7第七章 回归方程的函数形式
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度量单位的变动会带来截距或斜率的不同 Y单位不变，如果把X的单位扩大10倍 ，导致X的数值缩小10 倍，为了维持Y不变，斜率需要扩大10倍 截距的变化跟随y的变化 度量单位的改变不会改变回归的判定系数变化 返回
讨论
双对数模型中，斜率度量了？
如果是变量间是固定弹性，应当使用什么模型
在这类多项式函数中，等式右边只有一个解释变 量，以不同次幂出现，依然可以看作是多元回归 模型：
变量虽然是非线性的，参数却是线性的，因而是一个
线性回归 会不会出现多重共线性：变量之间的不同次幂是非线 性关系 所以我们可以直接使用ols回归
3、多项式回归应用2：
引例：吸烟和肺癌之间的关系 吸烟是否引致肺癌？效应递增还是递减？
AGE的系数为0.0240,说明每多保存一 年，葡萄酒的价格会增加2.4%。？
Ln(price) 0.0240age 0.608temp (0.0075) (0.116)
0.0038rain 0.00115wrain (0.00095) (0.00051) R 2 0.828, S 0.287 以5%的显著性水平对回归参 数进行T检验，每一个参数都是 显著的。
回归结果
双对数模型回归结果： ˆ Ln(Y) 0.6702 0.725Ln(X) SE (0.5624) (0.1015) R 2 0.8644，支出的收入弹性为0.72，为固定弹性 普通线性回归结果： ˆ Y 7.618 0.0814X SE (3.0532) (0.012) R 2 0.8683， 0.0814代表边际消费倾向
2、AGE的系数为0.0240,说明每多保 存一年，葡萄酒的价格会增加2.4%。
Ln(price) 0.0240age 0.608temp (0.0075) (0.116)
0.0038rain 0.00115wrain (0.00095) (0.00051) R 2 0.828, S 0.287 以5%的显著性水平对回归参 数进行T检验，每一个参数都是 显著的。
方程两边变量以对数形式出现（注意参数依然是 线性的）
对于Y AL K 两边取自然对数，我们可以转换为 LNY LNA LNL LNK，此类模型称为对数-对数模型， 在回归分析中有特殊作用 令Y* LNY,A* LNA,L* LNL,K* LNK Y* A* L* K* 如果新的方程满足经典假定，则可使用OLS法估计
返回
二、半对数模型测度增长率
1、对于对数到线性模型 LNY b 0 b1 X1 dY dY 将其全微分，可得： b1 dX1 , b1 Y Y dX1 b1 含义：X1绝对量变动一个单位， 带来Y 的相对量（即增长率） 的变动， 2、对于线性到对数模型 Y b 0 b1 LNX1 ： 将其全微分可得： b1 dY dX1 dY , b1 dX1 X1 X1
通胀 率
X: 失业 率
6.8
5.5
5.5
6.7
5.5
5.7
5.2
4.5
3.8
3.8
3.6
3.5
3、例题 菲利普斯曲线
ˆ -0.259 20.588( 1 ) Y X T -0.2572 4.3996 R 0.6594
2
同样数据使用线性回归结果： ˆ Y 8.0147 0.7883X T -3.2605 6.46 R 0.5153
线性-对数模型中，斜率度量了？ 对数-线性模型中，斜率度量了？
小结
抛物线方程中的变量的平方项可以观察递 增或者递减效应 Quiz:观察广告费用（X）是否促进了产品 销量(Y)，并分析广告费用对销量的促进作 用是递增还是递减的，请写出回归方程。 返回
三、其他
关于过原点回归
只有在充分理论保证之下才能使用过原点的回归，即
无截距的回归
关于度量单位的说明： 例如把单位从万人改为 10万人
2
返回
二、 多项式回归模型的运用
1、定义 Y=B1 +B2X +B3 X2 +B4X3+…… 多项式回归模型的变量间不存在多重共线 性，视同多元线性回归返回
2、多项式回归应用1：成本函数
总成本函数：Y=B1 +B2X +B3 X2 +B4X3
