[数学]高中数学函数的值域
高中数学：求函数值域的方法十三种(一)
2
2
26
又 ∵ 在 [m, n] 上 当
x
增大时
f (x)
也
增
大
所
以
f (x)max f (n) f (x)min f (m)
3n 3m
m 4, n 0
解得
评注：解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 m ，n 的取值范围，
避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。
(2) 求函数 y x(x a) 在 x [1 , 1] 上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为 x a ，
当 a
1 2
即a
1 时， 2
f ( x )max
f ( 2 ) 4a 5 ；
当 a 1 2
即 a1 2
时，
f ( x )max f ( 1 ) 2a 2
。
f ( x )max 42aa52,,aa2121 。
y
x2 x2 x
x 1
x2 x x2
11 x 1
1
(x
1 1)2
3
不妨令：
24
f (x) (x 1)2 3 , g(x) 24
1 ( f (x) 0) 从而 f (x)
f
(
x)
3,
4
注意：在本题中应排
除
f
(x)
0 ，因为
f
(x)
作为分母。所以
g(x) 0,
3 4
故
y
1,1
3
f (x)max f (x)min
f (1) f (n)
3n 3m
，无解
④若
，则
f f
( x) max ( x) min
高中数学：函数的值域
①若 b [a,b],则 f ( b ) 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，
2a
2a
再比较 f (a), f (b) 的大小决定函数的最大（小）值.
②若 b [a,b],则[a ,b]是在 f (x) 的单调区间内，只需比较 f (a), f (b) 的大小 2a
即可决定函数的最大（小）值.
5、分式函数（分离常数法）
例 5 求函数 y＝xx＋＋12的值域. 【解析】 y＝xx＋ ＋12＝x＋x＋2－2 1＝1－x＋1 2. 因为x∈R且x≠－2，所以y≠1. 所以值域为(－∞，1)∪(1，＋∞).
思考题 求函数 y＝25x－＋x5的值域.
【解析】
y＝－（2（x＋x＋52）52）＋125＝－12＋4x＋1510，
y x2 2x 3 x
例 7 求函数 y＝|x＋3|＋|x－5|的值域. 【答案】 [8，＋∞)
探究 7 数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于 几何方法求出函数的值域.
思考题 7 求函数 y＝|x－2|－|x＋1|的值域. 【答案】 [－3，3]
4 x 的值域是 { y| y
2} 新疆 王新敞
奎屯
④ y x2 4x 1, x [0,5]
（分离常数法）
解：③ y x x 11 1 1
x 1 x 1
x 1
∵ 1 0 x 1
∴y 1
2、反比例函数值域问题（关注函数定义域和图像）
f (x) 1 1)x(1,2)
2) x (2, 1)
x 3)x(3,) 4)x(,0) (0,1)
3、二次函数值域问题（关注函数定义域和图像）
例 3． 求下列函数的最大值、最小值与值域：
高中数学函数的定义域及值域
高中数学函数的定义域及值域1500字函数是数学中常用的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
函数的定义域是指输入的值的集合，而值域是函数输出的值的集合。
在高中数学中，我们经常需要确定函数的定义域和值域，以便了解函数的性质和行为。
为了确定一个函数的定义域，我们需要考虑两个因素：函数的解析式和函数的定义限制。
函数的解析式告诉我们函数如何计算输出值，而定义限制告诉我们输入值可以是哪些数。
首先，让我们考虑一些常见的函数类型及其定义域和值域。
1. 线性函数：线性函数的解析式可以写为y = mx + c，其中m是斜率，c是截距。
线性函数的定义域是所有实数集合，值域也是所有实数集合。
2. 幂函数：幂函数的解析式可以写为y = x^n，其中n是一个实数。
幂函数的定义域是所有实数集合，但值域取决于指数n的值。
例如，如果n是正偶数，那么幂函数的值域是非负实数集合；如果n是负偶数，那么幂函数的值域是正实数集合；如果n是奇数，那么幂函数的值域是所有实数集合。
3. 指数函数：指数函数的解析式可以写为y = a^x，其中a是一个正实数且不等于1。
指数函数的定义域是所有实数集合，值域是正实数集合。
4. 对数函数：对数函数的解析式可以写为y = log_a(x)，其中a是一个正实数且不等于1。
对数函数的定义域是正实数集合，值域是所有实数集合。
5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
三角函数的定义域是所有实数集合，值域取决于具体的函数类型。
例如，正弦函数的值域是[-1, 1]；余弦函数的值域也是[-1, 1]；正切函数的值域是所有实数集合。
除了上述函数类型外，还有其他函数类型的定义域和值域也需要特别注意。
例如，有理函数的定义域由分母的零点确定，值域取决于分子的次数和分母的次数；反比例函数的定义域是除了零的所有实数，值域也是除了零的所有实数。
在确定函数的定义域和值域时，我们还需要注意一些常见的限制，如根式的奇次指数、分母不能为零、对数的底不能为1等。
高中数学-函数值域的求法及应用
高中数学-函数值域的求法及应用高考要求函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一本文主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题1.重难点归纳(1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力2.值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见基本函数的值域：一次函数的值域为R.二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，反比例函数的值域为.指数函数的值域为.对数函数的值域为R.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.3.求函数值域（最值）的常用方法3.1.基本函数法对于基本函数的值域可通过它的图像性质直接求解.3.2配方法对于形如或类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例1：求函数的值域：3.3换元法利用代数或三角换元，将所给函数转换成易求值域的函数：（1）形如的函数，令；（2）形如的函数，令；（3）形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令.