数学：1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件(新人教A版选修2-3)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 1
8
1 1 1 1 1 1 1 7
28 6 3
1 2
3 6
1 1 4 1
4
5 10
15 21 35 56
10 5 1 20 15 6 1 35 70
图2
21 7
56 28 8
1 1
除了这几个数的排列规 , 你还能再找出其他一些 律 数的 排列规律吗? 与同学交流一下 !
作业：P37(A组7—8和B组)
n
a b 的展开式的各个二项式 系数的和等于 . 2 你能用组合意义解释一 下这个" 组合等式 吗? "
n n
利用这些性质可以解决 许多问题 . 例如, 利用 杨辉三角 中除1 " " 以外的每一个数都 等于它肩上两个数 的 和 这个 性质 , 可以 根据相应于n 的各二项式系数写出相 应 于n 1 的二项式系数如根据" 杨辉三角 . " 中相应于n 6 的各二项式系数, 可写出 相应于n 7的各二项式系数 1 7 21 35 35 21 7 1 这样, 就可以将二项式系数表 延伸下去 , 从而可根据这个表来求 二项式系数 .
1.3 二项式定理
1.3.2 " 杨辉三角 与二项式系数的性质 "
探究 用计算器计算 a b 展开式的二项 式系数并填入下表 .
n
n
1 2 3 4 5 6
a b 展开式的二项式系
n
通过计算填表 ,你发现了什么规律 ?
从上表可以发现 , 每一行中的系数具有对 称性. 除此之外还有什么规律 ? 为了方便, 可将上表 呢 写成如下形式: 表示形 a b 1 1 1 式的变 2 a b 1 2 1 化有时 3 a b 1 3 3 1 也能帮 4 1 4 6 4 1 助我们 a b
第 n行
2 1 C1 1 Cn1 n
C
r 1 n 1
2 Crn1 Cn1 1 n
1.观察图形 你能发现每一行的数字 , 规律吗? 将 你的发现填写在空格上 .
从上述图形可以看到杨辉三角的第n行就是二 , 项式a b 展开式的系数,即
一
左 裘 乃 积 数
图1.3 1
值得指出的是, 这个 表在我国南宋 数学 家杨辉在1261年所 著的《详解九章算 法 》一书里就出现 了 所不同的只是这 , 里的表用阿拉伯数 字表示, 在这本书里 记载的是用汉字表 示的形式(图1.3 1).
这个表称为杨辉三角, 在《详解九章算法 一书 》 里 , 还说明了表里“一” 以 外的每一个数 都等于它 肩上两个数的和杨辉指出这个方法出于 释锁》 , 《 算书, 且我国北宋数学家贾宪 约公元11世纪) 已经 ( 用过它这表明我国发现这个表 . 不晚于11世纪, 在欧 洲,源自文库这个表被认为是法国数 学家帕斯卡 BlaisePas ( cal,1623 1662) 首先发现的, 他们把这个表叫做 帕斯卡三角这就是说, 杨辉三角的发现要比欧 . 洲早 五百年左右由此可见我国古代数学 , 的成就是非常 值得中华民族自豪的 .
1 6 15 20 15 6 1 探究 你能借助上面的表现形 式发现一些新的规 律吗?
发现某 些规律.
a b 6 a b
5
1 5
10
10
5 1
上表中蕴含着许多规律例如 : , 在同一行中每行两端都是 ,与这两个 等距 , 1 1 离的项的系数相等 ;
在相邻的两行中除1以外的每一个数都等于 , 它 " 肩上" 两个数的和.事实上, 设表中任一不 为 1 的数为 Crn1, 那么它肩上的两个数分 别为 C 及C , 容易证明C
所以C 相对于C
k n
k 1 n
n k 1 决定,由 的增减情况由
1 x
C C x C x C x C x , 0 2 令x 1 则2 Cn C Cn Cn. 这就是说, , n
n 0 n n 1 n 2 n 1 n 2 r n r n n
2增减性与最大值 因为 nn 1n 2 n k 1 k Cn k 1! k
C
k 1 n
n k 1 ,
k
k n k 1 1 k n 1可知,当k n 1时,二项式 k 2 2 系数是逐渐增大的. 由对称性知它的后半部 分是逐 当 渐减小的,且在中间取得最大值 n 是奇数时,中间 ; n1 n1 的两项Cn2 .Cn2 相等,且同时取得最大值 . 3各二项式系数和 已知
实际上, 联想到
0 2 Cn C1 x Cn x 2 Ck x k Cn x n , n n n n 把它看成是关于 的函数,即f x 1 x x 0 2 Cn C1 x Cn x 2 Ck x k Cn x n , 那么 n n n f 1 0,由此很容易得到要证明 的结果. n
www.ks5u.com
n
a b
n
C a C a b C a b C b
0 n n
1 n1 n
2 nr r n
n n n
2.观察杨辉三角图形你能发现组成它的相邻 , 两行的数有什么关系吗? 可以发现 , 这个三角形的两条腰都 是由数字1 组成的 其余的数都等于它肩上 , 的两个数相加 .
