多元函数积分方法技巧

多元函数积分方法技巧

摘要：对于不同的背景，如讨论一般形状的物体的体积、质量、重心等问题的时候我们一般就要运用多元积分的内容。多元函数有各种不同的概念，因而多元函数积分学具有十分丰富的内容，其中最重要的还是多元函数积分的计算方法。 关键词：多元函数 积分技巧

提到积分，首先想到的应该就是二重积分了。这类积分实际上是通过计算曲顶柱体的体积来引出的。若f(x,y)=1则∫∫f(x,y)dδ=A(D),即积分区域的面积。

计算方法如下：

1、二次积分在直角坐标系两种不同次序积分：

一是先积y 后积x 的累次积分，即：若),(y x f 在矩形区域[][]d c b a D ,,⨯=上可积，且对每个[]b a x ,∈，积分其()dy y x f d c ⎰,存在，则累次积分()dy y x f dx d

c

b a ⎰⎰,也存在，且：()=

⎰⎰σd y x f D ,()dy y x f dx d

c b a ⎰⎰, 其二是先积x 后积y 的累次积分，即：若()y x f ,在矩形区域[][]

d c b a D ,,⨯=上可积，且对每个[]d c y ,∈，积分()dx y x f b a ⎰,存在，则累次积分()dx y x f dy b

a

d c ⎰⎰,也存在，且：()=

⎰⎰σd y x f D ,()dx y x f dy b

a d c ⎰⎰, 2、二次积分在极坐标系下的积分：

当一些二重积分的积分区域D 用极坐标表示比较简单,或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时,我们可以在极坐标系下考虑其计算问题.

例如:

dxdy y x dxdy y x dxdy e a y x a y x a y x y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+≤+--++22222222222)cos(,)sin(,2222等.

用极坐标计算二重积分的步骤

(1)画出积分区域的草图;

(2)将(,)D f x y dxdy ⎰⎰转化为(cos ,sin )D

f r r rdrd θθθ⎰⎰,根据积分区域的草图确定

r 和θ的积分范围;

(3)将(cos ,sin )D

f r r rdrd θθθ⎰⎰转化为二次定积分,并计算得出结果.

三重积分的计算方法介绍：

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰D

d y x F σ),(，就是“投影法”，

也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。

σd dz z y x f dv z y x f D z z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=2

1

]),,([),,(

如果先做二重积分⎰⎰z D d z y x f σ),,(再做定积分⎰21

)(c c dz z F ，就是“截面法”，也

即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分⎰⎰z

D d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；

进而计算定积分⎰2

1)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。

dz d z y x f dv z y x f c c D z

]),,([),,(2

1σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=

当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)：（1）D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直

角坐标系计算）；（2）D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22x

y f y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）；（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算 计算积分应该注意以下几点:

首先,选择坐标系.先要考虑积分区域的形状,看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单,其次要看被积函数的特点,看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分.

.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域Ω及被积函数f(x,y,z)

的情况选取。

一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；

截面法（先二后一）： z D 是Ω在z 处的截面，其边界曲线方

程易写错，故较难一些。

特殊地，对z D 积分时，f(x,y,z)与x,y 无关，可直接计算z D S 。因而Ω中

只要],[b a z ∈, 且f(x,y,z)仅含z 时，选取“截面法”更佳。

2.对坐标系的选取，当Ω为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲

面所围成的形体；被积函数为仅含z或)

(2

2y

x

zf+时，可考虑用柱面坐标计算。

如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！