表上作业法例题

7 A3
4
10
6
5 9
3
收量 3
6
5
6 86
首先(最小元素法)、 其次(位势法、闭回路法) Vogel法给出初始运 检验初始运输方案 输方案
Vogel法给出初始方案
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3
11
3 10
A1
5
7 1070
2
1
9
2
8
A2
3
4 168
1
7 A3
4
10
6
5 9 12
3
收量 3
6
5
6
x m1j
xij 0
bj
n
bj
j1
(j 1,
m
ai
i 1
, n)
收量 3
6
5
6 85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3
11
3 10
A1 0
2
5
2
1
9
2
8
A2
32
1
1
7
A3
9
4
10
6 12
5 3
7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
收量 3
6
5
6 85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
, m) , n) 1,
, n)
xij ai (i 1,2, , m)
s.t.

j 1 m
xij 0 (i 1, , m; j 1, , n)


xij bj ( j 1,2, , n)
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2
x22
…
Bn 发量
m n个变元，
C1n
x1n
a1 m n个约束
C2n
x2n
a2的线性规划问题
mn
Am
… a Cm1
Cm2
V: min z Cmn
cij xij
xm1
xm2
n
xmin1 j1 m
数学收模V量:型m：nin设zxbij1表im示1 j由nb1cA2ijix调ij 往s.t…B.j的ixjmi11j数xxiijj量0b，n(bai ij则((1i有,j11,,m,22,;,j
收量 3
6
5
6 85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3
11
3 10
A1 0
2
5
2
1
9
2
8
A2
3
1
7 A3
4
10
6
5 3
7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
收量 3
6
5
6 85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
1 1 1 1 1 1

1 1
1
1
1
1
1

1




1
1
说明：
(1)
r
(
A)

r(
A~)

m

n
1
(2) A中任意系Am(m数nn矩)(m阵1n行) 组成的行向量组增A~(m都广n线矩)(m性阵n1无) 关
xmn a1 a2
1 am
b1 b2 1 bn
产销平衡问题的表上作业法
7
4
3
1
9
A2
31
2
8
1
+4
7 A3
4
10
6
5 9
3
收量 3
6
5
6
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
2
3 - 10 + 7
4
3
A2
1- 9 31
2
8
+
1 -1
4
7
4
10
A3Biblioteka Baidu
+
6
5 -3 9
收量 3
6
5
6
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
2
3 - 10 + 7
4
3
1
9
2
8
A2
31
4 1 -1
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3
11
3 10
A1 0
2
5
2
1
9
2
8
A2
32
1
7 A3
4
10
6
5 3
7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
收量 3
6
5
6 85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3
11
3 10
A1 0
2
5
2
1
9
2
8
A2
小于零，则该问题有惟一解.
2. 多解情形
a
(i, j)对于表上作业(i法, l) 来讲，若某个空格(i（, j)非基变元）检(i验, l)数为
零，则该问题有多x解il.
调整
划x(k去,kj)j3(i行1.) 与退在j化列填解,为(A情使i,B形(x表kj),格kl上 )l 时有调 ,若m量+供 an-与x1 i格k需 有x(发k运j 与(量k0收, ,j则))量需相在同划,填去x后的kl应(行k,同l或) a时列
闭回路法法给出初始
方案
闭回路是指从
有运量表上某
一空格出发，
水平或竖直直
行，只有遇到
有运量的方格
方可拐直角(也
可不拐)，拐来
拐去，若可以
回到出发的空
格的线路，称
为空格闭回路。
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3
11
A1
+
3 10
-4
7 3
1
9
2
8
A2
-3
+1
4
7 A3
4
10
6
5 9
3
收量 3
6
5
6
收
发
B1

n
x ij
ai (i 1, ,m)


n
x ij
ai (i 1, ,m)

s.t


j1
m
i1
x
ij

xij 0
bj(j

1,
,n)

