几何概型

几何概型

1．与长度、角度有关的几何概型

(1)(2016全国Ⅰ，5分)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )

A.13

B.12

C.23

D.34

答案：B 解析：由题意知，小明到达发车站的时间总长度为40分钟，当他到达时间在7：50－8：00或8：20－8：30时等车不超过10分钟，则等车不超过10分钟的时间长度之和为20分钟，故所求概率为2040＝1

2

.故选B.

(2)(2015山东，5分)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log 2x ⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭≤1”

发生的概率为( )

A.34

B.23

C.13

D.1

4 答案：A

解析：由－1≤12

1log 2x ⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭≤1，得12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32.故所求概率P ＝3

22＝34.故

选A.

(3)(经典题，5分)如图44－2，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，

AD 为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率是________．

图44－2

答案：13

解析：由题意知，本题是一个几何概型，试验的所有结果所构成的区域为∠BAD ＝90°. 如图，连接AC ，交弧DE ︵

于P .

∵tan ∠CAB ＝

13＝3

3

，∴∠CAB ＝30°.由题意知，当射线AP 在∠CAB 内或与∠CAB 的边重合时，射线AP 与线段BC 有公共点，∴射线AP 与线段BC 有公共点的概率P ＝30°

90°＝

13

. 2．与面积有关的几何概型

a ．与三角形、矩形、圆等平面图形的面积有关的几何概型

(4)(2017全国Ⅰ，5分)如图44－3，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )

图44－3

A.14

B.π8

C.12

D.π4

答案：B

解析：设正方形的边长为2，则正方形的面积为2×2＝4，大圆的半径为1，面积为 π×12＝π，运用割补法易知图中黑色部分的面积是大圆面积的12，即π

2，则此点取自黑色

部分的概率为π

24＝π

8

.故选B.

b ．与线性规划交汇的几何概型

(5)(经典题，5分)某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30—7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．

答案：9

32

解析： 设小张和小王到校的时间分别为7时x 分和7时y 分，(x ，y )可以看成平面直角坐标系中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|30≤x ≤50，30≤y ≤50}，这是一个正方形区域，面积为20×20＝400，而小张比小王至少早5分钟到校对应的区域为

{x |y －x ≥5}，作出符合题意的图形，如图所示，则符合题意的区域为△ABC .联立

5,50,y x y -=⎧⎨=⎩得C (45，50)；联立5,30,

y x x -=⎧⎨=⎩得B (30，35)，则S △ABC ＝12×15×15＝225

2

.由几何概型的概率计算公式可知，小张比小王至少早5分钟到校的概率为225

2400＝9

32

.

c ．与随机模拟相关的几何概型

(6)(2016全国Ⅱ，5分)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )

A.4n m

B.2n m

C.4

m n D.2m n 答案：C

解析：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域(图中阴影部分)面积为1

4π×12；从区

间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…， (x n ，y n )，对应的区域面积为12.所以1

4π×1212＝m n ，所以π＝4m

n

.故选C.

3．与体积有关的几何概型

(7)(经典题，5分)在棱长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为( )

A.16

B.56

C.π6 D ．1－π6

答案：D

解析：符合条件的点落在棱长为2的正方体内，且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的1

8

球体外．根据几何概型的概率计算公式，得

P ＝23－8×18×π×4

3×13

23

＝1－π

6

.故选D. 随堂普查练44

1．(2016全国Ⅱ，5分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )

A.710

B.58

C.38

D.310

答案：B

解析：行人在红灯亮起25秒内到达该路口，则至少需要等待15秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式可知，所求事件的概率P ＝2540＝5

8

.故选B.

2．(2017江苏，5分)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．

答案：59

解析：由题意有6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，即D ＝{x |－2≤x ≤3}．由几何概型的概率公式，知在[－4，5]上随机取一个数x ，x ∈D 的概率为P ＝3－（－2）5－（－4）＝5

9

.

3．(2016山东，5分)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2

＋y 2＝9相交”发生的概率为________．

答案：34

解析：直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交，需要满足圆心到直线的距离小于半径．由圆的方程得圆心为(5，0)，半径为3，所以d

<3，解得－34

4

，对应区域长度为

3

2；而k ∈[－1，1]，对应区域长度为2.所以所求概率P ＝3

22＝34

. 4．(经典题，7分)如图44－5所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．

图44－5