1 1 1 1 1 1
5
4 2
1 1
3 6
3
1
10
4 1 10 5 1
图1
, , ,
一般地, Cr Cr 1 Cr 2 Cr 1 .n r r r r n 实际上, 上式等式可以用数学归纳法来证明 .
4.如图2的斜行中 , 杨辉三角图形中 位于前几条斜行 上的数字的和已 经在斜行上末标 出 , 请你在 " ?" 处 标出其余各行的 和, 仔细观察这些 和, 你有什么发现?
3.如图1 从连线上的数字 , 你能发现什么规律?自己 再连一些数字试试 .
根据你发现的规律, 猜 想下列数列的前若干 项的和 : 1 2 3 C1 1 n
2 1 3 6 Cn1 3 1 4 10 Cn1
0 2 证明 在展开式 a b Cnan C1 an1b Cnan2b 2 n n
即在a b 的展开式中,奇数项的二项式系数的和 等于偶数项的二项式系数的和.
n
0 2 3 所以 Cn Cn C1 Cn n
5
r
请你分别画出 7,8,9 时的函数图象你能看 n . 出它们有哪些异同吗 ?
下面结合" 杨辉三角" 和图1.3 2来研究二项式系 数的一些性质 .
1对称性
Cnm得到. n
与首尾两端 " 等距离" 的两 个二项式
m n
系数相等 .事实上 , 这一性质可直接由公式C
n 直线 x 将函数 f r 的图象分成对称的两部 , 分 2 它是图象的对称轴 .
r 1 n r n r n 1
C
r 1 n
C .
r n
左积
右积
本积 一 商除 一 一
平方 一 二 一 立方 一 三 三 一
三乘 一 四 六 四 一 四乘 一 五 十 十 五 一 五乘 一 六 十五二十十五 六 右 命 以 中 裘 廉 藏 实 乃 乘 者 而 隅 商 皆 除 算 之 方 廉
对于a b 展开式的二项
n
f r
20 15 10
式系数 C , C , C , , C , 我们还可以从函数角度 来
0 n 1 n 2 n n n r n
分析它们.C 可看成是以r 为自变量的函数f r , 其定 o 1 2 3 4 5 6 图1.3 2 义域是 0,1 2, , n .对于确 , 定的n, 我们还可以画出它的图 .例如n 6, 象 其图象是7个孤立点图1.3 2). (
例3 试证 : 在a b 的展开式中奇数项的二项式 , 系数的和等于偶数项的 二项式系数的和 . 分析 奇数项二项式系数的和 为
n
由于a b C a C a b C a b C b 中的a, b可以取任意实数因此我们可以通过对 , b , a 适当赋值来得到上述两 个系数和 . 实际上, a, b 既可以取任意实数也可以取任意多 , 项式, 还可以是别的我们可以根据具体问题 . 的需 要灵活选取a, b的值.
n 0 n n 1 n 1 n 2 n2 2 n
C C C , 1 3 5 偶数项二项式系数的和 Cn Cn Cn , 为
0 n 2 n 4 n
n n n
0 2 C b 中, 令a 1, b 1, 则得 1 1 Cn C1 Cn n 0 2 3 n n 3 即 0 Cn Cn C1 Cn , n Cn 1 Cn , n n n n
1 x
探究与发现
" 杨辉三角 中的一些秘密 "
前面借助杨辉三角讨论了二项式 展开式的一些性质 , 实际上, 杨辉三角本身包含了许多有趣的性质.下面就 来探索一下这些性质 . 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 第5行 第6行
1行 第n
8
1 1 1 1 1 1 1 7
28 6 3
1 2
3 6
1 1 4 1
4
5 10
15 21 35 56
10 5 1 20 15 6 1 35 70
图2
21 7
56 28 8
1 1
除了这几个数的排列规 , 你还能再找出其他一些 律 数的 排列规律吗? 与同学交流一下 !
