第4章 变换与PID
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第4章计算机控制系统连续域--离散化设计连续域
引言
引言
4.1 设计原理和步骤
一般动态系统有惯性阻尼低通特性高频段幅值衰减大●般动态系统有惯性,阻尼,低通特性,高频段幅值衰减大●信号经ZOH,保留基本频谱,高频部分衰减大
D /2*()()j T D j e
j ωωω=数字控制器补偿器模拟控制器
⇩补偿器:补偿由补偿器:补偿由ZOH ZOH带来的相位延迟带来的相位延迟((-ωT/2)
较忽其响
当ωT 较小时可以忽略其影响,可以不补偿
连续域-离散化设计的步骤如下:第1步:根据系统的性能,选择采样频率
第2步:考虑ZOH 的相位滞后,设计数字控制算法等效传递
函数D e (s)
第3步:选择合适的离散化方法,将De s 离散化,获得脉
()(),()(1/2)()
j T
e e D j D j e D s sT D s ωωω==+()冲传递函数D (z ),使两者性能尽量等效。
第4步:检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求,
进行下一步;否则,重新进行设计。
改进设计的途径有:
–①选择更合适的离散化方法
–②提高采样频率
–③修正连续域设计,如增加稳定裕度指标等第5步:将D (z )变为数字算法,在计算机上编程实现。
4.2 各种离散化方法
•最常用的表征控制器特性的主要指标:
–零极点个数与位置;
–系统的频带,频率响应特性;
–稳定性与稳态增益;等效离散D z)
D s
–相位及增益裕度;
–阶跃响应或脉冲响应形状;
()
()
•数值积分法
一阶向后差法
一阶向前差法
双线性变换法及修正双线性变换法
•零极点匹配法
•保持器等价法(阶跃响应不变法)离散化方法
•z变换法(脉冲响应不变法)
由于这种变换不能保证D(z)一定稳定,所以应用较少。
向前差分法的应用
•映射关系畸变严重,不能保证•使用简单方便,如若采样周期较小,亦可使用例4-2()D s ()D z =2(2z =-•若取T
2. 一阶向后差分法
(1)离散化公式
将连续域中的微分
用一阶向后差分替换用阶向后差分替换s 与z 之间的变换关系:
系统离散:(直接代入)⎰以积分环节为例:1()()()11
U z T Tz D z E z z z -===--()(1)()
u k u k Te k =-+总面积=前n-1步面积和+当前面积
2. 一阶向后差分法
(2) 主要特性:s 平面与•当σ=0 轴映射到•当σ> 0(平面为小圆的外部。
左半平面映射到01
()()s z D s D z ===•当σ< 0(s 左半平面),映射到z
平面为小圆的内部。
(3) 应用
由于这种变换的映射关
系畸变严重,变换精度较低。
所以,工程应用受到限制,
向后差分法的映射关系
用得较少。欧拉积分,
T →0时失真小。
()D s =()(D z D =22
1T z =-az +T =1s 当1,2z =0.5000 当T=0.1s 1,2z =0.9541
s ()s D =离散化前后稳态增益不变
3.双线性变换法(突斯汀(1)离散化公式用梯形面积代替
矩形面积
进行z 变换,得
()21
E z z -s 与z 之间的变换关系2(1)-z 1+T s 或)(1)
=+s T z 212
=-z T s 或:•直接代入•梯形积分法可以获得更高的变换精度
(梯形面积代替矩形面积梯形面积代替矩形面积))
3.双线性变换法
(2)主要特性
①s 平面与–当σ–当σ–当σ稳定则定稳定22z ⎝⎭⎝⎭②若D (s )稳定,则D (z )一定稳定③频率畸变22122T T ωσ=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2(1)1)-=+z s T z z 域角频率为ωD
510 ()/2/22D D D j T j T j T ωωω----s 域角频率
图5-10 双线性变换映射关系
1e 2e e A j T ω==
3.双线性变换法
③频率畸变:双线性变换的一对一映
射,保证了离散频率特性
率混叠现象
ω
域
2
T
ω
O
3. 双线性变换法
(2)主要特性
④变换前后,
④变换前后
⑤变换后
⑤
有下式成立:
(3) 应用
①Array
②
例已知连续控制器传递函数试用双线性变换法离散,并比较()
D z=
0.01
=
静态增益:
()D z ()0.010.081D s s s ++
两者低频段比较接近,频率畸变程度较小
4. 修正双线性变换
解决“双线性变换产生
解决
(1)离散化方法
依据连续域与双线性变换后频率的非线性关系,首先修正原连续域传递函数,然后再进行双线性变换的结果。
(2) 主要特性
–
–
(3) 应用
–