Maple在微积分上的应用精品PPT课件
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95503統資軟體課程講義 Maple在微積分上的應用
學生：施凱晏 學號：95356071
Let us start!!!!
報告大綱：
函數與極限 導數與導函數 導數的應用 積分 積分應用與技巧
第一章 函數與極限
1.1 函數 1.2 函數的運算 1.3 極限的基本概念 1.4 Maple的極限計算法 1.5 函數的連Hale Waihona Puke Baidu性
1.4 Maple的極限計算法
(1)Limit & limit:計算函數的極限值。
lim it(f(x),x=a,dir) L im it(f(x),x=a,dir)
lim f(x)，指定由dir的方向趨近
xa
保留極限的原式，不做任何計算
趨近方向dir為一選項，其值可以是left或right。若沒有指定，則以雙方向趨
(2)片段函數(piecewise function)：
Maple以piecewise指令來定義片段函數，其語法如下:
piecewise(cond1,f1,cond,f2,…,condn,fn,otherwise)
若條件式cond1成立，則執行f1，若cond2成立，則執行f2，以此類推。
若所有條件都不成立，就執行otherwise，若otherwise沒有指定，則其預
近，而趨近的點可以是一常數、變數、或者是infinity、- infinity。
sin x
I:\2007spring\gradMaple\施凱晏\B&S limit.mw
x
I:\2007spring\gradMaple\施凱晏\limit piece.mwlimit指令也可以用來求解片 段函數的x極3, 限x 值2。 f (x) 6 2x, x>2
2.1 導函數與導數
(1)導函數:
f(x)的導函數之物理意義，即是f(x)之切線的斜率函數。
定義導函數: 函數f(x)的導函數定義為
f
'(x) lim h0
f (x h) h
f (x)
，而 f
'( x)
的定義域
為使得該極限存在的所有x所組成。
I:\200f7s'(pxr)ingl\igmradfM(xaplhe\)施凱f (晏x)\Limit1.mw
1.5 函數的連續性
(1)連續性:
定義函數的連續:
如果(1)f(a)有定義，(2) lim f (x) 存在，而且(3) lim f (x) f (a) ，則稱函數
xa
xa
f(x)在x=a為連續。
I:\200f7(sxp) rinxgx-\2g利rad用MMaapplele\施來凱判晏別\函co數nt.是mw否連續。
I:\2007spring\gradMaple\施凱晏\composite function.mw
合成函數也可以由片段函數組成。
I:\2007spring\gr5adxM, axple\0施凱晏\com&piece.mw
f
(x)
-x,
0<x
8,
而
g(x)
x3
，試以Maple求出(f。g)(x)
x , x>8
f(a)與f(b)的乘積為負)，則於閉區間[a,b]內至少存在一解c使得f(c)=0。 I:\2007spring\gradMaple\施凱晏\med theorem.mw
第二章 導數與導函數
2.1 導函數與導數 2.2 導函數的求法 2.3 Maple的微分指令 2.4 鏈鎖律 2.5 高階導函數 2.6 隱微分法
(2)Maple有關測試函數連續性的指令:
EX1: EX2:
discont(f(x),x) 找出於實數軸上，所有不連續的點
iscont(f(x),x=a..b) 測試於區間a到b之間，函數f(x)是否
連續。若無法判斷，則回應FAIL
iscont(f(x),x=a..b,closed) 測試的區間包含a與b兩個端點
(3)介值定理(the intermediate value theorem):
定理: 如果函數f於閉區間[a,b]連續，且 f (a) N f (b) ，則於閉區間[a,b]至少 存在一數c使得f(c)=N。
由介值定理可以推論得，若函數f於閉區間[a,b]連續且f(a)*f(b) 0(亦即
設值為0。
I:\2007spring\gr2axd,Mxa<p-1le\施凱晏\piecewise.mw
f
(x)
x
2
+1,
x
0
1.2 函數的計算
(1)函數的合成：
以函數g合成f，而產生的函數f(g(x))稱為合成函數(composite function)，
記為f。g。因此(f。g)(x)= f(g(x))。而Maple以小老鼠符號@來代表。
h0
h
(x+h)2 +3(x+h)-4-(x2 +3x-4)
= lim
h0
h
=......
= lim (2x+h+3) h0
=2x+3
(2)導數:
定義導數:
函數f(x)在x=a的導數記為 f '(a)，亦即 f '(a) lim f (a h) f (a) 。
h0
h
若函數f(x)在x=a的導數存在，亦即
1.3 極限的基本概念
極限(limit)常用來描述當x趨近某個數值時，函數y=f(x)的變化情形。
(1)極限的直觀介紹:
考慮
f (x)
sin x x
，在x=0並沒有定義(因為分母為0)，但因為sinx也為
0，所以式子變為0/0的數學式，探討其值為何。
I:\2007spring\gradMaple\施凱晏\limit.mw
(2)夾擠定理(squeeze theorem):
定理:
設在一個包含a點的開區間中的所有的x值，恆有g(x) f(x) h(x)，
若 lim g(x) lim h(x) L
xa
xa
則 lim f (x) L xa
I:\2007spring\gradMaple|\施x |凱x晏si\ns(q1e/ ex)ze|nxe|w.mw以函數圖形l來im說x s明in(1/ x) 0 x0 夾擠定理意義，
1.1 函數
(1)偶函數與奇函數：
如果 f (x) f (x，) 則稱f為偶函數(even function)。若 f (x) f (x)，則稱f 為奇函數(odd function)。偶函數的圖形對稱於y軸，而奇函數的圖形對稱
於原點。
I:\2007spring\gradMaple\施凱晏\even odd.mw
學生：施凱晏 學號：95356071
Let us start!!!!
