利用导数研究含参函数的单调性【公开课教学PPT课件】北师大版

a
10 0a1 00
10
1 1
x 11 xx 1 xx
aa
2)当 1 1即a 1时，f (x)在（0，1）和（1， )上递增; f (x)在（ 1 ，1）上递减.
a
a
a
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3)当 1 1即0 a 1时，f (x)在（0，1）和（ 1 ， )上递增; f (x)在（1，1 ）上递减.
a
a
a
综上：(1)当a 0时，f (x)在（0，1）上递增，在（1， ）上递减.
自我检测
求函数f ( x)= 1 x3 x2 3x 1的单调区间. 3
f ( x) 1 x3 1 a x2 ax 1
3
2
普通高中课程标准实验教科书 数学选修2-2（北师大版）
第三章 导数应用
利用导数研究含参函数的单调性
（第1课时）
探究一
变式一：讨论函数f ( x) 1 x3 1 a x2 ax 1的单调性.
课后探究
(2018年全国卷理)讨论函数f ( x) 1 x a ln x的单调性.
x
分析：f
( x)
x2
ax x2
1，
a2
4
课堂小结
对含参函数 f(x)，如果其导数符号最终由二次函数结构决定， 分类标准为：
逐
级 二次项系数与
讨
0的比较
论
，
数
形 根大小与根是
结 否在定义域内
合
求导研究单调性， 优先考虑定义域； 含参问题要注意， 二项系数与0比 ； 有根无根看 ∆ ； 根的大小需谨慎。
x
x
x
(1)当a 0时，f '(x) (2)当a 0时，令f
1 x
'( x)
x，所以f (x)在（0，1）上递增，在（1，
0，得x1
1 a
0，x2
1
）上递减.
y yyy
y
结合图象知f (x)在（0，1）上递增；在（1， ）递减.
(3)当a
0时，令f
'( x)
0，得x1
1 a
0，x2
1
1)当 1 1即a 1时，f (x)在（0， ）上递增.
3
2
探究一
变式一：讨论函数f ( x) 1 x3 1 a x2 ax 1的单调性.
3
2
y
y
y
-1 0 x
-1 a 0 x a -1 0 x
①当a=-1时
②当a>-1时
③当a<-1时
小结：当两根的大小不确定时，应进行分类讨论.
探究二
变式二：讨论函数f ( x) 1 x2 +(1 a)x a ln x的单调性. 2
(2)当a 1时，f (x)在（0， ）上递增. (3)当0 a 1时，f (x)在（0，1）和（ 1 ， )上递增;
f
(
x)在（1，1
a ）上递减.
a (4)当a 1时，f (x)在（0，1 ）和（1， )上递增;
a
f (x)在（ 1 ，1）上递减.
a
小结：当二次项系数含参且系数与0大小不确定时，应对其讨论.
ax 0 a
a0 1x
1x 0
1x
①当a=1时
②当a>1时
③当0<a<1时 ④当a<0时
⑤当a=0时
小结：当根大小不确定时，应讨论根的大小及根是否在定义域内.
探究三
变式四：讨论函数f ( x) 1 ax2 (a 1)x ln x的单调性. 2
解：函数的定义域(0， ), f '(x) ax (a 1) 1 ax2 (a 1)x 1 (ax 1)(x 1)
普通高中课程标准实验教科书 数学选修2-2（北师大版）
第三章 导数应用
利用导数研究含参函数的单调性
（第1课时）
复习回顾
1、用导数判断函数的单调性：
如果在(a, b)内，
则f ( x)在此区间单调递增.
如果在(a, b)内，
则f ( x)在此区间单调递减.
2、判断函数单调性的一般步骤：
（1）求定义域；
（2）求 ；
（3）解不等式
>0，
（4）写出单调性.
<0，确定导函数符号
自我检测
求函数f ( x)= 1 x3 x2 3x 1的单调区间. 3
因f ( x)定义域为R, f ( x)=x2 2x 3 ( x 1)( x 3)
y
y f (x)
-1 0
3x
故函数f ( x)的递增区间为(, 1)和(3, )，递减区间为(1, 3).
课后作业
1、已知函数f ( x) 1 x3 (1 a)x2 4ax 1，求f ( x)的单调区间 3
2、已知函数f ( x) ln x a ，求f ( x)的单调区间 x
3、已知函数f ( x) 1 ax2 x (a 1)ln x,讨论f ( x)的单调性 2
感谢您的指导
y
y
0a
x a0 x
①当a>0时
②当a≤0时
小结：当根大小不确定时，应讨论根的大小及根是否在定义域内.
探究二
变式三：讨论函数f ( x) 1 x2 (a 1)x a ln x的单调性. 2
f ( x) x (a 1) a = x2 (a 1)x a
y
y
xy x
y
y
0 1 x 01