例2：求函数的值域：.分析：设则.所以原函数可化为进行求解3.4不等式法利用基本不等式，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①;②为定值；③取等号成立的条件.三个条件缺一不可.例3：求函数的值域：.分析：一次比二次或者二次比一次的分式函数的通用方法是先换元再利用基本不等式求值域3.5函数的单调性法确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域，例如，.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题.例4：f(x)＝x+在区间[1,3]上的值域3.6数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由可联想到两点与连线的斜率.例5：求函数的值域：分析：画出图像便能一目了然3.7函数的有界性法形如，可用表示出，再根据，解关于的不等式，可求的取值范围.3.8导数法设的导数为，由可求得极值点坐标，若函数定义域为，则最值必定为极值点或区间端点中函数值的最大值和最小值.例6：设f(x)＝x3－－2x＋5，求f(x)在[-2,3]上的值域3.9判别式法例7：求函数的值域典型题例示范讲解例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？命题意图本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力知识依托主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识错解分析证明S(λ)在区间［］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决例2已知函数f(x)=,x∈［1,+∞(1)当a=时，求函数f(x)的最小值(2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围命题意图本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力知识依托本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想错解分析考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得例3设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+)(1)证明当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值(3)求证对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1学生巩固练习1 函数y=x2+ (x≤－)的值域是( )A(－∞,－ B［－,+∞C［,+∞D(－∞,－］2 函数y=x+的值域是( )A (－∞,1B (－∞,－1C RD ［1,+∞3 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于()2千米，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时(不计货车的车身长)4 设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x12+x22有最小值_________5 某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x－x2(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位百台)(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？(3)年产量多少时，企业才不亏本？6 已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］(1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围7 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表器电箱问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)8 在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S1，△ABC的内切圆面积为S2，记=x(1)求函数f(x)=的解析式并求f(x)的定义域(2)求函数f(x)的最小值。
高中数学：求函数值域的方法十三种(二)
高中数学：求函数值域的方法十三种（二）五、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
（解析式中含有分式和根式。
）【例1】求函数2211x x y x ++=+的值域。
【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数，故有（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为【例2】求函数y x =+的值域。
【解析】两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
解法二：2(2)1(x 1)y x x x x =+-=+--]2,2[sin 1ππθθ-∈=-x )4sin(21cos sin 1πθθθ++=++=y 4344ππθπ≤+≤-14sin(22≤+≤-πθ原函数的值域为：【例3】已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
【解析】2221x ax by x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ⇒--+-=⇒∆=---≥2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。
由于222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}1221221328234y y b a b ab y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-===⎩⎪⎩【例4】求函数2212+++=x x x y 的值域。
高中数学必修一第二章：函数.第一节：值域
高中数学（人教B 版）必修一：第二章 函数2.1.1 函数函数的值域一.值域：在函数y=f(x)中，由所有函数值构成的集合：{y |y=f(x)，y ∈A}，叫做这个函数的值域。
