夏青峰《小数的意义》

一、在数的体系中认识小数。

师：孩子们，你们学过数学吗？

生：学过。

师：那老师写一个数字，看你们是否认识。如果谁认识，站起来就说，不用举手。好吗？

生跃跃欲试。

师在黑板上快速写了个１。大部分学生迅速站起来说１。还有几个学生没反应过来。

师：哈哈，看来还有几位学生没学过数学。生笑。

师又在１的左边依次向前，分别写上10、100、1000。学生也分别站起来说10、100与1000。

师：发生了什么变化？

生1：每次多写了一个0。

生2：每次都扩大了10倍。

生3：一开始是一位数，然后分别是两位数、三位数、四位数。

生4：1先是在个位，然后跑到十位，再跑到百位与千位。

师：太好了。每次多写了一个0，就发生了这么多的变化。是不是每多写一个零，就扩大10倍呢？

师在1的右边，再写了一个1，然后在刚写的1前面加了一个0。

师：增加了一个0，扩大10倍了吗？

生1：没有。

生2：还是1。

师：同样是增加了一个0啊，凭什么说它没有扩大10倍呢？

生1：因为这个0是增加在1的前面了，要加到后面才扩大10倍。

生2：因为这个1还是站在个位。

师：哦，1还是在个位。没有扩大。那老师给它加两个0吧。

师在01的右边又写了个1，再在其前面写了两个0，变成001。

师：现在扩大了吗？

生1：还没有扩大。

生2：还是等于1。

师：加了两个0，都没有扩大啊。那老师变个魔术，加一个小点吧。

师在01的中间加了一个小点，变成0.1。

生1：这是0.1。

师：这是什么啊？

生齐声说：0.1。

师：哦，原来你们都认识它啊。它是一个？

生：小数。

师板书“小数”

师：加了一个小点，它的大小就发生了什么变化呢？

生：缩小了10倍。

师：凭什么这样说啊？

生：因为0.1就是1/10。

师：0.1就是1/10，你们同意吗？

生：同意。

师：哦，好的，这咱们原来学过，0.1就等于1/10。

师在0.1的上方写上1/10。

师：也就是说，1/10其实也可以写成0.1的形式。

师：那1/100，可以写成什么形式，你们知道吗？

师在001的上方写上1/100。

生：是0.01。

师在001里面加一个小数点，变成0.01。

师：1/100可以写成0.01的形式，反过来说，0.01也就是等于？

生：一百分之一。

师：那1/1000呢？可以写成？（师写1/1000）

生：0.001。（师写0.001）

师：反过来说，0.001就等于？

生：一千分之一。

师：那1/10000呢？可以写成？（师写1/10000）

生：0.0001。（师写0.0001）

师：反过来说，0.0001就等于？

生：一万分之一。

师：你们这么聪明啊。老师来一个难的，看你们行不行。

师写1/100000000（让学生一起数，共八个零）

师：它又可以写成什么呢？

生七嘴八舌地说。

师：你们这样说，老师听不清楚。谁能说说这零点（写0.）后面要一共写几个0呢？

生1：零点后面应该是8个0减掉1个0；

生2：看上面多少分之一那里有几个0，下面的0与上面一样多，只不过是把它倒过来。

师：倒过来？

生1：就是把1从最前面移到最后面，再在第一个0后面加上小数点。

师：是这样的吗？

生2：是这样的。你看，前面1/10的分母是1个0，是一零，写成小数倒过来就是零一，再加上小数点；1/100的分母是一零零，写成小数倒过来就是零零一，加上小数点。后面也都是这样。

