高考数学二轮复习 专题三 数列 第2讲 数列求和训练 文

专题三 数列 第2讲 数列求和训练 文

一、选择题

1.已知数列112，314，518，71

16，…，则其前n 项和S n 为( )

A.n 2

＋1－12n

B.n 2

＋2－12n

C.n 2

＋1－12

n －1

D.n 2

＋2－12

n －1

解析 a n ＝(2n －1)＋1

2

n ，

∴S n ＝n （1＋2n －1）2＋12⎝

⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n 2＋1－12

n .

答案 A

2.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2

n （n ＋2）

，则其前n 项和S n 为( )

A.1－

1

n ＋2

B.32－1n －1n ＋1

C.32－1n －1n ＋2

D.32－1n ＋1－1n ＋2

解析 因为a n ＝

2n （n ＋2）＝1n －1

n ＋2

，

所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n

＝1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝32－1n ＋1－1n ＋2.

故选D. 答案 D 3.

122

－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2

－1

的值为( ) A.n ＋12（n ＋2）

B.34－n ＋12（n ＋2）

C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2

D.32－1n ＋1＋1n ＋2

解析 ∵

1（n ＋1）2

－1＝1n 2＋2n ＝1

n （n ＋2）

＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

n －1n ＋2，

∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2

－1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－1

5＋…＋1n －1n ＋2

＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3

2－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.

答案 C

4.各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则∑n

k ＝1

a 2k ＝( ) A.n （n ＋5）

2 B.3n （n ＋1）

2 C.

n （5n ＋1）

2

D.

（n ＋3）（n ＋5）

2

解析 当n ＝1时，3S 1＝a 1a 2，即3a 1＝a 1a 2，∴a 2＝3，

当n ≥2时，由3S n ＝a n a n ＋1，可得3S n －1＝a n －1a n ，两式相减得：3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1).∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝3，

∴{a 2n }为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴∑n

k ＝1

a 2k ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3n ＋n （n －1）

2×3＝3n （n ＋1）

2

，选B.

答案 B

5.(2016·长沙模拟)数列{a n }的通项a n ＝n 2

⎝

⎛⎭

⎪⎫

cos 2

n π

3

－sin

2

n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( ) A.470

B.490

C.495

D.510

解析 因为a n ＝n 2

⎝

⎛

⎭⎪⎫

cos

2

n π

3

－sin

2

n π3＝n 2

cos 2n π

3

， 由于cos 2n π3以3为周期，cos 2π3＝－12，cos 4π3＝－1

2，

cos 6π

3

＝1，

所以S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋222＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－42＋52

2＋62＋…＋ ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－282

＋292

2＋302 ＝∑k ＝110

⎣

⎢⎡⎦⎥⎤－（3k －2）2

＋（3k －1）2

2＋（3k ）2

＝∑k ＝110

⎝ ⎛⎭⎪⎫9k －52＝470. 答案 A 二、填空题

6.在数列{a n }中， a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，若b n ＝2

a n a n ＋1

，则数列{b n }的前n 项和S n

为________.

解析 a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝n （n ＋1）

2

n ＋1

＝n

2

. ∴b n ＝

2

a n a n ＋1

＝

2n （n ＋1）4

＝8n （n ＋1）＝8⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

n －1n ＋1，

∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n

＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－1

3＋…＋1n －1n ＋1

＝8⎝

⎛

⎭⎪⎫1－1n ＋1＝8n

n ＋1

. 答案

8n n ＋1

7.(2015·江苏卷)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *

)，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n 前10项的

和为________.

解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)，将以上

n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝

（2＋n ）（n －1）2，即a n ＝n （n ＋1）

2

(n ≥2)，

由于当n ＝1时a 1＝1也满足上式，故a n ＝n （n ＋1）

2

(n ∈N *

)，令b n ＝1a n

，

故b n ＝

2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10

＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－1

3＋…＋110－111＝2011.

答案

20

11

8.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)n

a n ＝1，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 60＝________. 解析 法一 依题意得，当n 是奇数时，a n ＋2－a n ＝1，

即数列{a n }中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＝30×1＋30×292

×1＝465；