2021年全国硕士研究生入学统一考试(数学一)

2021年全国硕士研究生入学统一考试

数学（一）

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把所选选项前的字母填在答题卡制定的位置上.）

（1）函数⎪⎩

⎪⎨⎧=≠-=0,10,1)(x x x e x f x ，在0=x 处（ ）

（A ）连续且取得极大值 （B ）连续且取得极小值

（C ）可导且导数为0 （D ）可导且导数不为0

（2）设函数),(y x f 可微，且2)1(),1(+=+x x e x f x ，x x x x f ln 2),(2

2=，则=)1,1(df （ ）

（A ）dy dx + （B ）dy dx - （C ）dy （D ）dy - （3）设函数21sin )(x

x x f +=

在0=x 处的3次泰勒多项式为32cx bx ax ++，则（ ） （A ） 67,0,1-===c b a （B ）6

7,0,1===c b a （C ）67,1,1-=-=-=c b a （D ）67,1,1=-=-=c b a

（4）设函数)(x f 在区间]1,0[上连续，则

=⎰dx x f 10)(（ ） （A ）∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-n k n n n k f 1

21212lim （B ）∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-n k n n n k f 1

1212lim （C ）∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-n k n n n k f 212121lim

（D ）∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛n k n n n k f 21

22lim （5）二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f --+++=的正惯性指数与负惯性指数依

次为（ ）

（A ）0,2 （B ）1,1 （C ）1,2 （D ）2,1

（6）已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1212α，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=2133α，记11αβ=，

122βαβk -=，221133ββαβl l --=，

若321,,βββ两两正交，则21,l l 依次为（ ）

（A ）

21,25 （B ）21,25- （C ）21,25- （D ）2

1,25--

（7）设B A ,为n 阶实矩阵，下列不成立的是（ ） （A ）)(2A r A A O O A r T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （B ）)(2A r A O AB A r T =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛ （C ）)(2A r A A O BA A r T =⎪⎪⎭⎫

⎝⎛ （D ）)(2A r A BA O A r T =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛ （8）设B A ,为随机变量，且1)(0<

（A ）若)()(A P B A P =，则)()(A P B A P =

（B ）若)()(A P B A P >，则)()(A P B A P >

（C ）若)()(B A P B A P >，则)()(A P B A P >

（D ）若)()(B A A P B A A P >，则)()(B P A P >

（9）设),(11Y X ，),(22Y X ， ，),(n n Y X 为来自总体);,;,(222121ρσσμμN 的简单随机样

本，令21μμθ-=，∑==n i i X n X 11，∑==n i i Y n Y 1

1，Y X -=^θ，则（ ） （A ）^θ是θ的无偏估计，n D 22

21^)(σσθ+=

（B ）^θ不是θ的无偏估计，n D 22

21^)(σσθ+=

（C ）^θ是θ的无偏估计，n D 2

12221^2)(σρσσσθ-+=

（D ）^θ不是θ的无偏估计，n D 212221^2)(σρσσσθ-+=

（10）设1621,,,X X X 是来自总体)4,(μN 的简单随机样本，考虑假设检验问题，

10:0≤μH ，10:1>μH .)(x Φ表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为

{}

11≥=X W ，其中∑==16

1161i i X X ，则5.11=μ时，该检验犯第二类错误的概率为（ ） （A ）)5.0(1Φ- （B ）)1(1Φ- （C ）)5.1(1Φ- （D ）)2(1Φ-

二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上）

（11）

.__________2202=++⎰+∞x x dx

（12）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=<++=0,)1(40,122t t e t y x t e x t t 确定，则._________022==t dx y d

（13）欧拉方程04'''2=-+y xy y x 满足条件1)1(=y ，2)1('=y 的解为.__________

（14）设∑为空间区域{}

20,44),,(22≤≤≤+z y x z y x 表面的外侧，则曲面积分

._________22=++⎰⎰∑zdxdy dzdx y dydz x

（15）设)(ij a A =为3阶矩阵，ij A 为代数余子式，若A 的每行元素之和均为2，且3=A ，则._________312111=++A A A

（16）甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令Y X ,分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X 与Y 的相关系数为.__________

三、解答题（本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.）

（17）（本题满分10分） 求极限⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+⎰→x e dt e x x t x sin 111lim 002.