值域即因变量y 的取值范围，是函数的象的集合。
二.基本函数的值域： ①.一次函数y=kx+b [ y ∈R 或（-∞，+∞) ]②.二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0） ( , +∞)③.二次函数y=ax 2+bx+c （a ＜0） (-∞, ) ④.反比例函数y= [ y ≠0或（-∞，0) ∪（0，+∞)] 二.求函数的值域的方法：方法一.观察法：例一：求函数y= 的值域.例二：求函数y= 的值域.规律总结：当x ≥2时， = 。
当x ≤2时， = 。
当x ≥-2时， = 。
当x ≤-2时， = 。
方法二.分离常数法：——适用于分式。
例三：求函数y= 的值域.4a 4ac-b 2 4a 4ac-b 2 k x 1 1 x 2+1 x 2-1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x-1 x+1例四：求函数y= 的值域.方法三.反表示法：用y 表示f(x).——适用于形如y= 的函数。
例五：求函数y= 的值域.方法四.二次函数配方法：配方、画图、截断——适用于形如F(x)=af(x)2+bf(x)+c 的函数。
例六：求函数y=x 2-4x+5的值域.方法五.换元法：——适用于带根号且根号下为一次式的函数。
例七：求函数y=x+ 的值域.方法六.判别式法：——适用于二次分式函数。
例八：求函数y= 的值域.x 2-1 x 2+1 af(x)+b cf(x)+d 2x-1 x+1 2x+1 x 2-3x+4 x +3x+4。
高中数学必修一-函数的值域与表示
函数的值域与表示知识集结知识元常见的求函数值域类型知识讲解一、定义函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．二、求函数值域的常用方法（1）公式法：适用于一次函数、二次函数、反比例函数及以后要学的基本初等函数，形如（且分式不可约）的值域为.（2）图象法：适用于能画出图象的函数，如，.（3）不等式性质法（包含观察法、配方法、分离常数法、有界法）：适用于解析式中只出现“一个”或通过变形化成只能出现“一个”函数，如：，等.（4）换元法：适用于无理式中含有自变量的函数，如等.（5）判别式：适用于形如（，不全为零且分式不可约）的函数.（6）方程思想（包括判别式法、反解法）：适用于可解出的解析式函数，如等.例题精讲常见的求函数值域类型例1.函数f（x）＝x＋1，x∈{﹣1，1，2}的值域是（）A．0，2，3B．0≤y≤3C．{0，2，3}D．[0，3]例2.函数y＝的定义域是（﹣∞，1）∪[2，5），则其值域是（）A．（﹣∞，0）∪（，2]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，）∪[2，＋∞）D．（0，＋∞）例3.函数y＝的值域是（）A．（﹣∞，1）∪（1，＋∞）B．（﹣∞，0）∪（0，＋∞）C．（﹣∞，）∪（，＋∞）D．（﹣∞，）∪（，＋∞）例4.函数的值域是．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数的值域”的题目补充.例题精讲备选题库例1.函的值域是（）A．R B．[-1，1]C．{-1，1}D．{-1，0，1}例2.函数y=的值域是（）A．[0，+∞）B．[0，4]C．[0，4）D．（0，4）例3.函数的值域为（）A．[-1，+∞）B．[0，+∞）C．（-1，+∞）D．（0，+∞）例4.已知，则函数f（x）=log2x的值域是（）A．[-3，-2]B．[-2，3]C．[-3，3]D．[-2，2]例5.函数y=2+1的值域为（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．例6.已知函数f（x）=-，则函数f（x）的值域为（）A．[-3，0]B．[0，3]C．[-3，3]D．[3，12]例7.下列哪个函数的定义域与函数f（x）=（）x的值域相同（）A．y=|x|B．y=C．y=x+D．y=lnx例8.定义函数f（x）={x∙{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.5}=2，{-2.5}=-2，当x∈（0，n]，n∈N*时，函数f（x）的值域为A n，记集合A n中元素的个数为a n，则a n=（）A．n B．C．D．图象法知识讲解1.图象法在坐标平面中用曲线的表示出函数关系．即图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫作图象法．2.函数图象的作法步骤①列表；②.描点；③.连线．注意：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）例题精讲图象法例1.若a＋b＝0，则直线y＝ax＋b的图象可能是（）A．B．C．D．例2.若一次函数y＝ax＋b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是（）A．B．C．D．例3.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点例4.已知函数f（x）＝x2﹣2x，则下列各点中不在函数图象上的是（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，3）C．（2，0）D．（﹣2，6）例5.可作为函数y＝f（x）的图象的是（）A．B．C．D．图象的平移变换知识讲解一、变换作图法设，.例题精讲图象的平移变换例1.已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，如图所示，则满足等式f（a﹣1）＝f（5）的实数a的值为．例2.已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x＋k2的图象大致为（）A．B．C．D．例3.若函数y＝f（x）的图象如图①所示，则图②对应函数的解析式可以表示为（）A．y＝f（|x|）B．y＝|f（x）|C．y＝f（﹣|x|）D．y＝﹣f（|x|）例4.函数y＝f（x）的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，则不等式f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1的解集为．例5.将y＝f（x）的图象的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标缩短为原来的，则所得函数的解析式为（）A．y＝3f（3x）B．C．D．函数的解析式知识讲解一、解析法：用解析式把把x与y的对应关系表述出来，y＝f（x）；这种方法叫做解析法．注意：函数的三种表示方法间具有互补性，因此在实际研究问题时，通常是三种方法交替使用，例如在研究用解析式表示的某一函数的性质时，可以根据解析式画出函数图象，数形结合更清晰、直观，如何画函数图象？