排列组合中的基本解题方法之插空法和捆绑法

排列组合中的基本解题方法之插空法和捆绑法
一、基础理论：
捆绑法：遇到有“相邻元素”的问题，先把规定的相邻元素捆绑在一起参与排列，当需要考虑元素的相对顺序时，再进行松绑。

题干中常见的词语如：相邻站位、相连、连续等。

插空法：遇到有“不相邻元素”的问题，先把无要求的元素进行排序，然后行程中间的空位或两端的空位，然后进行插空。

运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。

解题过程是“先排列，再插空”。

可见：捆绑法主要解决相邻问题，而插空法主要解决的是不相邻的问题。

二、真题精析
例1、5名学生和2名老师站成一排照相，要求2名老师相邻但不站在两端，则不同的排法共有：
A.1440种
B.960种
C.720种
D.480种
【分析】题干当中有“相邻”，所以选择的做题方法一定是捆绑法，要想把这件事解决清楚，要分如下几步：第一步，首让没有要求的元素进行排序，即先排5名学生，有A(5,5)
种方法;第二步，将2名老师“捆绑”在一起，看成一个人，插空到5名学生中间的4个空中，即C(4,1)种方法;第三步，这2名老师不同，要进行排列，即A(2,2)种方法，此件事情完成。

分步做的事情，根据乘法原理可知，共有A(5,5)×C(4,1)×A(2,2)=960种不同的排法。

所以答案为B.
小结：捆绑法和插空法虽然是两种不同的方法，但是却经常一起结合起来使用。

例2、一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法?
A.20
B.12
C.6
D.4
【分析】此题是插板法的典型例题，因为相当于把2个新节目插到原来3个节目中，所以要搞清楚具体有几个空位。

【解析】原来的3个节目已经固定下来了，所以在排原来的3个节目的时候，不用再混排了。

所以这件事可以分步完成，需要把放进去的2个新节目分第一步放进去和第二步放进去。

第一步，排其中一个节目，在原来的3个节目中有4个空位可以选择，即C(4,1)中方法;第二步，排第二个节目，那么此时第一个节目放进去之后，就有4个节目了，也就是有5个空位可以选择，所以排法是C(5,1)中方法，此时这件事情完成。

分步完成所以选择乘法原理解题，即C(4，1)×C(5,1)=20种排法，所以答案为A。

例3、某道路旁有10盏路灯，为节约用电，准备关掉其中3盏。

已知两端的路灯不能关，并且关掉的灯不能相邻，则有( )种不同的关灯方法。

A.20
B.28
C.48
D.96
【分析】读清楚题干中的逻辑关系，做题之前把等量关系适当的转化。

题干的意思也就是说把3盏关掉的等，插空插到7盏亮的灯中间，又可以保证关掉的灯不相邻，所以此题应该属于插空法。

【解析】7盏亮着的灯，首尾两端是不能放关掉的灯的，所以7盏灯只有中间6个空可以放关掉的灯，即C(6,3)=20种。

所以答案为A。

小结：捆绑法和插空法是解题的小技巧，应用灵活，它可以应用到所有类型的排列组合题目中，所以大家一定要分清什么时候使用该方法。

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