第2章_信息安全数学基础(复杂性) 编订

计算复杂性是研究密码分析对于计算量的需求和密码分 析的困难程度 ，从而得出这些密码技术和算法在现有 可行的条件下是否具有足够的安全性。
学习计算复杂性，需要掌握两个概念：
问题 算法
2020/11/3
第2章 信息安全数学基础（计算复杂性） 算法复杂性 问题复杂性
2020/11/3
第2章 信息安全数学基础（计算复杂性） 算法复杂性 问题复杂性
有限状态控制单元控制每个读写头访问一条纸带，并沿 着纸带左右移动
图灵机求解问题的输入是一个有限长度的字符串，该输 入占据每条纸带无限个单元的最左边的有限个单元。
读写头对纸带的一次访问称之为一个合法移动 （Move）。
2020/11/3
图灵机（续）
图灵机求解问题时，被赋予一个初始状态 （Initial State），且一步一步地移动，从而完成 对输入的扫描。
图灵机的有限状态控制单元
当前状态 纸带上的符号 下一步移动 下一个状态
0 q0（初态） 1
空
右
q0
右
q1
响铃或终止
0
q1
1
空
右
q2
右
q0
输出非整除信息
0
q2
1
2020/11/3
空
右
q1
右
q2
输出非整除信息
图灵机（续）
例如：请设计一个图灵机，用于证明某个非负整 数是否能被3整除。
对于一个二进制非负整数 a，后面如果是 0，则对应 2a；如果后面是 1，则对 应 2a＋1。
能被3整除。
解：（续）
当前状态 q0（初态）
纸带上的符号
0 1 空
下一步移动
右 右 响铃或终止
下一个状态
q0 q1
0
q1
1
空
右
q2
右
q0
输出非整除信息
有限状态控制 单元
0
q2
1
空
右
q1
右
q2
输出非整除信息
q=q0
读写头
11 0
0空
纸带
识别一个输入是否可以被3整除的图灵机示意图
2020/11/3
图灵机（续）
图灵机有三个状态 q0，q1 和 q2 分别对应完成扫描串 3k，3k＋1 和 3k＋2： q0：对应完成扫描串 3k（对应能否被 3 整除） q1：对应完成扫描串 3k＋1（对应被 3 除余 1） q2：对应完成扫描串 3k＋2（对应被 3 除余 2）
2020/11/3
图灵机（续）
例如：请设计一个图灵机，用于证明某个非负整 数是否能被3整除。
如果图灵机最终扫描了整个输入串，且满足了中止条件 而停止下来，则称图灵机识别了该输入。
否则，图灵机在某一点没有合法移动，因此会没有识别 输入串而停止下来，此时称图灵机无法识别该输入。
图灵机所识别的一个输入，称为一种可识别语言的一个 实例。
2020/11/3
图灵机（续）
例如：请设计一个图灵机，用于证明某个非负整 数是否能被3整除。
2020/11/3
图灵机（续）
例如：请设计一个图灵机，用于证明某个非负整 数是否能被3整除。
（2）在 a＝3k＋1 的扫描后，图灵机在状态 q1；如果在该点当下一步扫描到 0（即 2a＝3k’＋2），图灵机必定移动到 q2；如果下一步扫描到字符 1（即 2a+1=6k+3=3k’），必定移动到 q0。
2020/11/3
图灵机（续）
例如：请用DIV3图灵机证明a＝12(二进制1100) 能被3整除。
解：设 DIV3 处于初态状态 q0，
有限状态控制 单元
q=q0
读写头
11 0
0空
识别一个输入是否可以被3整除的图灵机示意图
2020/11/3
纸带
图灵机（续）
例如：请用DIV3图灵机证明a＝12(二进制1011)
2020/11/3
算法复杂性（续）
算法常见复杂性分类
一般而言，常数算法、线性算法、多项式算法和超多 项式算法统称为多项式算法。
所谓多项式，就是具有下列形式的一个函数：
f (n) ck nk ck1nk1 ... c1n c0
其中，k和ck是常数，且ci≠0。当k>0时，k称为多项式的次数， ci称为多项式的系数。
2020/11/3
算法复杂性（续）
计算复杂性的表示符号为“ O ”（称为“大O ”，即算法 的阶号），表示计算复杂性的数量级
例如：一个给定算法的时间复杂性为 2n2+2n+5 。
