化工过程分析与合成 第二版

实践中，一般根据工程计算所要求的精度，或凭经验进行估计。
合适的容差应能使迭代时间不过长,又能使计算结果具有一定精度。
6）收敛速度
lim
k
( X ) ( k 1) X * ( X ) (k ) X
* n
C
X*是方程的解。 当n=1,n=2时称为线性收敛与二次收敛;n>1称为超线性收敛。
3）全局收敛 对于迭代求解时，如待求解的非线性方程无论只有一 个解还是多个解，算法均能保证方程的求解收敛在唯一 正确的解时，则称迭代求解具有全局收敛性。
4）收敛判据
用来判断迭代计算收敛精度的目标函数值 在方程的迭代求解过程中，只要迭代方法正确，则每次迭代 总是向方程的解逼近，对于不同的求解问题及不同的迭代方法， 收敛速度和收敛精度都是有差别的，因此应事先规定某种判据， 以此来判断方程迭代到什么程度就认为是收敛了。
x k 1 qxk (1 q) g ( x k )
k k 1 g(x ) g(x ) S x k x k 1
q S/(S - 1)
(3)
对于隐式一维代数方程：
（4） 相应的迭代公式称作割线法，其迭代公式可从Wegstein迭 代公式导出 从（4）式可得出： k k k （5）
一、序贯模块法的基础-单元模块 过程系统描述方程: 物性估算方程、单元模型方程 流股连接方程、设计规定方程
单元模块是依据相应过程单元的数学模型和求解算法编制的子程序。 通常，单元模块与过程单元是一一对应的。 过程单元的输入物流变量即为单元模块的输入， 而单元模块的输出即为过程单元的输出物流变量。
在化工过程中，通常主要分以下几种类型的单元操作模型 。 (1) 钝性流动器械：流股混合器和流股分割器; (2) 活性分离器械：精馏塔、吸收塔和萃取塔等; (3) 平衡级器械：闪蒸器（等温闪蒸、绝热闪蒸）等; (4) 压力变化器械：泵、压缩机、膨胀机、真空泵和节流阀等; (5) 温度变化器械：换热器、再沸器、冷凝器、加热炉; (6) 化学反应器：转化率反应器。化学计量反应器、化学平衡 反应器、动力学反应器等; (7) 耦合型器械：反应精馏、反应吸收等耦合操作过程; (8) 其他器械：沉淀、结晶、干燥等操作过程。
过程单元与单元模块
☺单元模块的特点：单向性. 给定其输入物流变量及参数可计算出相应的输出变量，但不能 进行反算，即不能通过输出变量计算输入变量，也不能通过输 入、输出变量计算模块参数。
二、序贯模块法的基本思想 从系统入口物流开始，经过接受该物流变量的单元模块的计算， 得到输出物流变量，这个输出的物流变量就是下一个相邻单元 的输入物流变量。依此逐个计算过程系统中的各个单元，最终 计算出系统的输出物流。计算得出的过程系统中所有的物流变 量值，即状态变量值。
解：
令猜值为x1＝2；x2＝10；x3＝5
解： 令猜值为x1＝6；x2＝3.5；x3＝5
B、数值稳定性好
C、收敛速度快 影响收敛速度的主要有3个因素： 迭代次数、函数G(x)的计算次数及矩阵求逆的次数 序贯模块法中，G(x)没有 具体的函数形式，每计算 一次函数值就相当于做一 次流程回路的模拟计算
图 2-18 三级闪蒸过程的模拟模块流程
平衡闪蒸单元模型 物料衡算关系 组分衡算关系 热量衡算关系 压力 温度 相平衡关系 组分归一化关系
组分 流量，kmol 流股 汽相产品 液相产品
丁烷 110.7 25.3
戊烷 82.0 99.2
已烷 19.3 116.8
阻尼因子 计算时间，s
0.5 60
B、有界Wegstien法
阻尼因子q选取不当，加权直接迭代可能导致迭代计算收敛速度 缓慢，Wegstien法虽然无需认为选定q值，但是也可能因为q值 不当导致不能收敛。
有界Wegstien法就是凭借经验人为地将q值限定在一定范围内， 以改善其收敛行为，即： Flowtran:qmin=-5,qmax=0
0.3 40
0.0 25
-0.2 18
-0.3 16
-0.5 23
-0.7 35
-0.9 发散
流股
组分 流量，kmol 汽相产品 液相产品
丁烷 120.6 15.7