可得：边际成本函数Y=B1 +B2X +B3 X2 可得：平均成本函数Y=B1 +B2X +B3 X2
0.34表示为劳动的产出弹性，劳动投入每增加1%，带
来产出增加0.34%，0.86表示资本的产出弹性，意义 类似 资本的产出弹性远大于劳动的产出弹性，为资本投入 驱动的经济体系
规模经济特征：0.34+0.85=1.18,1.18>1，为规模 报酬递增经济 R2=0.995，回归拟合程度很高（未报告调整后的 R2）返回
t
R 2 0.9996
B2 0.0098, 表示每过一年，人口增加0.98% dY ( B2 dt) Y 即解释变量绝对量变动一个单位，带来被 解释变量的相对变化，此处为单利增长率 延伸：由B2 LN(1 r) 可以推导r 0.9848%，人口的年度平均增长 0.9848%
高于某个收入临界值才
可以消费该商品 该商品有一个餍足水平
菲利普斯曲线：通胀和失业率的关系
3）当B1 < 0,B2 > 0时， 函数曲线如右图，菲 利普斯函数具有此形 状。 Y:为通胀率 X:失业率 返回
数据：1958-1969
Y: 4.2 3.5 3.4 3.0 3.4 2.8 2.8 3.6 4.3 5.0 6.1 6.7
返回
2、双曲线函数应用
1）当两个参数都大于 零时，函数曲线如右 图，生产的平均固定 成本函数具有此形状。 Y: 平均固定成本（总 固定成本不变，随着 产出的增加平均固定 成本下降） X: 产量
恩格尔消费曲线：消费者在某一商品 上的支出与其总收入的关系
2）当B1 >0,B2 <0时， 函数曲线如右图，恩 格尔消费函数具有此 形状。 Y:在某一商品上的消 费支出 X:消费者收入
返回
二、对数-对数模型用于测量弹性
1、回顾弹性的含义 需求的价格弹性含义： 商品价格每变动1%， 带来需求量变动的百 分比，即两个相对变 动的比值
dQ Q dP P dQ dP Q P
2、对对数-对数模型进行全微分
LNY LNA LNL LNK 对上式全微分得： dY dL dK Y L K 由偏回归系数含义得： k不变，即dk 0时 当 返回 dY Y ，即衡量的是弹性，当 每变动 %时，Y变动 %。 L 1 dL 我们可以看到此时弹性（α，β）在模型 L 中作为回归参数，是不变的，所以我们也 含义相同 称双对数模型为固定弹性模型或者不变弹
性模型
三、对数-对数模型的假设ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ验
1、视为和普通线性回归相同 2、 （了解）但是正态性假定发生了变化
返回
四、线性模型和双对数模型的比较和 选择
1、不能单纯根据判定系数或者调整后的判 定系数的大小来选择模型
注意：只有被解释变量相同的模型，判定系数
或 调整后的判定系数的比较才有意义。
2、一元回归可通过观察散点图来选择模型 3、应从实际出发选择模型，
例如经济理论表明变量间的关系确实是不变弹
性的，则选择对数-对数线性模型。返回
例题1：消费函数一例：
Y:支出 18 24 26 23 30 27 34 35 33 40 X:收入 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375
193749 205192 215130 ----
3、回归结果
被解释变量：实际GDP 解释变量：
资本：资本存量
劳动投入：就业人数
LNY^=-1.6524+0.34LNL+0.86LNK T (-2.73) (1.83) (9.06) R2=0.995
对回归结果的解释
系数含义
第七章 回归方程的函数形式
本章示范如何将一些非线性模型转 换为线性模型，有何特殊用途。
引例
数据 应变量： ln(price)： 1952~1980年间共10批， 用来自六个葡萄种植场的的葡萄酿造的60种不同 葡萄酒的价格，取其对数形式 自变量：
Age: 葡萄酒存放年数 Temp:葡萄生长期平均气温 Rain:8/9月份降雨量 Wrain:葡萄生长期前一年10月到次年3月降雨量
第二节 半对数模型测度增长率
一、半对数模型含义 二、半对数模型测度增长率 三、例题 返回
一、半对数模型含义
方程的某一边采用对数形式，另一边为线性形式