师：哦，能否这样看呢?0.1小数点后面是一个数字，我们就称它为一位小数。那这就是？（指0.01）

生：两位小数。

师分别指0.001、0.0001，学生分别回答是三位小数、四位小数。

师：分母1后面有一个0，就写成了一位小数；分母1后面有两个0，就写成了两位小数；分母1后面有三个0，就写成了三位小数。分母？（指1/10000）

生：分母1后面有四个0 ，就写成了四位小数。

师：那这分母1后面有八个0，就写成？

生：八位小数。

师：是在小数点后面写8个0吗？

生：不是，写7个0 ，后面还有一个1。

师：哦，这样啊，那我们一起写写。（0.00000001）

师：如果老师在这分母里面写上10个0，你们能改写成小数吗？

生：能。就十位小数。

师：孩子们，你们看黑板（黑板上刚才写的是一排数字1000 100 10 1 0.1 0.01 0.001 0.0001），从左向右看，他们依次？

生：依次缩小了10倍。

师：1到0.1？

生：缩小了10倍。

师：0.1到0.01？

生：也是缩小了10倍。

师：那从右向左看呢，他们依次？

生：扩大了10倍。

师：从0.001到0.01，从0.01到0.1，从0.1到1，再从1到10，它们都是？

生：扩大了10倍。

生：它们的进率是10。

师：这边是整数，这边是小数，它们之间都是相差10倍。那上面这些分数呢？（指对应地写在小数上面的分数1/10、 1/100、 1/1000、 1/10000）

生答略。

〖实时评析〗不能孤立地认识小数，不能就小数认识小数，而是要将小数放在数的体系中，让孩子们感受到数之间的联系与区别。通过1与0两个数字的变化，将整数系列中的十进制、数位、位数等知识激活，并能顺利地迁移到小数。学生已经学过小数的初步认识，在此基础上，引导学生通过类推的方式感受0.001、0.0001等，并由1/100000000引发学生的认知冲突，从而促进他们去观察和发现规律。

二、在数形结合中认识小数。

师：你们真能发现规律。好了，我们来看看屏幕上。

师：如果这一个小方块，我们用1去表示它（见图1，各图片按教学顺序依次出现）。那么，10表示的会是多大呢？

生：10个小方块。

师：真好（屏幕出现10个小方块）。那100表示的多大呢？

生：100个小方块。

师：好的（屏幕上出现100个小方块）。那0.1该有多大呢？

生1：这个小方块的十分之一。

生2：把这个小方块平均分成10份，其中的1份就是0.1。

师：哦，是这样的吗？（屏幕出现把小方块均分成10份，涂色其中的1份）

师：那0.01会是多大呢？

生1：把0.1再平均分成10份。

生2：把这个小方块平均分成100份。

师：是这样的吗？（屏幕出现把小方块均分成100份，涂色其中的1份）

（图1）

师：如果1是这么大，那么10就这么大，100就这么大，1000呢？（学生笑着比划）如果1是这么大，0.1就这么大，0.01就这么大，能说说0.001会是多大吗？（生说）几个0.01是0.1呢？几个0.1是1呢？几个1是10呢？发现了什么？

生：它们之间的进率都是10。

师：如果把这个正方形看成是1，平均分成10份，这样的1份能用0.1表示吗？（见图2，出现第1个图形）

生回答可以。

师：那这样的1份也能用0.1表示了？（出现第2个图形）

生：不能，必须要平均分。

师：哦，那现在平均分了。这1份总可以用0.1表示了吧？（出现第3个图形）

生：还不行。0.1是要平均分成10份。

师：那现在平均分成10份了，可以了吗？（出现第4个图形）

（图2）

生：可以用0.1表示了。

师：我怎么觉得有点不可以啊？你看，这边的0.1是长得这样瘦瘦长长的（指第一幅图），而这里的一份（指第四幅图）却长得这样宽宽胖胖的。长得不一样啊，怎么会都是0.1呢？

生：只要平均分成10份，那1份就可以用0.1表示。

生2：虽然它们长得不一样，但都是图形的1/10。

生3：那瘦瘦长长的，是第一个图形的0.1，而宽宽胖胖的是最后一个图形的0.1。

师：也就是说，它们虽然有不同的地方，但是也有相同的地方。能看得出不同中的相同吗？

生：都是1/10。

师：那能看出相同中的不同吗？

生：每个图形不一样。

师：哦，那要表示0.01，这样的图例可以表示吗？（见图3，出现第1个图形）

（图3）

生：不可以。

师：那这个图例呢？（出现下面第2个图形）

生：还是不可以。

师：那这个呢？平均分成了100份了（出现第3个图形）。

生：可以了。

师：为什么呢？

生：因为它表示的是1/100，而1/100就可以写成0.01。

师：哦，好的，那这个也可以表示0.01吧？（出示第4个图形）

生：不是了。它是0.09。

师：1份是0.01 ，那2份就是？

生：0.02。

师：那3份、4份、5份呢？9份呢？

生：0.03、0.04、0.05、0.09。

屏幕出示下面图片（图4）：

（图4）

师（指第一幅图）：这1份可以表示0.1，那现在表示的是零点几了呢？（将第一幅图逐渐缓慢变大）

生：还是0.1.

师：怎么还是0.1？你看，0.1是这么大（将图恢复到刚才的大小），而现在图变这么大了（再次变大），还会是0.1？

生：还是0.1。因为它还是平均分成10份的。

师：可是它变大了啊？

生1：变大变小都不管的。

生2：不管它变多大还是多小，只要是平均分成10份中的1份，都可以用0.1表示。

生3：它整体变大了，它其中的1份也在变大。但变来变去，还是10份中的1份。

师：哦，原来这样啊。那变化中，你能看到什么东西没变吗？

生：始终是10份中的1份。

师：那这个还能用0.1表示吗？（将第二幅图缓慢变小）

生：还是0.1.

