点的轨迹方程的求法

直线GE的方程为 -a(2k-1)x+y-2a=0…………②
从①②消去参数k，得点P(x,y)坐标满足方程 2a2x2+y2-2ay=0 (去掉（0，0））
一、求动点的轨迹方程的常用方法
• 直接法: • 转移代入法 (也称相关点法): 所求动点M的
运动依赖于一已知曲线上的一个动点M0的 运动,将M0的坐标用M的坐标表示,代入已知 曲线,所的方程即为所求. • 参数法:动点的运动依赖于某一参数(角度、 斜率、坐标等)的变化,可建立相应的参数方 程,再化为普通方程.
(1) (2)
x a 2x0 x1 x2
(3)
y 2y0 y1 y2
(4)
又AB PA, 所以 AB AP 0
y Q(x,y)
P
GB
oA
x
即(x1-a,y1) (x2-a,y2)=0, x1x2+y1y2=a(x1+x2)-a2=ax (5) (3)2+(4)2, 得 (x+a)2+y2=2r2+2(x1x2+y1y2)
BC CD DA
解：以AB所在直线为x轴,过o垂直AB 直线为y轴,建立如图直角坐标系.
DF
y
C
依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)
P
E
设 BE CF DG =k(0≤k≤1),由此有
G
BC CD DA
A
o
Bx
E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-4ak) 直线OF的方程为 2ax+(2k-1)y=0……………①
x a r(cos cos )
(1)
y
r(sin
sin来自百度文库
)
(2)
又AB PA, 所以 AB AP 0
r2(cos cos sin sin ) ar(cos cos ) a2 0
即r2 cos( ) ar(cos cos ) a2 0 (3)
y Q(x,y)
P
结合（5），得点Q的坐标满足方程x2+y2=2r2-a2
讨论：
若 2r a,表示原点为圆心，2r2 a2 为半径的圆； 若 2r a，表示原点；
若 2r a，无轨迹。
另解：设Q(x,y),G(x0,y0),则x+a=2x0,y=2y0. 设B(rcos,rsin),P(rcos ,rsin),则
tanC=tan2B 2 tan B
1 tan2 B
2、转移代入法
例3、圆 x2 y2 2 上的点M与定点A(3,0)的线段MA的中点为
P，求P点的轨迹。 y
变式：
M
P
x
o
A(3,0)
(1)中点改为MP:PA=t(t>0的常数） (2)求圆x2+y2-2x+4y=0关于直线x-y=0对称的圆方程。
GB
oA
x
练习
1、抛物线 y x2 2cos x cos2 2cos 的顶点的轨迹方程
是 y=2x,1 x 1。
2、(2003年高考第22题变式)已知常数a>0,在矩形ABCD中，
AB=4,BC=4a,O为AB中点，点E,F,G分别在BC、CD、DA上移动， 且 BE CF DG ,P为GE与OF的交点,求点P轨迹方程。
变式：已知圆：x2+y2=r2,定点A(a,0),其中a，r>0.P,B是圆上两
点，作矩形PABQ，求点Q的轨迹。
解：连PB,AQ交于点G。设Q(x,y),G(x0,y0),则
则x+a=2x0,y=2y0. 设P(x1,y1),B(x2,y2),则
x12 x22
y12 y22
r2 r2
A
C
G o
x
作差，得(x2-x1) (x2+x1)+ (y2-y1) (y2+y1)=0
即x0+y0k=0
3k 2
又k= y0
解得，
x0 3
消去k,得(x+3)2+y2=9
x0= 1 k 2 3k
y0= 1 k 2
6k 2
因此
x= 1 k 2 6k
y= 1 k 2
?
故所求轨迹为(-3,0)为圆心，3为半径的圆.
顶点A的轨迹方程.
y
解：以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线
为y轴，建立如图直角系。则B(-1,0),C(1,0).
设A(x,y).
tan
B
K AB
x
y , tan C (1)
K AC
x
yB 1
又tanBtanC=t
A
o
x
C
所求的轨迹方程为 tx2+y2=t (x≠ 1)
变式：把tgBtgC=t(t≠0)改为C=2B呢？
AP
由题，得 (x 2)2 y2 2 | x | (x 2)2 y2 (2 | x |)2
oB
x
即
-4x+y2=4|x|
得动圆圆心的轨迹方程为y=0(x<0),或y2=8x(x>0)
变式：外切改为相切呢？
例2 已知ΔABC底边BC的长为2,又知tanBtanC=t(t≠0).(t为常数).求
二、注意
1、化简要等价变形，且能结合图形对题意的检验 2、要区分轨迹与轨迹方程 3、如何合理引参？
五类参数：点坐标，斜率，比例，角度，长度等
3、参数法
例4 如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线C：x2+2y2=4交于A,B两
点.作平行四边形OBPC，求点P的轨迹。
解法一：利用韦达定理
P
y B
解法二：点差法 连PO交CB于G.
设P(x,xy1)2,+G2(yx102,=y40), C(x1,y1),B(x2,y2),则 x22+2y22=4
求曲线方程的步聚：
1、建立适当的直角坐标系，并设动点坐标 2、列出动点满足的条件等式 3、列方程 4、化简 5、检验
如何建立合适的直角坐标系？
1）已知给定长度的线段 2）已知两条垂直的直线 3）对称图形
1、直接法
例1、求与圆x2+y2-4x=0外切且与Y轴相切的动圆的圆心的轨
迹方程。
y
解：设动圆圆心为P(x,y).