作业：P37(A组7—8和B组)
n
a b 的展开式的各个二项式 系数的和等于 . 2 你能用组合意义解释一 下这个" 组合等式 吗? "
n n
利用这些性质可以解决 许多问题 . 例如, 利用 杨辉三角 中除1 " " 以外的每一个数都 等于它肩上两个数 的 和 这个 性质 , 可以 根据相应于n 的各二项式系数写出相 应 于n 1 的二项式系数如根据" 杨辉三角 . " 中相应于n 6 的各二项式系数, 可写出 相应于n 7的各二项式系数 1 7 21 35 35 21 7 1 这样, 就可以将二项式系数表 延伸下去 , 从而可根据这个表来求 二项式系数 .
1.3 二项式定理
1.3.2 " 杨辉三角 与二项式系数的性质 "
探究 用计算器计算 a b 展开式的二项 式系数并填入下表 .
n
n
1 2 3 4 5 6
a b 展开式的二项式系
n
通过计算填表 ,你发现了什么规律 ?
从上表可以发现 , 每一行中的系数具有对 称性. 除此之外还有什么规律 ? 为了方便, 可将上表 呢 写成如下形式: 表示形 a b 1 1 1 式的变 2 a b 1 2 1 化有时 3 a b 1 3 3 1 也能帮 4 1 4 6 4 1 助我们 a b
第 n行
2 1 C1 1 Cn1 n
C
r 1 n 1
2 Crn1 Cn1 1 n
1.观察图形 你能发现每一行的数字 , 规律吗? 将 你的发现填写在空格上 .
从上述图形可以看到杨辉三角的第n行就是二 , 项式a b 展开式的系数,即
一
左 裘 乃 积 数
图1.3 1
值得指出的是, 这个 表在我国南宋 数学 家杨辉在1261年所 著的《详解九章算 法 》一书里就出现 了 所不同的只是这 , 里的表用阿拉伯数 字表示, 在这本书里 记载的是用汉字表 示的形式(图1.3 1).
这个表称为杨辉三角, 在《详解九章算法 一书 》 里 , 还说明了表里“一” 以 外的每一个数 都等于它 肩上两个数的和杨辉指出这个方法出于 释锁》 , 《 算书, 且我国北宋数学家贾宪 约公元11世纪) 已经 ( 用过它这表明我国发现这个表 . 不晚于11世纪, 在欧 洲,源自文库这个表被认为是法国数 学家帕斯卡 BlaisePas ( cal,1623 1662) 首先发现的, 他们把这个表叫做 帕斯卡三角这就是说, 杨辉三角的发现要比欧 . 洲早 五百年左右由此可见我国古代数学 , 的成就是非常 值得中华民族自豪的 .
1 6 15 20 15 6 1 探究 你能借助上面的表现形 式发现一些新的规 律吗?
发现某 些规律.
a b 6 a b
5
1 5
10
10
5 1
上表中蕴含着许多规律例如 : , 在同一行中每行两端都是 ,与这两个 等距 , 1 1 离的项的系数相等 ;
在相邻的两行中除1以外的每一个数都等于 , 它 " 肩上" 两个数的和.事实上, 设表中任一不 为 1 的数为 Crn1, 那么它肩上的两个数分 别为 C 及C , 容易证明C
所以C 相对于C
k n
k 1 n
n k 1 决定,由 的增减情况由
1 x
C C x C x C x C x , 0 2 令x 1 则2 Cn C Cn Cn. 这就是说, , n
n 0 n n 1 n 2 n 1 n 2 r n r n n
2增减性与最大值 因为 nn 1n 2 n k 1 k Cn k 1! k
C
k 1 n
n k 1 ,
k
k n k 1 1 k n 1可知,当k n 1时,二项式 k 2 2 系数是逐渐增大的. 由对称性知它的后半部 分是逐 当 渐减小的,且在中间取得最大值 n 是奇数时,中间 ; n1 n1 的两项Cn2 .Cn2 相等,且同时取得最大值 . 3各二项式系数和 已知
实际上, 联想到
0 2 Cn C1 x Cn x 2 Ck x k Cn x n , n n n n 把它看成是关于 的函数,即f x 1 x x 0 2 Cn C1 x Cn x 2 Ck x k Cn x n , 那么 n n n f 1 0,由此很容易得到要证明 的结果. n
www.ks5u.com
n
a b
n
C a C a b C a b C b
0 n n
1 n1 n
2 nr r n
n n n
2.观察杨辉三角图形你能发现组成它的相邻 , 两行的数有什么关系吗? 可以发现 , 这个三角形的两条腰都 是由数字1 组成的 其余的数都等于它肩上 , 的两个数相加 .
