dsp的IIR滤波器设计解析

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幅度响应与相位响应
巴特沃斯滤波器的设计
巴特沃斯滤波器可以由参数c和N完全确定。可以通过指定通带 截止频率、最小通带幅度、阻带截止频率和最大阻带波纹来确定 这两个参数。
H a ( j p )
2
1 1 2 (1 ) 1 , 2N 2 1 ( p / c ) 1
p: 通带截止频率 s: 阻带截止频率 p: 通带波纹 s: 阻带波纹 p: 通带峰值波纹 s:最小阻带衰减
p 20log10 (1 p )dB
s 20log10 s dB
H ( j)
1
1 1 2
1/A p c c s
模拟低通滤波器的归一化幅度指标
两个参数：
过渡比或选择性参数
k
p s
分辨参数
k1

A2 1
模拟滤波器类型
巴特沃兹
（Butterworth filter）
切比雪夫
（Chebyshev filter）
椭圆
（Elliptic filter）
贝塞尔 （Bessel filter）

巴特沃斯滤波器
1阶巴特沃斯滤波器
H s
c s c
H a j 1
1
/ c 2 1
n阶巴特沃斯滤波器
H a j

N l 1 N
/ c 2 n 1
1 2N
H a (s)
c
l
(s p )
H a ( s)
, pl ( 1)
j c c e j ( 2l N 1) / 2 N .
2 11/ A 196.51334 1 196.51334 k1 k1
由此可得：
1 k s /100 p0 5 1/ k 5000 5
log log (1 (1/ / k1 )k1 ) 10 10 N 3 , 取N 4 N 3. 2811 log ( 1 / k ) log 10 10 (1/ k )
由模拟滤波器设计数字滤波器步骤： 1、数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器指标；
2、模拟低通滤波器设计；
（设计出符合要求的模拟滤波器的系统函数Ha(s)，可以选择多种类型的滤波器）
3、映射实现：从模拟低通滤波器再转换成数字滤波器G(z) ；
（利用一定的映射方法，把模拟滤波器系统函数数字化，如双线性变换法 和脉冲响应不变法）
Butterworth 滤波器设计举例(II)
H ( j )
1
1 1 2
2
N=2
N=4
1 A2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱN=10
p c
s

切比雪夫滤波器
切比雪夫滤波器1型滤波器：
H a ( j)
2
1 2 1 2TN ( / p )
切比雪夫多项式：
cos(N cos1 ), 1, TN () 1 cosh( N cosh ), 1. 迭代关系: Tr () 2Tr-1 () Tr- 2 (), r 2, T0 () 1，且 T1 () .
模拟低通滤波器设计
滤波器特性
理想低通滤波器：
T
H r ( j)
c
c

典型的模拟低通滤波器幅度响应指标
滤波器特性：
通带 0 p 中，
1 p Ha ( j) 1 p , for p
阻带 s 中，
Ha ( j) s , fors
IIR滤波器设计
IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数 ak,bk或零极点ck， dk和A，以使滤波器满足给定的性能要求。通常有以下两种方法：
1） 先设计一个合适的模拟滤波器；然后变换成满足预定指标的数字滤波 器。这种方法很方便，因为模拟的网络综合理论已经发展得很成熟， 模拟滤波器具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数已经表 格化了，另外，还有一些典型的滤波器类型可供使用，设计起来既方 便又准确。 2） 最优化设计法一般分两步来进行: 第一步要选择一种最优准则。例如，选择最小均方误差准则，最大误 差最小准则等。 第二步，求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数。 这种设计需要进行大量的迭代运算，故离不开计算机。所以最优化方 法又称为计算机辅助设计法。
(3)
例1：确定低通滤波器H a ( s)的最低阶数，使其满足下列 指标：在通带内具有最大平坦特性，在f p 1 kHz时，衰 减为 1 dB ；在f s 5 kHz时衰减不小于 40dB. 有40dB的最小衰减 (1) 确定 和A,
1 10 log 1, 2 1 2 0.25895. 1 10 log 2 40, A 因此 A2 10, 000。
归一化形式（c=1）
1
s N a1 s n1 a2 s n2 a N 1 s a N
巴特沃斯滤波器的特性：
1、 =0处的最大平坦幅度特性（前2N-1阶导数为0） 2、-3dB截止频率（参数c ）
G ( c ) 10 log10 H a ( j c ) 10 log10 (1 / 2) 3dB c : 3dB截止频率
(1)
H a ( j s )
2
1 1 2 2 , 2N 2 1 ( s / c ) A
(2)
其中， p ：通带截止频率； s： .阻带截止频率。
log10 [( A2 1) / 2 ] log10 (1/ k1 ) N . 2 log10 ( s / p ) log10 (1/ k ) c 可由 N 和 (1)或 (2)确定。
Butterworth Filter 1 N=2 N=4 N = 10
2
3、滚降的陡峭度（参数N）
2 1，1 c时， 2 G ( 2 ) 10log10 1 G (1 ) 6 NdB
2N
Magnitude
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2