LNY b 0 b1 X1 Y b 0 b1 LNX1 此类模型称为半对数模 , 方程两边只有 型 一边的变量采用对数形 式。 前者为为对数到线性模 型， 后者为线性到对数模型 半对数模型用于测度增 长率
b1 含义：X1相对量变动一个单位， 1%, 带来Y 即 的绝对量的变动
返回
三、例题：1、人口增长率：如何通 过回归求年度平均增长率
如果我们有历年的人 口数据，如何求其的 年度平均增长率？ 年份 1970
1971 1972
人口Y 205.052
207.661 209.896
……
……
Yt Y0 (1 r) t（解释、推导, 其中t ?) , 可以看到，此时的r指的是复利增长率 两边取对数，LNYt LNY0 tLN(1 r) 令B1 LNY0 , B2 LN(1 r) LNYt B1 B2 t，此为对数到线性模型 回归得到： ˆ LNY 5.317 0.0098t
例题2：生产函数的回归
1、理论背景
科布-道格拉斯生产函数
2、数据 3、回归结果和解释
2、数据
年份
1955 1956 1957 1958 -----
gdp
114043 120410 129187 134705 ---
从业人口
8310 8529 8738 8952 ----
固定资本存 量 182113
横截面数据：1960年美国各州百人吸烟人数及其平方
项（用于观测递增还是递减）为解释变量，千人肺癌 死亡人被解释变量 Y=B1 +B2X +B3 X2
回归结果：
Y^=-6.19 +1.5765X -0.019179X2 T
(3.46) (-2.35) R2=0.564,调整后的R2=0.543
返回
第三节 其他模型
一、双曲线/倒数模型的运用
1、定义 2、双曲线函数应用 3、例题
二、 多项式回归模型的运用
1、定义
2、例题
三、其他 返回
一、双曲线/倒数模型
1、定义：
1 形如Y B1 B2 ( )的函数, 被称为双曲线函数模型 X 一个典型特征：当 无限增大时，曲线有极 X 值
目录
第一节 对数-对数模型用于测量弹性
第二节 半对数模型测度增长率 第三节 其他模型
第一节 对数-对数模型用于测量弹性
一、对数-对数模型含义 二、对数-对数模型用于测量弹性 三、对数-对数模型的假设检验 四、线性模型和双对数模型的比较 五、例题 返回
一、对数-对数模型含义
讨论
双对数模型中，斜率度量了？
如果是变量间是固定弹性，应当使用什么模型
在这类多项式函数中，等式右边只有一个解释变 量，以不同次幂出现，依然可以看作是多元回归 模型：
变量虽然是非线性的，参数却是线性的，因而是一个
线性回归 会不会出现多重共线性：变量之间的不同次幂是非线 性关系 所以我们可以直接使用ols回归
3、多项式回归应用2：
引例：吸烟和肺癌之间的关系 吸烟是否引致肺癌？效应递增还是递减？
AGE的系数为0.0240,说明每多保存一 年，葡萄酒的价格会增加2.4%。？
Ln(price) 0.0240age 0.608temp (0.0075) (0.116)
0.0038rain 0.00115wrain (0.00095) (0.00051) R 2 0.828, S 0.287 以5%的显著性水平对回归参 数进行T检验，每一个参数都是 显著的。
回归结果
双对数模型回归结果： ˆ Ln(Y) 0.6702 0.725Ln(X) SE (0.5624) (0.1015) R 2 0.8644，支出的收入弹性为0.72，为固定弹性 普通线性回归结果： ˆ Y 7.618 0.0814X SE (3.0532) (0.012) R 2 0.8683， 0.0814代表边际消费倾向
2、AGE的系数为0.0240,说明每多保 存一年，葡萄酒的价格会增加2.4%。
Ln(price) 0.0240age 0.608temp (0.0075) (0.116)
0.0038rain 0.00115wrain (0.00095) (0.00051) R 2 0.828, S 0.287 以5%的显著性水平对回归参 数进行T检验，每一个参数都是 显著的。
方程两边变量以对数形式出现（注意参数依然是 线性的）