列表法，通常取其自变量的部分值，根据解析式算出相应的函数值，列表显示其数值的对应关系，再根据表格，在平面直角坐标系中描点，形成该函数的图象．二、求函数解析式的常用方法1.配凑法：原函数的表达式为，t是关于x的式子，要求的解析式，这是要把通过变形、整理，使其变为只含t与常数的式子，然后将t换成x，即可以得到的解析式，这种方法叫做配凑法.2.换元法：解题时，把某个式子看做整体，用一个新的变量取代替它，从而使问题简化，这种方法叫做配凑法.3.待定系数法：已知的函数类型，要求的解析式时，可根据类型先设出函数解析式，再将对应值代入，利用恒等式原理求出待定系数即可.4.解方程组法（或消元法）：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做解方程组法（或消元法）.5.赋值法：如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切值都成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当赋值，从而使问题简单化、具体化.例题精讲函数的解析式例1.若函数，，则f（x）＋g（x）＝．例2.已知a，b为常数，若f（x）＝x2＋4x＋3，f（ax＋b）＝x2＋10x＋24，则5a﹣b ＝．例3.已知f（x）＝2x＋3，g（x＋2）＝f（x），则g（x）等于（）A．2x＋1B．2x﹣1C．2x﹣3D．2x＋7例4.已知g（x）＝1﹣2x，f[g（x）]＝（x≠0），则f（）等于（）A．15B．1C．3D．30例5.已知f（x＋1）＝2x2＋1，则f（x﹣1）＝．构造函数知识讲解例题精讲分段函数知识讲解1.定义分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．1.学习分段函数的注意事项（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；（2）处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一范围，然后选取相应的对应关系.要注意写解析式是各自端点的开闭，做到不重复、不遗漏.（3）分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是分别求出各段上值域的并集；分段函数的最大（小）值则是分别在没端上求出最大（小）值，然后取各个最大（小）值中的最大（小）值.例题精讲分段函数例1.设f（x）＝，则f（5）的值为（）A．10B．11C．12D．13例2.函数，其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定A＝{y|y ＝f（x），x∈P}，B＝{y|y＝f（x），x∈M}，给出下列三个判断：①若P∩M＝Φ，则A∩B＝Φ；②若P∪M＝R，则A∪B＝R；③若P∪M≠R，则A∪B≠R．其中错误的判断是（只需填写序号）．例3.已知函数f（x）＝则f（f（5））＝（）A．0B．-2C．-1D．1例4.设f（x）＝，则f（5）的值为（）A．10B．11C．12D．例5.设函数f（x）＝，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f （x2）＝f（x3），则x1＋x2＋x3的取值范围是（）A．（]B．（）C．（]D．（）列表法知识讲解1.列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法．例题精讲列表法例1.设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：表1映射f的对应法则原象1234象3421表2映射g的对应法则原象1234象4312则与f[g（1）]相同的是（）A．g[f（1）]B．g[f（2）]C．g[f（3）]D．g[f（4）]例2.已知函数f（x），g（x）分别由表给出，则f（g（1））＝．x123 f（x）213 g（x）321例3.已知函数分别由下表给出x123f（x）131x123g（x）321则f（g（1））＝．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数的表示方法”的题目补充.例题精讲备选题库例1.直线l1：y=kx+b和直线l2：（k≠0，b≠0）在同一坐标系中，两直线的图形应为（）A．B．C．D．例2.函数f（x）=ln|x|-|x|的图象为（）A．B．C．D．例3.二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表：则不等式ax2+bx+c>0的解集是（）A．（-∞，-6）∪（-6，+∞）B．（-∞，-2）∪（3，+∞）C．（-2，3）D．（-6，+∞）例4.已知函数f（x）=x2+bx，若函数y=f（f（x））的最小值与函数y=f（x）的最小值相等，则实数b的取值范围是______________。
高中数学函数值域的求法(9种)
函数值域的求法求函数的值域时，要明确两点：一是函数值域的概念，二是函数的定义域和对应关系。
常用的方法有：观察法、换元法、配方法、判别式法、数形结合法、分离常数法、反表示法、中间变量值域法等。
（1）观察法：有的函数结构并不复杂，可以通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的函数的值域求出函数的值域。
如函数211xy +=的值域{}10|≤<y y 。
（2）换元法：运用换元，将已知的函数转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。
例如：形如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数，0≠ac ）的函数常用此法。
（3）配方法：若函数是二次函数的形式，即可化为()02≠++=a c bx ax y 型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间上二次函数最值得求法。
如求函数32+-=x x y 的值域，因为()2212≥+-=x y ，所以所求函数的值域为[)∞+，2。
（4）判别式法：求形如fex dx c bx ax y ++++=22（f e d c b a ,,,,,不同时为0）的值域，常利用去分母的形式，把函数转化为关于x 的一元二次方程，通过方程有实根，判别式0≥∆，求出y 的取值范围，即得到函数的值域。
（5）数形结合法：有些函数的图像比较容易画出，可以通过函数的图像得出函数的值域；或者分段函数也常用画出函数图像的方法判断出函数的值域。
例如：12--+=x x y 。
