[数学]高中数学函数的值域

方法二
分离常数法
把已知函数分离成一个常数与另一个函数 的和，从而求得函数值域的方法叫分离常数法。 ——常用于分子分母都是一次式的分式函数。
2) y x 2 x 2。 方法三
2
配方法
通过把已知函数（或其部分）配成完全平方， 再利用非负数的性质求得函数值域的方法叫配方法。 ——常用于二次函数及与其有关的函数。
请 思 考 并 分 析 右 边 给 出 的 对 应 关 系
A 9 4
开平方
B 3 －3 2 －2 1 －1
A 300 450 600 900
求正弦
B
1 2
2 2 3 2
1
1
(1)一对多
A 1 －1 2 －2 3 －3
求平方
B 1 4 9
A
(2)一对一
乘以2 1 2 3
B 1 2 3 4 5 6
(3)多对一
4)二次函数y ax2 bx c(a 0)的值域是什么？
4ac b 2 4ac b 2 答：a 0时为 y y ；a 0时为 y y 。 4a 4a
无论采用什么方法 求函数的值域，均应优 先考虑定义域。 求函数值域没有通用 的方法和固定的模式。只 能依据函数解析式的结构 特征来确定相应的解法。
xx
说明：（1）这两个集合A、B，它们可以 是数集，也可以是点集或其它集合，这两 个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A 的映射是截然不同的。其中f表示具体的对 应法则，可以用文字叙述； （2）集合A中的任何一个元素都有像，并且 象是唯一的; （3）不要求集合B中每一个元素都有原像 ，即B中可能有些元素不是集合A中的元素 xx 的像；
元素对应
4 不是。A中元素0在B中无元素与之对 应
（2）函数与映射有什么区别与联系？
• 函数是一种特殊的映射，是从非 空数集到非空数集的映射。 • 函数概念又可以叙述为：设A，B 是两个非空数集，f是A到B的一 个映射，那么映射f：A→B就叫 做A到B的函数。 • 在函数中，原像的集合称为定义 域，像的集合称为值域。
例题2：求下列函数的值域：
1) y x 1;
3) y 1 2x ;
2) y 2 x ;
2
4) y 2x x 2
4 2
答： 1)1,； 2) ,2 ； 3)0,； 4) 2,。
例题3
5x 1 1) y ; 4x 2
求下列函数的值域：
所以用配方法解2）得：
由 x2 2 x 2 0得 1 3 x 1 3。
当 1 3 x 1 3时，因为 3 ( x 1)2 0
所以0 ( x 1)2 3 3。
解析：
因为y
2x 1 启示：让我们先看看如何求函数y 的值域。 k x 1 2x 1 1
x 1 ＝2 x 1 。 由反比例函数y
1 1 不能为0, 那么y 2 中y 2, x 1 x 1
x
(k 0)的值域知，
2x 1 即是说函数 y 的值域为 y y R且y 2 。 x 1 说明：分子分母都是一次式的分式函数可以分离成一个常 数与一个反比例型函数的和。
例二 求像与原像：
(1)从R到R*的映射f：x→|x|+1，则R中的元素-1
*中的元素4中R中的原像是 2 在R*中的像是____,R ±3 _______.
(2)在给定的映射f：（x，y）→（x+y，x-y）下, （3，-1） 则点（1，2）在f下的像是_________,
3 1 ( , ) 2 2 点（1，2）在f下的原像是___________.
例1、 下列对应是不是A到B的映射？ 1 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9} ，f:乘2 加1 2 A=N+，B={0,1} ，f: x 除以2得的余数 3 A=R+，B=R，f:求平方根 ss 4 A={x|0≤ x<1}，B={y|y≥1} f:取倒数
解： 3 不是。B中有两个元素与A中一个
yБайду номын сангаас
-1 -3
o
1
3
x
对 称 轴 x=-
a 2
0 m
对称轴
1
n
m
n
图（3）
图（1）
对 称 轴 x=-
a 2
m0
1 n
对称轴
m
图（2）
n
图（4）
方法一
直接法
根据基本函数的值域及不等式性质、非负数性质，通过观 察分析直接得出函数值域的方法叫直接法。也叫观察分析法。 ——常用于一些解析式结构比较简单的函数。
函数值域的求法
复
习
1）什么叫函数的值域？函数的值域应该怎样表示？ 答：由自变量对应的所有函数值构成的集合叫 函数的值域。函数的值域应该用集合的描述法或区 间表示。 2）正比例函数y=kx、一次函数y=ax+b的值域分别 是什么？ 答：都是R。 k 3）反比例函数 y (k 0)的值域是什么？ x y y R且y 0 答： 。
(4)一对一
:
一、映射：一般地，设A、B是两个非空 集合，如果按照某种对应法则f，对于集 合A中的任何一个元素，在集合B中都有 唯一的一个元素和它对应，那么这样的对 应(包括集合A、B以及A到B的对应法则） 叫做集合A到集合B的映射，记作： f : A B
A中的元素x称为原像, B中的对应元素y称为x的像.
f(x)=ax2+bx+c 判别式 二 次 函 数 的 图 像 最值 △>0 △=0 △ <0
4ac b 4a
2
( x∈R ) a<0
a>0
当x= 2 a 时,y最小值=
b
当x=
b 2a
4ac b 2 时,y最大值= 4a
例题1：求f(x)=x2-2x-3 ①x∈[-1，0]， ②x∈[2，3]， ③x∈[-1，2]的最值
5 10 ( 4 x 2) 1 5x 1 4 7 5 4 5 于是有： 1 ）y y 。 4x 2 4x 2 4 2(4 x 2) 4
5 故所求函数的值域为 y y R 且 y 。 4
启示2 由二次函数 y ax2 bx c(a 0)的值域是 通过配方法（也可用判 别式法或图象法）求得 的。