对于Y AL K 两边取自然对数，我们可以转换为 LNY LNA LNL LNK，此类模型称为对数-对数模型， 在回归分析中有特殊作用 令Y* LNY,A* LNA,L* LNL,K* LNK Y* A* L* K* 如果新的方程满足经典假定，则可使用OLS法估计
返回
二、半对数模型测度增长率
1、对于对数到线性模型 LNY b 0 b1 X1 dY dY 将其全微分，可得： b1 dX1 , b1 Y Y dX1 b1 含义：X1绝对量变动一个单位， 带来Y 的相对量（即增长率） 的变动， 2、对于线性到对数模型 Y b 0 b1 LNX1 ： 将其全微分可得： b1 dY dX1 dY , b1 dX1 X1 X1
通胀 率
X: 失业 率
6.8
5.5
5.5
6.7
5.5
5.7
5.2
4.5
3.8
3.8
3.6
3.5
3、例题 菲利普斯曲线
ˆ -0.259 20.588( 1 ) Y X T -0.2572 4.3996 R 0.6594
2
同样数据使用线性回归结果： ˆ Y 8.0147 0.7883X T -3.2605 6.46 R 0.5153
线性-对数模型中，斜率度量了？ 对数-线性模型中，斜率度量了？
小结
抛物线方程中的变量的平方项可以观察递 增或者递减效应 Quiz:观察广告费用（X）是否促进了产品 销量(Y)，并分析广告费用对销量的促进作 用是递增还是递减的，请写出回归方程。 返回
三、其他
关于过原点回归
只有在充分理论保证之下才能使用过原点的回归，即
无截距的回归
关于度量单位的说明： 例如把单位从万人改为 10万人
2
返回
二、 多项式回归模型的运用
1、定义 Y=B1 +B2X +B3 X2 +B4X3+…… 多项式回归模型的变量间不存在多重共线 性，视同多元线性回归返回
2、多项式回归应用1：成本函数
总成本函数：Y=B1 +B2X +B3 X2 +B4X3
可得：边际成本函数Y=B1 +B2X +B3 X2 可得：平均成本函数Y=B1 +B2X +B3 X2
0.34表示为劳动的产出弹性，劳动投入每增加1%，带
来产出增加0.34%，0.86表示资本的产出弹性，意义 类似 资本的产出弹性远大于劳动的产出弹性，为资本投入 驱动的经济体系
规模经济特征：0.34+0.85=1.18,1.18>1，为规模 报酬递增经济 R2=0.995，回归拟合程度很高（未报告调整后的 R2）返回
t
R 2 0.9996
B2 0.0098, 表示每过一年，人口增加0.98% dY ( B2 dt) Y 即解释变量绝对量变动一个单位，带来被 解释变量的相对变化，此处为单利增长率 延伸：由B2 LN(1 r) 可以推导r 0.9848%，人口的年度平均增长 0.9848%
高于某个收入临界值才
可以消费该商品 该商品有一个餍足水平
菲利普斯曲线：通胀和失业率的关系
3）当B1 < 0,B2 > 0时， 函数曲线如右图，菲 利普斯函数具有此形 状。 Y:为通胀率 X:失业率 返回
数据：1958-1969
Y: 4.2 3.5 3.4 3.0 3.4 2.8 2.8 3.6 4.3 5.0 6.1 6.7
返回
2、双曲线函数应用
1）当两个参数都大于 零时，函数曲线如右 图，生产的平均固定 成本函数具有此形状。 Y: 平均固定成本（总 固定成本不变，随着 产出的增加平均固定 成本下降） X: 产量
恩格尔消费曲线：消费者在某一商品 上的支出与其总收入的关系
2）当B1 >0,B2 <0时， 函数曲线如右图，恩 格尔消费函数具有此 形状。 Y:在某一商品上的消 费支出 X:消费者收入
返回
二、对数-对数模型用于测量弹性
1、回顾弹性的含义 需求的价格弹性含义： 商品价格每变动1%， 带来需求量变动的百 分比，即两个相对变 动的比值
dQ Q dP P dQ dP Q P
2、对对数-对数模型进行全微分
LNY LNA LNL LNK 对上式全微分得： dY dL dK Y L K 由偏回归系数含义得： k不变，即dk 0时 当 返回 dY Y ，即衡量的是弹性，当 每变动 %时，Y变动 %。 L 1 dL 我们可以看到此时弹性（α，β）在模型 L 中作为回归参数，是不变的，所以我们也 含义相同 称双对数模型为固定弹性模型或者不变弹
性模型
