第8章 整式乘除与因式分解 复习 20091119

第8章 整式乘除与因式分解 复习

一. 教学内容：

第8章 整式乘除与因式分解 复习

二、教学目标：

1. 经历探索整式运算法则和因式分解方法的过程，体会数学知识之间的内在联系．

2. 了解整数指数幂的意义和整数指数幂的运算性质；了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，体会事物之间可以相互转化的思想．

3. 会进行简单的整式乘除运算；会用提公因式法、公式法进行因式分解．

4. 会推导乘法公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2；（a±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单的计算及其逆向变形．

5. 经历观察、思考、交流、探究等数学活动过程，体验解决问题的策略，进一步发展学生归纳、类比、概括能力，发展学生有条理地思考与表达能力．

三、教学重点及难点：

教学重点：整式的乘除法和因式分解，特别是作为乘、除运算基础的是幂的运算．

教学难点：充分理解并掌握幂的运算性质．

四、课堂教学：

1、内容整理：

2、主要知识回顾：

幂的运算性质：

a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

()n

m a ＝ a mn （m 、n 为正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘． ()n n n b a ab = （n 为正整数）

积的乘方等于各因式乘方的积．

n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）

同底数幂相除，底数不变，指数相减．

零指数幂的概念：

a 0＝1 （a ≠0）

任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．

负指数幂的概念：

a －p ＝p a 1

（a ≠0，p 是正整数）

任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：p

p n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 单项式的乘法法则：

单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．

多项式与多项式的乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

3、乘法公式：

①平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2

文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．

②完全平方公式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2

（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2

文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．

4、因式分解：

因式分解的定义．

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

掌握其定义应注意以下几点：

（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；

（2）因式分解必须是恒等变形；

（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．

弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．

熟练掌握因式分解的常用方法．

1、提公因式法

（1）掌握提公因式法的概念；

（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；

（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．

（4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．

2、公式法

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；

常用的公式：

①平方差公式： a 2－b 2＝ （a ＋b ）（a －b ）

②完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝（a ＋b ）2

a 2－2a

b ＋b 2＝（a －b ）2

【典型例题】

例1、计算：

（1）2（a 5）2＋a 4·（－a 2）3＋（－a 2）7÷a 4

（2）－23＋（π－3.14）0－|1－221|×（－21

）－1

解：（1）2（a 5）2＋a 4·（－a 2）3＋（－a 2）7÷a 4

＝2a 10－a 4·a 6－a 14÷a 4

＝2a 10－a 10－ a 10

＝0

（2）－23＋（π－3.14）0－|1－221|×（－21

）－1

＝－8＋1－121

×（－2）

＝－7＋3

＝－4

例2、已知（x 2＋nx ＋3）（x 2－3x ＋m ）的展开式中不含x 2和x 3项，求m ，n 的值．

解：展开式中x 2项为：m x 2－3n x 2＋3 x 2＝（m －3n ＋3）x 2

展开式中x 3项为：－3 x 3＋n x 3＝（－3＋n ）x 3

∵展开式中不含x 2和x 3项

∴展开式中x 2和x 3项的系数为零．

∴m －3n ＋3＝0 且 －3＋n ＝0

∴m ＝6 且 n ＝3

例3、已知（x ＋1）（x 2＋mx ＋5）＝x 3＋nx 2＋3x ＋5，求m ，n 的值．

解：∵ （x ＋1）（x 2＋mx ＋5）＝ x 3＋mx 2＋5x ＋ x 2＋mx ＋5

＝ x 3＋（m ＋1）x 2＋（5＋m ）x ＋5

∴ x 3＋（m ＋1）x 2＋（5＋m ）x ＋5＝x 3＋nx 2＋3x ＋5

∴ m ＋1＝n 且5＋m ＝3

∴ m ＝－2 且 n ＝－1

例4、阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如（2a ＋b ）（a ＋b ）＝2a 2＋3ab ＋b 2就可以用图或图形的面积表示．

（1）请写出图3所表示的代数恒等式．

（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：（a ＋b ）（a ＋3b ）＝a 2＋4ab ＋3b 2．

（3）请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．

解：（1）（2a ＋b ）（a ＋2b ）＝2a 2＋5ab ＋2b 2．

（2）如图4． （3）答案不唯—，如（a ＋2b ）（a ＋b ）＝a 2＋3ab ＋2b 2

，与之对应的几何图形如图5所示．