戊烷 79.9 101.2
已烷 11.0 125.2Biblioteka Baidu
阻尼因子 计算时间，s
0.5 188
0.3 132
0.0 94
-0.2 78
-0.3 70
根据计算值y，以一定的方法确定新的猜值x C、判断是否达到收敛：
比较猜值x与y，若其结果满足给定精度要求，则 结束迭代计算，否则继续该迭代过程。 收敛单元实质：数值迭代求解非线性方程组的子程序。
3）适合于收敛单元的数值计算方法应满足条件 A、对初值的要求不高 初值易得,不易引起迭代的发散； 初值组数少。 例: 用直接迭代法求解方程组 P22例2-2
一、收敛的基本概念 1）隐式表达式与显式表达式 描述化工流程系统的各类方程，一般来说，所表达的是对其中 所含变量给以某种约束的等式关系。等式的表达形式有2种情况， 即： 显式表达式
f (X ) 0 X (X )
隐式表达式
2）局部收敛
迭代求解不能保证收敛到真实解的特性。
在迭代开始时，需要对求解变量设置一个最初的估计值，即初始点 一般来说，初始点应离方程的解比较近，只有这样才能保证 求解有成功的可能性。 特别是在求解多解的非线性方程时，常常是初始点离哪个解近， 就将收敛到哪个解上。 对实际问题，常常是只有一个解具有物理意义，是所需要的解， 如果初始点设得不当，则求出的解，很可能并不是所需要的解。
f ( x) x g ( x) 0
g(x ) x f (x )
将上式代入（2）式
x k 1 qxxk (1 q)[x k f ( xk )] xk (1 q) f ( x k )
（6）
从（2）和（3）式得到：
1 x x 1 q k k 1 1 s f (x ) f (x )
化工过程分析与合成 Analysis and Synthesis of Chemical Process 第二章 化工过程系统稳态模拟与分析
Chapter2 Steady-state Simulation and Analysis of CPS
2-II
2.2 序贯模块法 2.2.1 序贯模块法的基本原理 序贯模块法是以单元模块为基本计算单元，通过单元模块 的序贯计算来求解系统模型，系统中的单元设备只要已知 它的输入各流股和有关决策变量，就能通过调用相应的单 元模块，解出所有输出流股。
绝对量 收敛判据
f (X ) 0 X (X )
f ( X ) (k )
( X ) (k ) X (k )
相对量 收敛判据
f ( X ) (k ) (X )
(k )

( X ) (k ) X (k )
(X )
(k )
5）收敛容差 在方程的迭代求解过程中，收敛判据中设定的前后两次迭代 结果的差值。为一足够小的正数。 一般用 来表示。
二、收敛单元 1）收敛单元模块：执行断裂物流变量收敛功能的模块
猜值
计算值 断裂物流变量的收敛问题， 实际上是迭代求解非线性 方程组的问题：x=y=G(x) G为描述过程系统的非线性 方程组，没有具体的函数形 式，只是一系列单元模块计 算的结果。 y-x=G(x)-x<ε
2）收敛单元作用 A、获取猜值的初值x0； B、修正迭代变量：
qmin q qmax
Chess:q=0,q>0 OR q<10
C、多维Wegstien法
x k 1 qxk (1 q) g ( x k ) 多维方程组 xi g i ( x1 , x2 ,...,xn ) 需要将
三、序贯模块法的基本步骤
1）将系统分解成各个可独立解算的子系统（单元）； 2）建立单元模型； 3）进行结构分析（系统分解），分割、切断，使系统得以开始 计算； 4）选取适当的收敛框，迭代求解系统。
决策变量：系统输入物流变量及单元模块参数。 与环境交换但与物流无关的能量流、反应程度、分割比及 几何尺寸等. 注意：求解与过程系统的结构有关.
k
k 1
（7）
上式代入（5）式，则有：
x k x k 1 x k 1 x k f (xk ) f ( x k ) f ( x k 1 )
（8）
式（8）就是割线法的迭代公式。由此可见，Wegstein法与 割线法是相通的.