三、对数-对数模型的假设ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ验
1、视为和普通线性回归相同 2、 （了解）但是正态性假定发生了变化
返回
四、线性模型和双对数模型的比较和 选择
1、不能单纯根据判定系数或者调整后的判 定系数的大小来选择模型
注意：只有被解释变量相同的模型，判定系数
或 调整后的判定系数的比较才有意义。
2、一元回归可通过观察散点图来选择模型 3、应从实际出发选择模型，
例如经济理论表明变量间的关系确实是不变弹
性的，则选择对数-对数线性模型。返回
例题1：消费函数一例：
Y:支出 18 24 26 23 30 27 34 35 33 40 X:收入 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375
193749 205192 215130 ----
3、回归结果
被解释变量：实际GDP 解释变量：
资本：资本存量
劳动投入：就业人数
LNY^=-1.6524+0.34LNL+0.86LNK T (-2.73) (1.83) (9.06) R2=0.995
对回归结果的解释
系数含义
第七章 回归方程的函数形式
本章示范如何将一些非线性模型转 换为线性模型，有何特殊用途。
引例
数据 应变量： ln(price)： 1952~1980年间共10批， 用来自六个葡萄种植场的的葡萄酿造的60种不同 葡萄酒的价格，取其对数形式 自变量：
Age: 葡萄酒存放年数 Temp:葡萄生长期平均气温 Rain:8/9月份降雨量 Wrain:葡萄生长期前一年10月到次年3月降雨量
第二节 半对数模型测度增长率
一、半对数模型含义 二、半对数模型测度增长率 三、例题 返回
一、半对数模型含义
方程的某一边采用对数形式，另一边为线性形式
LNY b 0 b1 X1 Y b 0 b1 LNX1 此类模型称为半对数模 , 方程两边只有 型 一边的变量采用对数形 式。 前者为为对数到线性模 型， 后者为线性到对数模型 半对数模型用于测度增 长率
b1 含义：X1相对量变动一个单位， 1%, 带来Y 即 的绝对量的变动
返回
三、例题：1、人口增长率：如何通 过回归求年度平均增长率
如果我们有历年的人 口数据，如何求其的 年度平均增长率？ 年份 1970
1971 1972
人口Y 205.052
207.661 209.896
……
……
Yt Y0 (1 r) t（解释、推导, 其中t ?) , 可以看到，此时的r指的是复利增长率 两边取对数，LNYt LNY0 tLN(1 r) 令B1 LNY0 , B2 LN(1 r) LNYt B1 B2 t，此为对数到线性模型 回归得到： ˆ LNY 5.317 0.0098t
例题2：生产函数的回归
1、理论背景
科布-道格拉斯生产函数
2、数据 3、回归结果和解释
2、数据
年份
1955 1956 1957 1958 -----
gdp
114043 120410 129187 134705 ---
从业人口
8310 8529 8738 8952 ----
固定资本存 量 182113
横截面数据：1960年美国各州百人吸烟人数及其平方
项（用于观测递增还是递减）为解释变量，千人肺癌 死亡人被解释变量 Y=B1 +B2X +B3 X2
回归结果：
Y^=-6.19 +1.5765X -0.019179X2 T
(3.46) (-2.35) R2=0.564,调整后的R2=0.543
返回
第三节 其他模型
一、双曲线/倒数模型的运用
1、定义 2、双曲线函数应用 3、例题
二、 多项式回归模型的运用
1、定义
2、例题
三、其他 返回
一、双曲线/倒数模型
1、定义：
1 形如Y B1 B2 ( )的函数, 被称为双曲线函数模型 X 一个典型特征：当 无限增大时，曲线有极 X 值
目录
第一节 对数-对数模型用于测量弹性
第二节 半对数模型测度增长率 第三节 其他模型
第一节 对数-对数模型用于测量弹性
一、对数-对数模型含义 二、对数-对数模型用于测量弹性 三、对数-对数模型的假设检验 四、线性模型和双对数模型的比较 五、例题 返回
一、对数-对数模型含义