（1）首先，随着 n 的增大，2 n2 的增长比较大，而低阶部分增长相对较小。所以，
较低阶函数部分均可忽略不计。
（2）最高项 n2 的系数 2 也可忽略不计。这是因为如果 T=O( n2 )，那么输入尺寸
2020/11/3
图灵机（续）
例如：请用DIV3图灵机证明a＝12(二进制1011)
2020/11/3
问题（problem）
（问题）定义：即需要回答的一般性提问:
它通常含有若干个参数。 对于一个问题进行描述应该包括两方面的内容：
必须对问题的所有给定参数给出一般性描述； 必须描述该问题的答案（或解）应该满足的性质。
当问题的所有参数都有了确定的取值时，我们称得到了 该问题的一个实例（instance）。
计算系统与网络安全
Computer System and Network Security
2020/11/3
电子科技大学 计算机科学与工程学院
计算复杂性基础
－古书《孟子·离娄上》有这样的记载： 淳于髡曰：男女授受不亲，礼與？ 孟子曰：礼也。 曰：嫂溺则授之以手乎？ 曰：嫂溺不授，是豺狼也。男女授受不亲，礼
2020/11/3
算法（algorithm）（续）
有关算法的几点注释：
算法总有输入和输出 算法输入大小一般用输入变量的长度（单位为位） 来表示
一般来说，算法用某种编程语言来实现的计算机程序 一般来说，我们仅仅关注解决问题最有效的算法
当一个变量n用二进制来表示时，其长度＝log2n
2020/11/3
增加一位，算法的运行时间变为 4 倍；如果 T=O(2 n2 )那么输入尺寸增加一位算
法的运行时间也增加为四倍。
好处（：3）最后，这个给定算法的时间复杂性可以表示为 O(n2)。 使算法复杂性度量与处理器的运行速度和指令运行时间无关； 明确地揭示了输入的数据长度对算法复杂性的影响。
2020/11/3
问题与算法
问题：如何求解两个整数a和b的最大公约数？
参数：a和b 问题实例：a＝20，b＝30
算法：利用因子分解求a＝20和b＝30的最大公约 数
a＝22×5 b＝2×3×5 因此a和b 的最大公约数是2×5＝10
2020/11/3
算法复杂性
（算法复杂度）定义：即度量该算法所需的计算 能力 ，包括： 时间复杂性T（time complexity）； 空间复杂性S（space complexity）； 信道带宽； 数据总量； ……
2020/11/3
算算法法复复杂性杂 （性续）
算法的分类及其运行时间
算法类型
常数算法
线性算法
多项式算法 二次多项式算 法 三次多项式算 法
指数算法
复杂性
运算次数 n＝106
O(1) 1
O(n) 106
O(n2) 1012
O(n3) 1018
O(2n) 10301030
时间 1微秒 1秒 11.6天 32,000年 10301006年
（4）超多项式算法（superpolynomial Algorithm）： 如果运行时间是，其中c是一个常数，而s(n)是关于n的大于常数而小于 线性的函数。
（5）指数算法（exponential Algorithm）： 如果运行时间是 O(t f (n) ) ，其中t是大于1的常数，f(n)是关于n的多项式 函数。
2020/11/3
问题复杂性（续）
确定性图灵机。
确定性图灵机的输出结果只取决于输入和初始状态。 ▪ 因此，对于具有相同输入和初始状态，运行一个确 定性图灵机所得到的结果是完全相同的。
非确定性图灵机 ：
能够进行猜测。 求解一个问题分两个阶段：猜测阶段和验证阶段。
2020/11/3
图灵机
图灵机包括一个有限状态控制单元、k（≥1）条纸 带（Tape）和k个读写头（Tapehead）。
例如：请用DIV3图灵机证明a＝12(二进制1011)
能被3整除。
解：（续）
当前状态
纸带上的符号
下一步移动
下一个状态
0
q0（初态）
1
空
右
q0
右
q1
响铃或终止
0
有限状态控制
q1
1
空
单元
0
q2
1
空
读写头 q=q1
右
q2
右
q0
输出非整除信息
右
q1
右
q2
输出非整除信息
11 0 0 空
纸带
识别一个输入是否可以被3整除的图灵机示意图
