第四章 稳定性与李雅普诺夫方法

平衡状态为xe=0，满足f(xe)=0. 如果存在一个标量函数V(x)满足 1） V(x)对所有x都具有连续的一阶偏导数。 2） V(x)是正定的，即当
x 0,V ( x) 0; x 0,V ( x) 0
可以根据V(x)对时间的导数判断系统的稳定性。
李雅普诺夫第二法稳定性判据
( x ) 为半负定，那么平衡状态x 为李雅普诺夫 ① 若V e 意义下稳定。稳定判据 ( x )为负定，或者虽然V ( x ) 为半负定，但对任 ② 若V ( x) 意初始状态 x(t0 ) 0 来说，除去x=0外，对 x 0 ， V 不恒为零。原点平衡状态为渐近稳定。如果有 x 时， V ( x ) 则系统是大范围渐近稳定。 ( x ) 为正定，那么平衡状态是不稳定的 ③ 若 V
例3 已知非线性系统状态方程：
2 2 1 x2 x1 ( x12 x2 2 x1 x2 ( x12 x2 x ) x )
试分析其平衡状态的稳定性。
0 解：系统的平衡状态为 x e 0 ，且是唯一的平衡状态。
二次型函数的标准型
T V ( x ) x Px 对二次型函数
，若P为实对称阵，则必 存在正交矩阵T,通过变换 x Tx ，使之化成：
V ( x ) x T Px x T T T PTx x T (T 1 PT ) x 1 2 0 T T x Px x x 0 n
特征根为-1 和1，所以原非线性系统在 x e1
处是不稳定的。
x e 2处线性化，得 1 (1 x2 )x1 x1x2 x2 x 2 x2 x1 (1 x1 )x2 x1 x 0 1 状态矩阵为 A 1 0
若令 x x xe ，并取一次近似，可以得到 Ax 系统的线性化方程： x 式中
f A x
x xe
非线性系统的稳定判据
f A x
1）系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性 系统在xe是渐近稳定的，且系统的稳定性与R(x)无关； 2）如果A的特征值，至少有一个具有正实部，则原非线 性系统在xe是不稳定的。 3）如果A的特征值，至少有一个的实部为零。系统处于 临界情况，原非线性系统的平衡状态xe的稳定性将取决 于高阶导数项R(x)。
如果存在状态矢量xe，对所有的t，都使式
f ( xe , t ) 0
成立，则称xe为系统的平衡状态。
系统的平衡状态
平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知 状态方程，令 平衡状态。 对任意一个系统，不一定都存在平衡点，即使有， 也不一定是唯一的；
0 所求得的解 x , x
便是
由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变 换将其移到坐标原点，以ຫໍສະໝຸດ Baidu就只讨论系统在坐标原 点处的稳定性。
xe为其平衡状态；f(x,t)为与x同维的矢量函数， 且对x具有连续的偏导数。 为讨论系统在xe处的稳定性，可将线性矢量 函数f(x,t)在xe邻域内展成泰勒级数，得：
x e x f ( x xe ) R( x ) x
为级数展开式中的 高阶导数项
雅可比矩阵
f1 x1 f f 2 x1 x f n x 1 f1 x2 f 2 x2 f n x2 f1 xn f 2 xn f n xn
x xe
例2 设系统状态方程为：
试分析系统在平衡状态处的稳定性。 解：解方程 0 x1 x1 x2
0 x2 x1 x2 0 1 得系统的平衡状态为 xe1 0 , xe 2 1 1 (1 x2 )x1 x1x2 x1 在 xe1 处线性化，得 x 2 x2 x1 (1 x1 )x2 x2 x 1 0 状态矩阵为 A 0 1 1 x1 x1 x2 x 2 x2 x1 x2 x
Ax bu x y cx
平衡状态xe=0渐近稳定的充要条件是矩阵A 的所有特征根均具有负实部。
这里的稳定是指系统的状态稳定性，或者 称内部稳定。
线性系统的输出稳定判据
如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有 界的，则称系统为输出稳定。
线性定常系统Σ:(A,b,c）输出稳定的充要条 件是其传递函数：
稳定性定义的平面几何表示
设系统初始状态 x0 位于以平衡状态 xe 为球心、半径 为δ的闭球域内，如果系统稳定，则状态方程的解， 都位于以 xe 为球心，半径为ε的闭球域内。
（a）李雅普诺夫意义下的稳定性
（b）渐近稳定性
（c）不稳定性
李雅普诺夫第一法（间接法）
线性系统的稳定判据 线性定常系统Σ:(A,b,c)
特征值为-1 和1，所以系统的状态不是 渐近稳定的。
（2）系统的传递函数为：
s 1 0 1 W ( s ) c ( sI A) b 1 0 0 s 1 s 1 1 ( s 1)(s 1) s 1
1
1 1
在
特征值为±j1，实部为0，不能由线性化方 程得出原系统在 x e 2 处稳定性的结论。
李雅普诺夫第二法（直接法）
基本思路：从能量的观点分析，借助于一个李雅普诺 夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性作出判断。 一个系统被激励后，其存储的能量随着时间的推移逐 渐衰减，达到平衡状态时，能量将达最小值。这个平 衡状态是渐近稳定的。
传递函数的极点位于s平面的左半平面，所以 系统的输出稳定。
状态稳定和输出稳定