隐式方程具有更大的普遍性，所以割线法常为人们所 熟知。 在流程模拟领域中，物流回路多用显式方程描述的。 因而多用Wegstein法。
当所涉系统为无反馈联结（无再循环流）的树形结构时，系统的 模拟计算顺序与过程单元的排列顺序是完全一致的。 具有反馈联结的系统（不可分割子系统）：需要用到分隔、切断 以及收敛技术.
分隔、切断在前面的讲解中已经进行，接下来讲解收敛技术。
2.2.2 断裂物流变量的收敛_P21
通过断裂可以将不可分割子系统中的回路物流打开，从而可以 利用序贯模块法对该过程进行模拟计算。
当闪蒸温度分别为以下值时：
分别用直接迭代法和阻尼直接迭代法计算汽相和液相产品的流量 和组成，阻尼因子分别取值为0.5，0.3，-0.2，-0.3，-0.7，-0.9。
解： 依据闪蒸条件，设该闪蒸过程为理想体系，三个闪蒸器 均为等温闪蒸过程，建成相应的单元模块。并将其改绘 为如下三级闪蒸过程模拟模块流程。
这种模拟计算的开始是首先要设定起始物流变量的猜值，计算 的终点则在于该猜值与计算值的收敛。 迭代法，是方程数值解法中最常用的一大类方法的总称。
迭代法共同特点：对求解变量的数值进行逐步改进，使之从 开始不能满足方程的要求，逐渐逼近方程所要求的解，每一 次迭代所提供的信息（表明待解变量的数值同方程的解尚有 距离的信息），用来产生下一次改进值，迭代方案有多种， 这就形成了不同的迭代方法。 过程系统经过分隔和再循环网的断裂后，对所有断裂物流中 的全部变量给定一初值，即可按顺序对该系统进行模拟计算， 这就需要选择有效的迭代方法，使断裂流股变量达到收敛值。
x
k 1
F x F (xk ) x x x k
k
1
直接迭代法的雅可比矩阵为单位矩阵
直接迭代法的特点：方法简单，只需要一组初值，不需计算导数 和逆矩阵。 缺点：迭代次数多，收敛速度慢，且对初值要求高。
改善直接迭代法的收敛行为
加权（阻尼）直接迭代法：xk+1=qxk+(1-q)G(xk) q为阻尼因子 q=0：直接迭代； 0<q<1：加权直接迭代，改善收敛的稳定性； q<0： 外推直接迭代，加速收敛，但降低稳定性； q>=1：无意义。
-0.5 61
-0.7 51
-0.9 45
从上例可见，阻尼因子q值的选取具有较大的任 意性和经验性。1958年Wegstien提出了一种简便的 方法，可以弥补这种阻尼因子取值困难的弱点.
2）Wegstien法 A、一维Wegstien法 求解一维方程：x=g(x) Wegstien迭代公式如下： (1) (2)
G ( x) G ( x) x x
每求一次导数就要做 两次流程模拟计算
应尽量避免导数运算和矩阵求逆
D、占用计算机存储空间少
三、修正迭代变量的计算方法 直接迭代法、 有界Wegstein法、
主特征值法、
牛顿法 、
Broyden法、
拟牛顿法等
一些过程模拟系统计算中采用的迭代方法
1）直接迭代法 将计算值yk作为下一轮迭代的猜值xk+1而实施迭代计算， 即：xk+1=yk。 又y=G(x)，则迭代公式为：xk+1=G(xk) 这样，x=y=G(x)即：F(x)=x-G(x)=0 牛顿迭代式 F(xk)=xk-G(xk)=0 xk-F(xk)=xk+1
x k 1 qxk (1 q) g ( x k )
(2)
k k 1 g(x ) g(x ) S x k x k 1
q S/(S - 1)
(3)
由（2）式可见，一维Wegstein法需要有两个初值，其 中第一个初值是设置的猜值，第二个初值可根据第一个初 值按直接迭代法得到。