2020/11/3
图灵机（续）
例如：请设计一个图灵机，用于证明某个非负整 数是否能被3整除。
（1）在 a＝3k 的扫描后，图灵机处于状态 q0；如果在下一步扫描到 0（即 2a ＝2×a＝2×3k＝6k＝3k’），图灵机必定仍处于状态 q0；如果下一步扫描到字 符 1（即 2a＋1＝3k’＋1），图灵机必定从 q0 移动到 q1。
也；嫂溺授之以手，权也。 －虽然有“男女授受不亲”的原则存在，但嫂子落
水快淹死时，必须拉她、救她，这是“权”(变通)， 否则，见死不救，就是豺狼。 －曰：「今天下溺矣，夫子之不援何也？」 曰：「天下溺援之以道；嫂溺援之以手。子欲手 援天下乎？」
2020/11/3
计算复杂性
为什么要学习计算复杂性？
2020/11/3
算法（algorithm）
定义（算法） ：即求解某个问题的一系列具体步 骤（通常被理解为求解所需的通用计算程序）。
算法总是针对具体问题而言的，求解一个问题的算法通 常不止一个。
当某个算法能够回答一个问题的任何实例时，我们称该 算法能够回答这个问题。
当一个问题至少有一个能够回答该问题的算法时，我们 称该问题可解（resolvable），否则称该问题不可解 （unresolvable）。
2020/11/3
图灵机（续）
例如：请设计一个图灵机，用于证明某个非负整 数是否能被3整除。
（3）在 a＝3k＋2 的扫描后，图灵机处于状态 q2；如果在该点当下一步扫描到 0(即 2a＝6k＋4＝3k’+1)，图灵机必定从 q2 状态移动到 q1 状态；如果下一步 扫描到字符 1（即 2a＋1＝6k＋5＝3k’＋2），图灵机将停留在 q2 状态。
图灵机是一种具有无限读、写存储带的有限状态
机，可以被当作一个实际可用的计算模型 。
有限状态控制 单元
读写头
2020/11/3
图灵机示意图
纸带1 纸wk.baidu.com2 纸带n
第2章 信息安全数学基础（计算复杂性） 算法复杂性 问题复杂性
2020/11/3
问题复杂性
图灵机分为两类：
确定性图灵机。 非确定性图灵机
算法复杂性（续）
算法常见复杂性分类
（1）常数算法（constant Algorithm）： 如果运行时间是O (1)，即该算法的复杂性不依赖于n。
（2）线性算法（linear Algorithm）： 如果运行时间是O(n)。
（3）多项式算法（polynomial Algorithm）： 如果运行时间是O(nm)，其中m是一个常数。具有多项式复杂性的算法 族被称为多项式时间算法。
2020/11/3
算算法法复复杂性杂 （性续）
算法复杂度的增长速度
对任意常数，c,其中0 1 c，有：
1 ln ln n ln n exp lnnlnlnn n nc nlnn cn nn ccn
多项式
2020/11/3
亚指数
指数
算法复杂性（续）
研究问题的内在复杂性，即在图灵机上解决最难 的问题实例所需的最小时间和空间条件。
解：设该图灵机谓 DIV3
图灵机的组成：1 个有限状态控制单元、1 条纸带、1 个读写头。
输入用二进制表示，且在最后加一个“空”表示输入结束。
有限状态控制 单元
读写头 11 0 1 空
纸带
2020/11/3
识别一个输入是否可以被3整除的图灵机示意图
图灵机（续）
例如：请设计一个图灵机，用于证明某个非负整 数是否能被3整除。
例如 a＝11(即十进制数 3)，则 b＝a0＝110（即十进制数 6），因此 b＝2a。
2020/11/3
图灵机（续）
例如：请设计一个图灵机，用于证明某个非负整 数是否能被3整除。
不失一般性，可以假设图灵机扫描完 0 时处于状态 q0（初态）；在完成扫描 输入串 1 时处于状态 q1；完成扫描输入串 2 时处于状态 q2。
2020/11/3
图灵机（续）
例如：请设计一个图灵机，用于证明某个非负整 数是否能被3整除。
如果图灵机的读写头一旦遇到特殊字符“空”，如果处于状态 q0，则图灵机响铃 并停止移动，其结果是输入可以被 3 整除（即可以识别输入 3k） 否则，图灵机没有合法移动，因此停止，其结果是该输入不能被 3 整除。