（6）分离常数法：形如()0≠++=a b ax d cx y 的函数，经常采用分离常数法，将bax d cx ++变形为()b ax a bc d a c b ax a bcd b ax ac +-+=+-++，再结合x 的取值范围确定b ax a bcd +-的取值范围，从而确定函数的值域。
如求函数112+-=x x y 的值域时，因为132+-=x y ，且013≠+x ，所以2≠y ，所以函数的值域为{}2,|≠∈y R y y 且。
高中数学：求函数值域的方法十三种
高中数学：求函数值域的十三种方法一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性八、函数单调性法（☆）九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、 多种方法综合运用一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
【例1】求函数1y x =+的值域。
【解析】∵0x ≥，∴11x +≥， ∴函数1y x =+的值域为[1,)+∞。
【例2】求函数x 1y =的值域。
【解析】∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。
【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。
二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
【例1】 求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。
【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时， 故函数的值域是：[4，8]【变式】已知，求函数的最值。
【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。
将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。
函数的最小值为，最大值为。
图2【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，（1）求函数()g t（2）当∈t [-3,-2]时，求g(t)的最值。
高中数学：求函数值域的10种常见方法
求函数的值域（常用）一、用非负数的性质例1：求下列函数的值域：（1）y=-3x 2+2;（2）≥-1).练1：函数2()1f x x x =+-的最小值是_________________．练2：求函数y =练3：求函数的值域。
练4：（1）232+-=x x y （2）]8,5[,452∈+-=x x x y（3）2234x x y -+-=]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=二、分离常数法对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．例1：求下列函数的值域：（1）y=21x x ++（2）y=2211x x -+.练1：求下列函数的值域：（1）13222++=x x y （2）3214222++++=x x x x y三、利用函数单调性已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法． 例1：求函数y=3x+x 3的值域.练1：求函数122+-=xx y ()0>x 的值域.练2：求函数x x y 213--=的值域.四、利用判别式特殊地，对于可以化为关于x 的二次方程a(y)x 2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用0()0,a y y x ∆≥≠且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值． 例1：求函数y =234x x +的最值．练1：利用判别式方法求函数222231x x y x x -+=-+的值域．五、利用换元法求值域有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑． 例1：求函数的值域。
练1：求()6log 62log 2222++=x x y 的值域.1x x y -+=练2：设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+的值域.练3：求函数的值域．练4：求函数x x y 213--=的值域.六：判别式法例1：求函数的值域。
七、利用数形结合数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外． 例1：若62--=x x y ,求y 的最大、最小值．练1：求函数342+-=x x y 的值域．22x 1x x 1y +++=练2：求函数186122+-++=x x x y 的值域．练3：若（求x-y 的最大、最小值．八、利用已知函数的有界性． 例1：求函数y=25243x x -+的值域.练1：求函数的值域。
高中数学函数值域的种求法总结
高中数学函数值域的种求法总结高中数学中，函数值域是指函数在定义域内所有可能的取值的集合。
求函数值域是解决各类函数问题的重要方法之一、下面将总结高中数学中常用的求函数值域的11种方法。
1.利用定义法：根据函数的定义，直接求解函数的取值范围。
例如，对于函数f(x)=x^2，由于平方永远非负，所以其值域为[0,+∞)。
2. 利用图像法：通过绘制函数的图像，观察图像的上下界即可求得函数的值域。
例如，对于函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，故其值域为[-1, 1]。
3.利用对称性：对于一些具有对称性的函数，可以利用函数的对称性来快速求解其值域。
例如，对于奇函数f(x)=x^3，由于x^3关于原点对称，故其值域为整个实数轴。
4.利用函数的性质：通过函数的特点和性质来求解其值域。
例如，对于指数函数f(x)=a^x，由于指数函数永远大于0，所以其值域为(0,+∞)。
5. 利用最值的求解方法：对于具有最值的函数，可以通过求解最值来确定函数的值域。
例如，对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0，由于 a > 0，故二次函数的开口向上，函数的最小值为顶点的 y坐标，可以通过求解顶点坐标来确定函数的值域。
6.利用函数的递增性或递减性：对于递增函数或递减函数，可以根据函数递增性或递减性来求解其值域。
例如，对于递增函数f(x)=2x+1，由于斜率大于零，函数单调递增，故值域为(-∞,+∞)。
7. 利用函数的周期性：对于具有周期性的函数，可以利用函数的周期性来求解其值域。
例如，对于正弦函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的值在一个周期内是重复的，故其值域为 [-1, 1]。