1 1 1 1 1 1
5
4 2
1 1
3 6
3
1
10
4 1 10 5 1
图1
, , ,
一般地, Cr Cr 1 Cr 2 Cr 1 .n r r r r n 实际上, 上式等式可以用数学归纳法来证明 .
4.如图2的斜行中 , 杨辉三角图形中 位于前几条斜行 上的数字的和已 经在斜行上末标 出 , 请你在 " ?" 处 标出其余各行的 和, 仔细观察这些 和, 你有什么发现?
3.如图1 从连线上的数字 , 你能发现什么规律?自己 再连一些数字试试 .
根据你发现的规律, 猜 想下列数列的前若干 项的和 : 1 2 3 C1 1 n
2 1 3 6 Cn1 3 1 4 10 Cn1
0 2 证明 在展开式 a b Cnan C1 an1b Cnan2b 2 n n
即在a b 的展开式中,奇数项的二项式系数的和 等于偶数项的二项式系数的和.
n
0 2 3 所以 Cn Cn C1 Cn n
5
r
请你分别画出 7,8,9 时的函数图象你能看 n . 出它们有哪些异同吗 ?
下面结合" 杨辉三角" 和图1.3 2来研究二项式系 数的一些性质 .
1对称性
Cnm得到. n
与首尾两端 " 等距离" 的两 个二项式
m n
系数相等 .事实上 , 这一性质可直接由公式C
n 直线 x 将函数 f r 的图象分成对称的两部 , 分 2 它是图象的对称轴 .
r 1 n r n r n 1
C
r 1 n
C .
r n
左积
右积
本积 一 商除 一 一
平方 一 二 一 立方 一 三 三 一
三乘 一 四 六 四 一 四乘 一 五 十 十 五 一 五乘 一 六 十五二十十五 六 右 命 以 中 裘 廉 藏 实 乃 乘 者 而 隅 商 皆 除 算 之 方 廉
对于a b 展开式的二项
n
f r
20 15 10
式系数 C , C , C , , C , 我们还可以从函数角度 来
0 n 1 n 2 n n n r n
分析它们.C 可看成是以r 为自变量的函数f r , 其定 o 1 2 3 4 5 6 图1.3 2 义域是 0,1 2, , n .对于确 , 定的n, 我们还可以画出它的图 .例如n 6, 象 其图象是7个孤立点图1.3 2). (
例3 试证 : 在a b 的展开式中奇数项的二项式 , 系数的和等于偶数项的 二项式系数的和 . 分析 奇数项二项式系数的和 为
n
由于a b C a C a b C a b C b 中的a, b可以取任意实数因此我们可以通过对 , b , a 适当赋值来得到上述两 个系数和 . 实际上, a, b 既可以取任意实数也可以取任意多 , 项式, 还可以是别的我们可以根据具体问题 . 的需 要灵活选取a, b的值.
n 0 n n 1 n 1 n 2 n2 2 n
C C C , 1 3 5 偶数项二项式系数的和 Cn Cn Cn , 为
0 n 2 n 4 n
n n n
0 2 C b 中, 令a 1, b 1, 则得 1 1 Cn C1 Cn n 0 2 3 n n 3 即 0 Cn Cn C1 Cn , n Cn 1 Cn , n n n n
1 x
探究与发现
" 杨辉三角 中的一些秘密 "
前面借助杨辉三角讨论了二项式 展开式的一些性质 , 实际上, 杨辉三角本身包含了许多有趣的性质.下面就 来探索一下这些性质 . 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 第5行 第6行
1行 第n