2018年上海市闵行、松江区高三二模数学卷含答案

闵行区2017学年第二学期高三年级质量调研考试

数 学 试 卷

考生注意：

1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．

2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、等．

3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)考生应在答题纸的

相应位置直接填写结果．

1．双曲线22

219

x y a -

=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a = ． 2．若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫

⎪

⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，

，

则12c c += . 3．设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面对应的点位于实轴上，则m = ．

4．定义在R 上的函数()21x

f x =-的反函数为1

()y f

x -=，则1(3)f -= .

5．直线l 的参数方程为112x t y t =+⎧⎨

=-+⎩

，

（t 为参数），则l 的一个法向量为 .

6．已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*

n ∈N ，{}n a 的前n 项和为n S ，则lim

n

n n

S n a →∞=⋅ .

7．已知向量a 、b 的夹角为60，1a =，2b =，若(2)()a b x a b +⊥-，则实数x 的值为 . 8．若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为 ． 9．若平面区域的点(,)x y 满足不等式

14

x y

k +≤(0)k >，且z x y =+的最小值为5-，则常数k = . 10．若函数2

()log (1)a f x x ax =-+(01)a a >≠且没有最小值，则a 的取值围是 .

11．设{}1234,,,1,0,2x x x x ∈-，那么满足123424x x x x ≤+++≤的所有有序数组1234(,,,)x x x x 的组

数为 .

12．设*

n ∈N ，n a 为(4)(1)n

n

x x +-+的展开式的各项系数之和，3

24

c t =

-，t ∈R ， 1222555n n n na a a b ⎡⎤

⎡⎤⎡⎤=++

+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦

([]x 表示不超过实数x 的最大整数).则22()()n n t b c -++的最小值为 .

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的

相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

A

A 1

D C B

D 1 C 1

B 1

F

•

• E

13．“0xy =”是“00x y ==且”成立的 ( )．

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件

14．如图，点A B C 、、分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则

cos θ=

( )．

（

A ）43 （

B ）3 （

C ）23 （

D ）2

3

-

15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确的是 ( )．

（A ）若30S >，则20180a > （B ）若30S <，则20180a <

（C ）若21a a >，则20192018a a > （D ）若

2

111

a a >，则20192018a a < 16．给出下列三个命题:

命题1：存在奇函数()f x 1()x D ∈和偶函数g()x 2()x D ∈,使得函数()()f x g x

12()x D D ∈是偶函数；

命题2：存在函数()f x 、g()x 及区间D ，使得()f x 、g()x 在D 上均是增函数, 但()()f x g x 在D 上是减函数；

命题3：存在函数()f x 、g()x （定义域均为D ），使得()f x 、g()x 在0x x =

0()x D ∈处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值.

那么真命题的个数是 ( )．

（A ）0 （B ）1 （C ）2

（D ）3

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 如图所示，在棱长为2的正方体 中，分别是的中点.

（1）求三棱锥的体积；

（2）求异面直线与所成的角的大小.

18.（本题满分

14分，第1小题满分6分，第2小题满分8

分）

已知函数()cos f x x x ωω=+，

（1）当03f π⎛⎫

-

= ⎪⎝⎭

，且1ω<时，求ω的值； （2）在ABC △中，a b c 、、分别是角A B C 、、

的对边，a =3b c +=，

当2ω=，()1f A =时，求bc 的值.

19.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）

某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天全部售完.据统计，线上日销售量

()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t *()t ∈N 天的关系满足：

10,

110()=10200,1020t t f t t t ≤≤⎧⎨

-+<≤⎩，，2()20g t t t =-+(120)t ≤≤，产品A 每件的销售利润为40,115()20,1520

t h t t ≤≤⎧=⎨

<≤⎩，

(单位：元)（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）. （1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式； （2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？

20. (本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)

已知椭圆Γ：22

221(0)x y a b a b

+=>>，其左、右焦点分别为12F F 、，上顶点为B ，O 为坐标原点，

过2F 的直线l 交椭圆Γ于P Q 、

两点，1sin 3

BF O ∠=

. （1）若直线l 垂直于x 轴，求

12

PF PF 的值；

（2

）若b =l 的斜率为1

2

，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F E 、关于直线l 成轴对称？

如果存在，求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）设直线1l

:y =

上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角

α.

21. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)