8. 利用函数的复合性：对于复合函数，可以将函数拆解成多个简单的函数，然后求解每个简单函数的值域，最后将值域组合起来得到复合函数的值域。
例如，对于函数 f(x) = sqrt(x^2 + 1)，可以拆解成 f(x) = g(h(x)), 其中 g(x) = sqrt(x) 和 h(x) = x^2 + 1，然后求解 g(x) 和h(x) 的值域，最后得到 f(x) 的值域。
高中数学求函数值域解题方法大全
高中数学求函数值域解题方法大全高中数学求函数值域解题方法大全一、观察法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围。
例1：求函数y=x+1的值域。
解析：由于x≥-1，所以x+1≥0，因此函数y=x+1的值域为[1,+∞)。
例2：求函数y=1/x的值域。
解析：显然函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，当x>0时，y>0；当x<0时，y<0.因此函数的值域是：例3：已知函数y=(x-1)-1，x∈{-1,1,2}，求函数的值域。
解析：因为x∈{-1,1,2}，而f(-1)=f(3)=3，f(2)=-1，f(1)=-∞，所以：y∈{-1,3}。
注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为x∈R，则函数的值域为{y|y≥-1}。
二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题，均可使用配方法。
例1：求函数y=x2-2x+5，x∈[-1,2]的值域。
解析：将函数配方得：y=(x-1)2+4，当x=1∈[-1,2]时，y取得最小值4，当x=-1或x=2时，y取得最大值8，因此函数的值域是：[4,8]。
变式：已知f(x)=ax2+bx+c，其中a>0，且在区间[-1,1]内的最小值为1，求函数在[-2,2]上的最值。
解析：由已知，可得a>0，且f(x)在x=0处取得最小值1，即b=0.又因为在区间[-1,1]内的最小值为1，所以a≤4.将f(x)配方得：f(x)=a(x-1)2+1，当x=-2或x=2时，f(x)取得最大值5a+1；当x=1时，f(x)取得最小值1.因此，当a=4时，函数在[-2,2]上的最值分别为9和17.当a<4时，函数在[-2,2]上的最值分别为1和5a+1.三、其他方法：对于一些特殊的函数，可以采用其他方法求解。
例：已知函数f(x)=sinx+cosx，求函数的值域。
高中函数值域的7类题型和16种方法
高中函数值域的7类题型和16种方法函数值域是指函数输出值的集合。
在高中数学中，我们常常遇到一些关于函数值域的问题。
下面将介绍高中函数值域的7类题型以及解决这些问题的16种方法。
1. 函数值域的确定式题：给出一个函数的解析式，要求确定函数的值域。
解决方法：- 通过分析函数的定义域和性质推导函数的值域。
- 使用函数的图像来确定函数的值域。
- 借助导数和极值的概念来确定函数的值域。
2. 函数值域的确定性问题：给出一个函数的图像，要求确定函数的值域。
解决方法：- 通过观察图像的特点，确定函数的最大值和最小值。
- 借助极值和区间的概念，确定函数的值域。
3. 函数值域的不等式问题：给出一个函数的不等式解析式，要求确定函数的值域。
解决方法：- 分析给定不等式的解集，确定函数的值域。
- 将不等式转化为等式，解出方程，确定函数的值域。
4. 函数值域的集合表示问题：给出一个函数的值域，要求将其表示为集合。
解决方法：- 分析函数的定义域和性质，将函数的值域表示为集合。
- 借助函数的图像来表示函数的值域。
5. 函数值域的推导题：给出一个函数的值域，要求推导出函数的解析式。
解决方法：- 分析给定的值域，推导出函数的定义域和性质，再根据推导出的定义域和性质写出函数的解析式。
6. 函数值域的综合题：综合运用多种方法，确定函数的值域。
解决方法：- 根据题目要求，运用不同的方法来确定函数的值域。
- 分析题目中给出的条件，结合函数的性质来确定函数的值域。
7. 函数值域的实际问题：将函数值域与实际问题联系起来，解决实际问题。
解决方法：- 将实际问题转化为函数模型，通过确定函数的值域来解决实际问题。
- 根据实际问题给出的条件和约束，运用适当的方法来确定函数的值域，作为问题的解答。
以上是高中函数值域的7类题型和16种方法。
对于不同类型的问题，我们可以根据题目要求和给定条件，选择合适的方法来求解函数的值域。
通过练习这些题型，我们可以提高对函数值域的理解和分析能力。
高中数学求值域的10种方法
求函数值域的十种方法一．直接法（察看法）：对于一些比较简单的函数，其值域可经过察看获得。
例 1．求函数y x1的值域。
【分析】∵ x0 ，∴x11，∴函数 y x1的值域为[1,) 。
【练习】1．求以下函数的值域：① y 3x 2( 1 x 1) ；② f ( x)2 4 x ；x；○4y21,0,1,2 。
③ y x 1 1 ， xx1【参照答案】① [ 1,5]；② [2,)；③ (,1)(1,) ；{1,0,3} 。
4二．配方法：合用于二次函数及能经过换元法等转变为二次函数的题型。
形如F (x) af 2 ( x) bf ( x) c 的函数的值域问题，均可使用配方法。
例 2．求函数y x24x 2（ x[ 1,1] ）的值域。
【分析】y x24x 2( x2)2 6 。
∵ 1 x 1 ，∴ 3 x2 1 ，∴1 (x2)29，∴ 3(x 2)2 6 5 ，∴ 3 y 5。
∴函数 y x24x 2 （ x[ 1,1]）的值域为 [3,5]。
例 3 ．求函数y2x24x( x0, 4 ) 的值域。
【分析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不如设：f (x)x2 4 x( f (x)0) 配方得： f (x)(x2)24(x0, 4 ) 利用二次函数的有关知识得f (x)0, 4，从而得出： y0,2 。
说明：在求解值域 (最值 ) 时，碰到分式、根式、对数式等种类时要注意函数自己定义域的限制，本题为：f ( x)0 。
例 4 ．若x 2 y4, x0, y0，试求 lg x lg y 的最大值。
【剖析与解】 本题可当作第一象限内动点P(x, y) 在直线 x 2 y 4 上滑动时函数 lg x lg y lg xy 的最大值。
利用两点(4,0) ， (0,2) 确立一条直线，作出图象易得：x (0,4), y (0,2), 而 lg x lg y lg xy lg[ y(4 2y)] lg[ 2( y 1)2 2] ，y=1 时， lg xlg y 取最大值 lg 2 。
高中数学--函数值域及代数式取值范围
思维启迪 解析 思维升华
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）求函数 y = 2 - 2acos x - sin2 x的最
大值与最小值.
