第4章 变换与PID

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第4章计算机控制系统连续域--离散化设计连续域

引言

引言

4.1 设计原理和步骤

一般动态系统有惯性阻尼低通特性高频段幅值衰减大●般动态系统有惯性,阻尼,低通特性,高频段幅值衰减大●信号经ZOH,保留基本频谱,高频部分衰减大

D /2*()()j T D j e

j ωωω=数字控制器补偿器模拟控制器

⇩补偿器:补偿由补偿器:补偿由ZOH ZOH带来的相位延迟带来的相位延迟((-ωT/2)

较忽其响

当ωT 较小时可以忽略其影响,可以不补偿

连续域-离散化设计的步骤如下:第1步:根据系统的性能,选择采样频率

第2步:考虑ZOH 的相位滞后,设计数字控制算法等效传递

函数D e (s)

第3步:选择合适的离散化方法,将De s 离散化,获得脉

()(),()(1/2)()

j T

e e D j D j e D s sT D s ωωω==+()冲传递函数D (z ),使两者性能尽量等效。

第4步:检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求,

进行下一步;否则,重新进行设计。

改进设计的途径有:

–①选择更合适的离散化方法

–②提高采样频率

–③修正连续域设计,如增加稳定裕度指标等第5步:将D (z )变为数字算法,在计算机上编程实现。

4.2 各种离散化方法

•最常用的表征控制器特性的主要指标:

–零极点个数与位置;

–系统的频带,频率响应特性;

–稳定性与稳态增益;等效离散D z)

D s

–相位及增益裕度;

–阶跃响应或脉冲响应形状;

()

()

•数值积分法

一阶向后差法

一阶向前差法

双线性变换法及修正双线性变换法

•零极点匹配法

•保持器等价法(阶跃响应不变法)离散化方法

•z变换法(脉冲响应不变法)

由于这种变换不能保证D(z)一定稳定,所以应用较少。

向前差分法的应用

•映射关系畸变严重,不能保证•使用简单方便,如若采样周期较小,亦可使用例4-2()D s ()D z =2(2z =-•若取T

2. 一阶向后差分法

(1)离散化公式

将连续域中的微分

用一阶向后差分替换用阶向后差分替换s 与z 之间的变换关系:

系统离散:(直接代入)⎰以积分环节为例:1()()()11

U z T Tz D z E z z z -===--()(1)()

u k u k Te k =-+总面积=前n-1步面积和+当前面积

2. 一阶向后差分法

(2) 主要特性:s 平面与•当σ=0 轴映射到•当σ> 0(平面为小圆的外部。

左半平面映射到01

()()s z D s D z ===•当σ< 0(s 左半平面),映射到z

平面为小圆的内部。

(3) 应用

由于这种变换的映射关

系畸变严重,变换精度较低。

所以,工程应用受到限制,

向后差分法的映射关系

用得较少。欧拉积分,

T →0时失真小。

()D s =()(D z D =22

1T z =-az +T =1s 当1,2z =0.5000 当T=0.1s 1,2z =0.9541

s ()s D =离散化前后稳态增益不变

3.双线性变换法(突斯汀(1)离散化公式用梯形面积代替

矩形面积

进行z 变换,得

()21

E z z -s 与z 之间的变换关系2(1)-z 1+T s 或)(1)

=+s T z 212

=-z T s 或:•直接代入•梯形积分法可以获得更高的变换精度

(梯形面积代替矩形面积梯形面积代替矩形面积))

3.双线性变换法

(2)主要特性

①s 平面与–当σ–当σ–当σ稳定则定稳定22z ⎝⎭⎝⎭②若D (s )稳定,则D (z )一定稳定③频率畸变22122T T ωσ=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

2(1)1)-=+z s T z z 域角频率为ωD

510 ()/2/22D D D j T j T j T ωωω----s 域角频率

图5-10 双线性变换映射关系

1e 2e e A j T ω==

3.双线性变换法

③频率畸变:双线性变换的一对一映

射,保证了离散频率特性

率混叠现象

ω

2

T

ω

O

3. 双线性变换法

(2)主要特性

④变换前后,

④变换前后

⑤变换后

有下式成立:

(3) 应用

①Array

例已知连续控制器传递函数试用双线性变换法离散,并比较()

D z=

0.01

=

静态增益:

()D z ()0.010.081D s s s ++

两者低频段比较接近,频率畸变程度较小

4. 修正双线性变换

解决“双线性变换产生

解决

(1)离散化方法

依据连续域与双线性变换后频率的非线性关系,首先修正原连续域传递函数,然后再进行双线性变换的结果。

(2) 主要特性

(3) 应用

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