二项式定理.知识框架

1．二项式定理

⑴二项式定理

()

()011222...n

n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N

这个公式表示的定理叫做二项式定理．

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二项式定理

⑵二项式系数、二项式的通项

011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n

a b +的二项展开式，其中的系数

()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，

即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=．

⑶二项式展开式的各项幂指数

二项式()n

a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是

①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．

②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意

①通项1r n r r

r n T C a b -+=是()n

a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =．

②二项式()n a b +的1r +项和()n

b a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，

应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．

③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．

④通项公式是()n

a b +这个标准形式下而言的，如()n

a b -的二项展开式的通项公式是

()11r

r n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这

里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r

r n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．

⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......n

r r

n n

n n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r r

n C a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，

只要知道其中四个即可求第五个元素．

⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．

2．二项式系数的性质

⑴杨辉三角形：

对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算． 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：

()

n

a b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n

n n n n

C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：

这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

事实上，这一性质可直接由公式m n m

n n

C C -=得到． ②增减性与最大值

如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；

如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01

211,,112

n n n n n n C C C -===

?， ()()3

12123

n n n n C --=

??，．．．， ()()()

()

112...2123....1k n n n n n k C k ----+=

????-，()()()()

()12...21123...1k

n n n n n k n k C k k

---+-+=

???-，．．．，

1n

n C =．

其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如

,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．

当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n n

C ．

当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n n

n

C

C

-+=．

③二项式系数的和为2n ，即012......2r n

n n n n n n C C C C C ++++++=．

④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即

0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．

常见题型有：

求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．