（2）已知 f (x) = 2 + log3 x，其中x Î[1,9] ， 求函数 y = [ f (x)]2 + f (x2) 的最大值与
最小值，并求出相应的x 值
（2） y = [ f (x)]2 + f (x2 ) = (2 + log3 x)2 + 2 + log3 x2 = (log3 x + 3)2 - 3
型，因为根号里面与外面字母次数
不同，所以令 x = cosq (q Î[0,p ])
所以原式可转化为：
（2） f (x) = 3x -1+ 1- x2
f ( ) 3cos1 sin
10 sin( ) 1 (tan 3)
所以原函数值域为：2[0-1210 -1, 10 -1]
常见求函数值域的各种方法
2012
常见求函数值域的各种方法
方法一
含 配参 方数 法一元一次不等式
求下列函数的值域
思维启迪 解析 思维升华
（1）f (x) = x2 + 2x - 3 （2）f (x) = x2 + 2x - 3
（3）f
(x)
=
x2
+
1 2x
-
3
（4）f (x)
1 x2 2x 3
（1） f (x) = x2 + 2x - 3 = (x + 1)2 - 4 ß
1 x2 2x 3
（6） f (x) = log22 x + log2 x2 - 3 = (log2 x + 1)2 - 4 ß f (x) Î[-4,+¥)
高中数学求函数值域的10种常见方法
高中数学求函数值域的10种常见方法
一、显函数法：
须先将函数写成显函数的形式，然后通过分析函数表达式的特征，确定其值域。
二、图像法：
一般通过函数的图像来确定其值域，可以在纸上绘制函数的图像，或者利用数学软件进行绘图分析。
三、函数增减性：
通过函数的增减性来确定其值域，即分析函数在定义域上的单调性。
四、函数的周期性：
若函数具有周期性，则值域受周期性的限制。
五、函数的有界性：
若函数在定义域上有上下界，则其值域也受到该有界性的限制。
六、反函数法：
通过求函数的反函数，获得原函数的值域。
七、导数法：
通过求函数的导数，分析其在定义域内的极值和拐点，得出值域的上下界。
八、极限法：
通过求函数在定义域两端的极限，确定函数值域的范围。
九、变量替换法：
可将复杂的函数转化为简单的函数，通过分析简单函数的值域，确定复杂函数的值域。
十、函数值的性质：
根据函数的性质和定义，通过推理和证明，确定函数值域。
以上是求函数值域的十种常见方法，根据不同的题目和函数形式，我们可以选择适用的方法来解决问题。
在实际应用中，经常需要综合运用多种方法来确定函数的值域。
高中数学求函数的值域基础知识与专项练习题(含答案解析)
高中数学求函数的值域基础知识与专项练习题（含答案解析）作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。
所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。
一、基础知识： 1、求值域的步骤： （1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤） （3）计算出函数的值域2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。
（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。
若()f x 为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。
（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然（3）换元法：()f x 的解析式中可将关于x 的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。
（4）最值法：如果函数()f x 在[],a b 连续，且可求出()f x 的最大最小值,M m ，则()f x 的值域为[],m M注：一定在()f x 连续的前提下，才可用最值来解得值域3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。
（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（2y ax bx c =++）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。
（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内） 例：()[]223,1,4f x x x x =−−∈−解：()()214f x x =−−∴对称轴为：1x = ()[]4,5f x ∴∈−（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称 （2）当,0x y →+∞→ 当,0x y →−∞→（4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a > 注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a = ② 极值点：,x a x a ==− ③ 极值点坐标：()(),2,,2a a a a −−④ 定义域：()(),00,−∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎤⎡−∞−+∞⎦⎣（5）函数：()0ay x a x=−> 注意与对勾函数进行对比 ① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =± ③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现1、换元法：将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围（2）换元的作用有两个：① 通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的② 化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与x 的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。
高中数学函数的定义域及值域
高中数学函数的定义域及值域高中数学函数的定义域及值域定义域(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，假如按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A.其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;值域名称定义函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合常用的求值域的方法(1)化归法;(2)图象法(数形结合)，(3)函数单调性法，(4)配方法，(5)换元法，(6)反函数法(逆求法)，(7)判别式法，(8)复合函数法，(9)三角代换法，(10)根本不等式法等关于函数值域误区定义域、对应法那么、值域是函数构造的三个根本“元件”。
