'n
F'1
M1
F'2
O M2
Mn F'n
M3 F'3
M1
M2
O M3
=
Mn
FR/
O
Mo
M 1 M o F 1 M 2 hM o F 2 M 3 M o F 3 8
平面任意力系向O点（简化中心）简化的结果：
注意：主矢与简化中心位置无关，主矩
则有关（特殊情况下无关）。因此说到 力系的主矩时，必须指出是力系对于哪 一点的主矩。
h
10
主矢的解析式（作来自百度文库在简化中心）
大 小
FR (Fx)2(Fy)2
方
c o s ( F R , i )
Fx F R
向
c o s ( F R ,
j)
Fy F R
方
向
y
主矢的方向直观确定
13
M O(F R)M O(F i)
结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等 于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任 意力系的合力矩定理。
h
14
平面平行力系的简化的最终结果？
y
F2
F1
Fn
F3
O
x
三种可能：一个力；一个力偶；或为平衡力系。
同向平面平行力系的简化的最终结果？
一个力h
15
教学 力的平移定理； 平面任意力系简化的结果；平衡方程的三 重点 种形式；平衡方程的灵活应用。
教学 平面任意力系简化的结果讨论与平衡方程的灵活应用。
难点
h
1
第四章 平面任意力系 (静力学的重点）
本章内容: 1 平面任意力系的简化 2 平面任意力系的平衡 3 物体系统的平衡
解决办法：解析法
h
2
第一节 平面任意力系向一点的简化
各力的作用线在同一平面内任意分布的力系称为平 面任意力系。例如：
大多数空间力系可简化为平面力系；
平面力系中平面任意h力系最常见。
3
一、 力的平移定理
FA
Fo
平移
转动与移动效应
若将力从轮的 边缘平移到O 点,将改变其对 轮的作用效应。
移动效应
如何才等效？
h
4
作用在刚体上力的F， 可以平移到其上任
一点，但必须同时附加一力偶，其力偶矩对 于原力F对新作用点之矩。即：M=MB（F）。 力偶的转向与原力对新作用点之矩的转向相 同。
同向平面平行力系的简化
线分布荷载的简化结果：一个合力 合力大小：荷载图的面积 合力方向：与各分力同向 合力作用线：荷载图的形心
R=4x2=8kN
h
16
例题：水平梁AB 受三角形分布的载荷作用，如图所示。已 知：q，l；试求合力大小及合力作用线的位置。
A l
qx
A
l
解：在距A端为x的微段dx的
q
梁上，载荷集度的大小为qx，
平面任意力系 向一点简化 平面汇交力系+平面力偶系
其中平面汇交力系的合成结果为:一个合力
F R F 1 F 2 F n F 1 F 2 F n F i
平面力偶系的合成结果为：一个合力偶
M O M 1 M 2 M n M O (F 1 ) M O (F 2 ) M O (F n ) M O (F i)
2、平衡方程的其他形式：
平面汇交力系合力，FR′ (主矢，作用在简化中心)
平面力 偶 系合力偶，MO (主矩，作用在该平面上)
主矢、主矩共同作用h等效于原力系
9
结论：平面一般力系向其作用平面 内任一点简化，得到一个力和一个力偶。 这个力称为原力系的主矢，作用于简化 中心,等于原力系各力的矢量和；这个力 偶的力偶矩称为原力系对简化中心的主 矩。等于原力系中各力对简化中心之矩 之代数和。
FR
O
h
x
11
固定端约束
一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约 束称为固定端或插入端支座。
A
A
FRA A MA
MA
FYA FXA
A
h
12
三、平面任意力系简化结果的讨论
情况 向O点简化的结果
分类 主矢R′ 主矩MO
1
FR′=0 MO=0
2
FR'=0 MO0
3
FR0 MO=0
4
F R′0 MO0
B x 由相似三角形关系可知
qx
xq l
q
因此分布载荷的合力大小
Bx
F R
0lqxdx
1ql
2
作用线的位置？（课外作业）
h
17
第二节 平面任意力系的平衡方程
一、平面任意力系的平衡方程
1. 平面任意力系平衡方程的基本形式 平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对于
任一点的主矩都等于零，即
西南交大希望学院理论力学多媒体课件
任课 教师
陈德先
授课 09道桥 班级 2、3班
授课 时间
2010/1 0/14-21
学时 6
课题 平面任意力系+习题课
课型 面授
教学 方法
讲练结合
教学 了解平面任意力系简化的方法；掌握平面任意力系简化的 目的 结果。掌握平衡方程的形式；牢固掌握用平衡方程解决力
学问题的方法与步骤。
q
Fq
l/2
l
图b
M
F
B
x
（2）画受力图,如图b所示
（3）列平衡方程
选取坐标系 A x ，y 并以点 为A 矩心，建立平衡方程：
Fix 0
FAx 0
Fiy 0
MA(Fi)0
FAy
qlF0 l
MAql2FlM0
（4）求解未知量 F Ax 0
FAy ql F
MA
ql2 2
Fl
M
所得结果均为正值，说明图中假h 设的约束力的方向是正确的。 19
F′
B
F″ B
F＝
F＝
A
A
F′ MB
A
h
5
说明：
①力的平移定理揭示了力与力偶的关系
分解
力
合成
力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关，M=F•
③力的平移定理是任意力系简化的理论基础。
平面汇交力系简化的理论基础?
h
平面力偶系简化的理论基础?
力的平行四边形法则
6
力偶等效定理
应用实例
为了了解偏心力F对立柱的作用效果， 将F平移到轴线上，可以容易的看出立 柱的变形情况
力系简化的最终结果 （与简化中心无关）
平衡状态（力系对物体的移动 和转动作用效果均为零）。 一个合力偶，M=MO。 合力FR=FR，作用线过O点。
一个合力，其大小为 FR=FR，
作用线到O点的距离为h=MO/FR' FR在O点哪一边，由MO符号决定
平面任意力系简化的最终结果，只有三种可能：一个力；
一个力偶；或为平衡力系。 h