報告大綱：
函數與極限 導數與導函數 導數的應用 積分 積分應用與技巧
第一章 函數與極限
1.1 函數 1.2 函數的運算 1.3 極限的基本概念 1.4 Maple的極限計算法 1.5 函數的連Hale Waihona Puke Baidu性
1.4 Maple的極限計算法
(1)Limit & limit:計算函數的極限值。
lim it(f(x),x=a,dir) L im it(f(x),x=a,dir)
lim f(x)，指定由dir的方向趨近
xa
保留極限的原式，不做任何計算
趨近方向dir為一選項，其值可以是left或right。若沒有指定，則以雙方向趨
(2)片段函數(piecewise function)：
Maple以piecewise指令來定義片段函數，其語法如下:
piecewise(cond1,f1,cond,f2,…,condn,fn,otherwise)
若條件式cond1成立，則執行f1，若cond2成立，則執行f2，以此類推。
若所有條件都不成立，就執行otherwise，若otherwise沒有指定，則其預
近，而趨近的點可以是一常數、變數、或者是infinity、- infinity。
sin x
I:\2007spring\gradMaple\施凱晏\B&S limit.mw
x
I:\2007spring\gradMaple\施凱晏\limit piece.mwlimit指令也可以用來求解片 段函數的x極3, 限x 值2。 f (x) 6 2x, x>2
2.1 導函數與導數
(1)導函數:
f(x)的導函數之物理意義，即是f(x)之切線的斜率函數。
定義導函數: 函數f(x)的導函數定義為
f
'(x) lim h0
f (x h) h
f (x)
，而 f
'( x)
的定義域
為使得該極限存在的所有x所組成。
I:\200f7s'(pxr)ingl\igmradfM(xaplhe\)施凱f (晏x)\Limit1.mw
1.5 函數的連續性
(1)連續性:
定義函數的連續:
如果(1)f(a)有定義，(2) lim f (x) 存在，而且(3) lim f (x) f (a) ，則稱函數
xa
xa
f(x)在x=a為連續。
I:\200f7(sxp) rinxgx-\2g利rad用MMaapplele\施來凱判晏別\函co數nt.是mw否連續。
I:\2007spring\gradMaple\施凱晏\composite function.mw
合成函數也可以由片段函數組成。
I:\2007spring\gr5adxM, axple\0施凱晏\com&piece.mw
f
(x)
-x,
0<x
8,
而
g(x)
x3
，試以Maple求出(f。g)(x)
x , x>8
f(a)與f(b)的乘積為負)，則於閉區間[a,b]內至少存在一解c使得f(c)=0。 I:\2007spring\gradMaple\施凱晏\med theorem.mw
第二章 導數與導函數
2.1 導函數與導數 2.2 導函數的求法 2.3 Maple的微分指令 2.4 鏈鎖律 2.5 高階導函數 2.6 隱微分法
(2)Maple有關測試函數連續性的指令:
EX1: EX2:
discont(f(x),x) 找出於實數軸上，所有不連續的點
iscont(f(x),x=a..b) 測試於區間a到b之間，函數f(x)是否
連續。若無法判斷，則回應FAIL
iscont(f(x),x=a..b,closed) 測試的區間包含a與b兩個端點
(3)介值定理(the intermediate value theorem):
定理: 如果函數f於閉區間[a,b]連續，且 f (a) N f (b) ，則於閉區間[a,b]至少 存在一數c使得f(c)=N。
由介值定理可以推論得，若函數f於閉區間[a,b]連續且f(a)*f(b) 0(亦即
設值為0。
I:\2007spring\gr2axd,Mxa<p-1le\施凱晏\piecewise.mw
f
(x)
x
2
+1,
x
0
1.2 函數的計算
(1)函數的合成：
以函數g合成f，而產生的函數f(g(x))稱為合成函數(composite function)，
記為f。g。因此(f。g)(x)= f(g(x))。而Maple以小老鼠符號@來代表。
h0
h
(x+h)2 +3(x+h)-4-(x2 +3x-4)
= lim
h0
h
=......
= lim (2x+h+3) h0
=2x+3
(2)導數:
定義導數:
函數f(x)在x=a的導數記為 f '(a)，亦即 f '(a) lim f (a h) f (a) 。
h0
h
若函數f(x)在x=a的導數存在，亦即
1.3 極限的基本概念
極限(limit)常用來描述當x趨近某個數值時，函數y=f(x)的變化情形。
(1)極限的直觀介紹:
考慮
f (x)
sin x x
，在x=0並沒有定義(因為分母為0)，但因為sinx也為
0，所以式子變為0/0的數學式，探討其值為何。
I:\2007spring\gradMaple\施凱晏\limit.mw
(2)夾擠定理(squeeze theorem):
定理:
設在一個包含a點的開區間中的所有的x值，恆有g(x) f(x) h(x)，
若 lim g(x) lim h(x) L
xa
xa
則 lim f (x) L xa
I:\2007spring\gradMaple|\施x |凱x晏si\ns(q1e/ ex)ze|nxe|w.mw以函數圖形l來im說x s明in(1/ x) 0 x0 夾擠定理意義，
1.1 函數
(1)偶函數與奇函數：
如果 f (x) f (x，) 則稱f為偶函數(even function)。若 f (x) f (x)，則稱f 為奇函數(odd function)。偶函數的圖形對稱於y軸，而奇函數的圖形對稱
於原點。
I:\2007spring\gradMaple\施凱晏\even odd.mw