平时数学中，实行“定义域优先”的原那么，无可置疑。
然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的'位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的互相转化)。
假如函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联络函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。
才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，理论证明，假如加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。
“范围”与“值域”一样吗?“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。
“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”那么只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
说明：（1）这两个集合A、B，它们可以 是数集，也可以是点集或其它集合，这两 个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A 的映射是截然不同的。其中f表示具体的对 应法则，可以用文字叙述； （2）集合A中的任何一个元素都有像，并且 象是唯一的; （3）不要求集合B中每一个元素都有原像 ，即B中可能有些元素不是集合A中的元素 xx 的像；
解析：
因为y
2x 1 启示：让我们先看看如何求函数y 的值域。 k x 1 2x 1 1
x 1 ＝2 x 1 。 由反比例函数y
1 1 不能为0, 那么y 2 中y 2, x 1 x 1
x
(k 0)的值域知，
2x 1 即是说函数 y 的值域为 y y R且y 2 。 x 1 说明：分子分母都是一次式的分式函数可以分离成一个常 数与一个反比例型函数的和。
方法二
分离常数法
把已知函数分离成一个常数与另一个函数 的和，从而求得函数值域的方法叫分离常数法。 ——常用于分子分母都是一次式的分式函数。
2) y x 2 x 2。 方法三
2
配方法
通过把已知函数（或其部分）配成完全平方， 再利用非负数的性质求得函数值域的方法叫配方法。 ——常用于二次函数及与其有关的函数。
4)二次函数y ax2 bx c(a 0)的值域是什么？
4ac b 2 4ac b 2 答：a 0时为 y y ；a 0时为 y y 。 4a 4a
无论采用什么方法 求函数的值域，均应优 先考虑定义域。 求函数值域没有通用 的方法和固定的模式。只 能依据函数解析式的结构 特征来确定相应的解法。
y
- 称 轴 x=-
a 2
0 m
对称轴
1
n
m
n
图（3）
图（1）
对 称 轴 x=-
a 2
m0
1 n
对称轴
m
图（2）
n
图（4）
方法一
直接法
根据基本函数的值域及不等式性质、非负数性质，通过观 察分析直接得出函数值域的方法叫直接法。也叫观察分析法。 ——常用于一些解析式结构比较简单的函数。
例题2：求下列函数的值域：
1) y x 1;
3) y 1 2x ;
2) y 2 x ;
2
4) y 2x x 2
4 2
答： 1)1,； 2) ,2 ； 3)0,； 4) 2,。
例题3
5x 1 1) y ; 4x 2
求下列函数的值域：
所以用配方法解2）得：
由 x2 2 x 2 0得 1 3 x 1 3。
当 1 3 x 1 3时，因为 3 ( x 1)2 0
所以0 ( x 1)2 3 3。
元素对应
4 不是。A中元素0在B中无元素与之对 应
（2）函数与映射有什么区别与联系？
• 函数是一种特殊的映射，是从非 空数集到非空数集的映射。 • 函数概念又可以叙述为：设A，B 是两个非空数集，f是A到B的一 个映射，那么映射f：A→B就叫 做A到B的函数。 • 在函数中，原像的集合称为定义 域，像的集合称为值域。
f(x)=ax2+bx+c 判别式 二 次 函 数 的 图 像 最值 △>0 △=0 △ <0
4ac b 4a
2
( x∈R ) a<0
a>0
当x= 2 a 时,y最小值=
b
当x=
b 2a
4ac b 2 时,y最大值= 4a
例题1：求f(x)=x2-2x-3 ①x∈[-1，0]， ②x∈[2，3]， ③x∈[-1，2]的最值
例1、 下列对应是不是A到B的映射？ 1 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9} ，f:乘2 加1 2 A=N+，B={0,1} ，f: x 除以2得的余数 3 A=R+，B=R，f:求平方根 ss 4 A={x|0≤ x<1}，B={y|y≥1} f:取倒数
解： 3 不是。B中有两个元素与A中一个
5 10 ( 4 x 2) 1 5x 1 4 7 5 4 5 于是有： 1 ）y y 。 4x 2 4x 2 4 2(4 x 2) 4
5 故所求函数的值域为 y y R 且 y 。 4
启示2 由二次函数 y ax2 bx c(a 0)的值域是 通过配方法（也可用判 别式法或图象法）求得 的。
(4)一对一
:
一、映射：一般地，设A、B是两个非空 集合，如果按照某种对应法则f，对于集 合A中的任何一个元素，在集合B中都有 唯一的一个元素和它对应，那么这样的对 应(包括集合A、B以及A到B的对应法则） 叫做集合A到集合B的映射，记作： f : A B
A中的元素x称为原像, B中的对应元素y称为x的像.
例二 求像与原像：
(1)从R到R*的映射f：x→|x|+1，则R中的元素-1
*中的元素4中R中的原像是 2 在R*中的像是____,R ±3 _______.
(2)在给定的映射f：（x，y）→（x+y，x-y）下, （3，-1） 则点（1，2）在f下的像是_________,
3 1 ( , ) 2 2 点（1，2）在f下的原像是___________.
请 思 考 并 分 析 右 边 给 出 的 对 应 关 系
A 9 4
开平方
B 3 －3 2 －2 1 －1
A 300 450 600 900
求正弦
B
1 2
2 2 3 2
1
1
(1)一对多
A 1 －1 2 －2 3 －3
求平方
B 1 4 9
A
(2)一对一
乘以2 1 2 3
B 1 2 3 4 5 6
(3)多对一
函数值域的求法
复
习
1）什么叫函数的值域？函数的值域应该怎样表示？ 答：由自变量对应的所有函数值构成的集合叫 函数的值域。函数的值域应该用集合的描述法或区 间表示。 2）正比例函数y=kx、一次函数y=ax+b的值域分别 是什么？ 答：都是R。 k 3）反比例函数 y (k 0)的值域是什么？ x y y R且y 0 答： 。