s.t
j1 n j1 m1 i1 x ij
A1
5
2
1
9
2
8
A2
3
1
7 A3
4
10
6
5 3
7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
收量 3
6
5
6 85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3
11
3 10
A1 0
5
2
1
9
2
8
A2
3
1
7 A3
4
10
6
5 3
7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
32
1
1
7 A3
4
10
6
5 3
7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
收量 3
6
5
6 85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3
11
3 10
A1 0
2
5
2
1
9
2
8
A2
32
1
1
7
A3
9
4
10
6
5 3
7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
2
5
1
32
位势法检验初始运输方案
收 发 A1
A2
A3 收量
B1
B2
B3
B4
3
11
3 10
5
2
1
9
2
8
3
1
7
4
10 5
6
3
3
6
5
6
发量 7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
85
v11 3 v2 9 v3 3 v4 10
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3
11
3 10
B
的单位运价
j
发该量问题便称作
运输问题。若，
a1 m
n
则a2称i1作ai 发产j量销1 bj平
衡问题，否则
称为产销不平
衡am问题。
收量 b1 b2 … bn
问题：在满足供需要求的前提下，如何安排调运计划，
可使总运费最小。
收站 发站
B1
B2
…
A1
C11
C12
x11
x12
…
A2
C21
C22
x21
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
3 10
+
4 -3 7
1
9
2
8
A2
3
4 1
7 A3
4
10
-6
5 +3 9
收量 3
6
5
6
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
2
3 +
10 -
7
4
3
1
9
2
8
A2
3+
1
4
7 A3
4
10
-6
5+
9
3
收量 3
6
5
6
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
2
3 +
10 -
,m)


n1 xij

ai (i
1,
,m)

s.t


j1
m
i1
x
ij

xij 0
bj(j

1,
, n)

s.t
j1 m i1 m i1 x ij
xij x in1 0
b
j(j
m i 1
1, ,n)
n
ai bj
j1
产量小于销量
m i 1
ai

n j1
b
j



mn
V : min
c ijx ij


mn
V : min
c ijx ij

i1 j1

i1 j1


运输问题及表上作业法
运输问题及其数学模型 产销平衡问题的表上作业法 运输问题解的讨论 产销不平衡运输问题
运输问题及其数学模型
下表为调运同一种物资的物资调收运站表
收站 发站
A1
A2
B1
C11
发C21 站
B2
C12
C22
… Bn
…
C1n
…
C2n
Am
Cm1
Cm2
…收量Cmn
cij表示从Ai运往
不平衡问题而言,可虚设产地或销地(它们的单位运价皆为零),以
使最终产销平衡.
产量大于销量
m
ai
i 1

n j1
b
j



mn
V : min
c ijx ij


mn
V : min
c ijx ij

i1 j1

i1 j1



n
xij
ai (i 1,
4
10
6 12
5 9
3
收量 3
6
5
6
调整运输方案
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3
A1
0
11
2
3
10 - 7
5
2
1
9
2
8
A2
32
1
4 1
7 A3 9
4
10
6 12
5 9
3
收量 3
6
5
6
运输问题解的讨论
对于运输问题的解的讨论，如同单纯形法：
1. 惟一解情形 对于表上作业法来讲，若所有空格（非基变元）检验数均
表上作业法：在前述的运输调运表上直接计算而得到的 最优调运方案的方法。
表上作业法的算法步骤流程图：
开始
给出初始 运输方案
改进运 输方案
no
检验 运输方案是否
最优
（1）闭回路法
yes
（2）位势法
结束
例1 给出下面的运输问题的最优解。
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3
11
3 10
A1
7
43
1
9
2
8
A2
3
4
1
的某空格处填上“0”,这时所得的解为退化解.
(2) 空格(Ai,Bj)处,若调出格(Ak,Bj)与(Ai,Bl)运量相等xkj=xil, 调后调整量为a= xkj=xil出现两个空格,此时应一格变空格,另一 格填上“0”,这时所得的解为退化解.
产销不平衡运输问题
表上作业法是在“产销平衡”这一前提下进行的,对于产销
7 A3 10
4
10
5
6+
-3 9
收量 3
6
5
6
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
2
3 +
10 -
7
4
3
1
9
A2
31
2
8
1
-1 +
4
7 A3 10
4
10
6 12
5 9
3
收量 3
6
5
6
调整运输方案
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
2
3
10 - 7
5
2
1
9
2
8
A2
31
4 1
7 A3 10