1）状态不稳定，输出不一定不稳定 2）只有当系统的传递函数不出现零极对消现象，并 且矩阵A的特征值和系统传递函数的极点相同时， 系统的状态稳定和输出稳定才是一致的。
非线性系统的稳定性
设系统的状态方程为：
f ( x, t ) x
W (s) c(sI A) b
的极点全部位于s的左半平面。
1
例1
设系统的状态空间表达式为： 1 0 1 x 0 1 x 1 u
y 1 0x
试分析系统的状态稳定性和输出稳定性。 解:（1）有A阵的特征方程
1 0 ( 1)( 1) 0 0 1
二次型标量函数
设 x1 , x2 ,, xn 型标量函数为： 为n个变量，定义二次
V ( x ) x T Px x1 x2
p11 p21 xn p n1
p12 p1n x1 p22 p2 n x2 x pn 2 pnn n
反之，如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大， 那么这个平衡状态是不稳定的。 李雅普诺夫函数是正定的标量函数，是虚构的广义能 量函数，通过能量函数对时间的导数的符号来判断稳 定性。
预备知识
标量函数的符号性质
x 设V(x)为有n维矢量x所定义的标量函数， 且在x=0处，恒有V(x)=0。所有在域Ω 中的任何非 零矢量x，如果
1） V ( x) 0 ，则称V(x)为正定的，如：
2）V ( x) 0 ，则称V(x)为半正定（或非负定）的。
3）V ( x) 0 ，则称V(x)为负定的。
4）V ( x) 0 ，则称V(x)为半负定（非正定）的。
5）V ( x) 0 或 V ( x) 0 ，则称V(x)为不定的。
渐近稳定
如果平衡状态xe是稳定的，而且当t无限增长时，轨 线不仅不超出 s( ) ，而且最终收敛于xe，则称平衡 状态xe是渐近稳定的。
大范围渐近稳定
如果平衡状态xe是稳定的，并且从状态空间中所有初 始状态出发的轨线都是具有渐近稳定性，则称平衡状 态xe是大范围渐近稳定的。
不稳定 如果对于某个实数 0 和任一实数 0，不管 这个实数多么小，由 s( ) 内出发的状态轨线， s( ) 至少有一个轨线越过 ，则称平衡状态 xe不 稳定。
稳定定义
李雅普诺夫意义下稳定
如果系统对任意选定的实数 0，都对应存在另 一个实数 ( , t0 ) 0 ，使当
x0 xe ( , t0 )
时，从任意初始状态x0出发的解都满足：
x(t ) xe , t0 t
则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下稳定。 实数 与 有关，一般情况下也与t0有关。如果 与t0无关，则称平衡状态xe为一致稳定。
0, i 1,2,n 1 则P（或V(x)）为半正定的。 3）若 i 0, i n
0 i为偶数 4）若 i 0 i为奇数 则P（或V(x)）为半负定的。 0 i=n
李雅普诺夫第二法稳定性判据
设系统的状态方程为
f ( x) x
4） 若V(x)为半负定，则称P为半负定，记做P≤0.
P的符号性质和V(x)的符号性质完全一致。
希尔维斯特判据
设实对称矩阵
p11 p21 P p n1 p12 p22 pn 2 p1n p2 n , pnn
pij p ji
第四章 稳定性与李 雅普诺夫方法
本章的主要内容
李雅普诺夫关于稳定性的定义 李雅普诺夫第一法 李雅普诺夫第二法 李雅普诺夫在线性和非线性系统中的应用

§4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
设所研究系统的齐次状态方程为
f ( x, t ) x
一般为时变非线性函数。如果不显含t，则为定常 的非线性系统。 x Φ(t; x0 , t0 ) 上式描述了从初始条件(t0,x0)出发的一条状态运 动的轨迹，称为系统的运动或状态轨迹。
称为二次型函数的标准型。 V(x)正定的充要条件是对称阵P的所有特征值均大于0.
矩阵P的符号性质定义
设P为nn的实对称方阵，V ( x) xT Px为由P所决定的 二次型函数。
1） 若V(x)为正定，则称P为正定，记做P>0. 2） 若V(x)为负定，则称P为负定，记做P<0.
3） 若V(x)为半正定，则称P为半正定，记做P≥0
i (i 1,2,, n) 为其各阶顺序主子行列式：
1 p11 , 2
p11
p12
p21 p22
, , n P
希尔维斯特判据
矩阵P定号性的充要条件是：
1）若 i 0 (i 1,2,, n) ，则P（或V(x)）为正定的。
0 i为偶数 则P（或V(x)）为负定的。 2）若 i 0 i为奇数
3）V(x)的最简单形式是二次型函数，但不一定都是 简单的二次型。
对李雅普诺夫函数的讨论
4）如果V(x)的二次型可以表示成标准二次型，V(x) 就表示从原点到到x点的距离。V(x)的导数表征了系 统相对原点的速度。 5）V(x)函数只是表示系统在平衡点附近某邻域内局 部运动的稳定情况，丝毫不能提供域外运动的任何 信息。 6）由于构造V(x)函数需要较多技巧，李雅普诺夫第 二法主要用于确定哪些使用别的方法无效或难以判 别稳定性的问题。
关于李雅普诺夫判据的说明
李雅普诺夫第二法分析稳定性的判据是充分条件， 非必要条件。
如果能找到满足判据条件的李雅普诺夫函数则能对 系统的稳定性做出肯定的结论。
如果找不到相应的李雅普诺夫函数，则不能做出否 定的结论。
对李雅普诺夫函数的讨论
1）V(x)是正定的标量函数，且对x应具有连续的一阶 偏导数。 2）对一个给定的系统，V(x)是可以找到的，通常是 非唯一的，但不影响结论的一致性。