师：那这个还是0.01吗？（将第三幅图缓慢变大）

这个还是0.09吗？（将第四幅图缓慢变小）

生回答（略）

师：如果用一条线段来表示1，平均分成10份。这些点分别可以用什么表示呢？（见图5）

生：0.1、0.4、0.8

师：0.4里面有几个0.1呢？0.8里面呢？

（图5）

师：如果线段的长度不变。现在用它来表示0.1。那这些点又表示什么呢？（图6）生：0.01、0.03、0.09。

（图6）

师：如果用这么长的线段表示1。这一点就是？（见图7，图上标识根据教学进程依次出现）

生：0.9。

师：老师将这条线段，延长这一个0.1的长度。这一点就会是多少呢？

生：1.1。

师：那老师如果延长这样的10份，就是？

生：2。

师：如果再延长10份呢？

生：就是3了。

师：好的。那这两点又是多少呢？

生：2.2、2.9。

师：这3里面有几个0.1呢？2.2里面呢？

生1：3里面有30个0.1。

生2：2.2里面有22个0.1。

（图7）

师：那下面这些点又可以用什么小数表示呢？（见图8）

生：0.09、0.11、0.29

（图8）

师：你也能在纸上画一个图形，把它看成整数“1”。然后把下面这些数表示出来吗？

2 0.2 0.02 0.20

（学生拿出老师课前下发的方格纸画图形，然后有几个学生运用视频展示台进行交流，略）

〖实时评析〗作为概念教学，需要凸显它的内涵与外延。用图形结合的方式，将小数具体化、形象化，并让学生在相互比较与联系中感受，在不同中看到相同，在变化中看到不变，能有效地促进学生的理解。学生理解的难点在哪里？学生经常出错的地方在哪里？教学紧紧抓住用线段来表示数的很多细节性问题，非常具有针对性。

三、在数的发展中认识小数。

师：好了，孩子们，刚才大家画的与说的都非常好。老师这里有一个问题想问问大家，我们已经学过了整数、分数（指黑板），干吗还要学小数呢？

生1：用起来方便。

生2：计算方便。

师：是啊。有了小数，可以让我们的生活更加方便。让我们大概了解一下小数的产生与发展吧。

师：我们的祖先们一开始是以狩猎为生（出示下面图9）。那时候的人们还不会数数，更没有发明数字。一次，他们打了很多猎物回来了（出示下面图10），可是，他们怎么知道这些究竟是多少呢？

（图9）（图10）

生1：拿石头在树上刻标记。

生2：拿绳子打结。

师：我们小时候，刚开始学数数的时候，一般是怎么办的啊？

生：辦手指。

师：对、对，我们的老祖先啊也与我们一样，一开始就用这个10个手指去数数（教师用十个手指对着屏幕上的小方块）。可是，十个手指数完以后，接下来的怎么办呢？

生1：做个记号，再去数。

生2：在绳子上打个结，表示十个手指的数。

师：你们真聪明，老祖先们就是这样想的。十个手指用完后，就在绳子上打一个结，表示有几个了？（见图11，依据教学进程依次出现）

生：10个。

师：有十个手指这么多了。再拿双手去对应着数，数完了再怎么办？

生：再打一个结。

师：好的。他们不断地打结，现在一下子打了这么多结。这些结又该怎么数呢？

生：再用十个手指去数。

师：可是这些结也超过十个手指了怎么办？

生：再拿一根绳子打一个大结。

师：好的。那这一个大结按照今天来说，其实是？

生：就是100。

师：如果他们最后打的结是这样的，你们知道它的实际数目是多少吗？（见图12）

（图11）（图12）

生：254。

师：好的。整个的数完了，可是还有一些零碎的。怎么数呢？（见图13）

（图13）

师：比如图上，左边的小放块表示1，那么右边这些零碎的，又分别是几呢？怎么办？

生：可以将它们拼起来，看能凑成几。

师：可是拼了以后，也不一定就能凑成整个的啊。还余下的那些零碎又怎么办呢？

生：……

师：其实啊，我们的祖先在测量的时候，用一个单位去测量比它大的东西的时候，一般是采用“聚”的方法，比如用这个书面做单位去测量桌面，就用书面一个个去度量桌面，看它还有几个这样的书面。可是，当用一个单位测量比它小的东西的时候，人们一般就不再用“聚”的方法了，而是用“分”的方法，比如用这个书面做单位测量橡皮面的时候，就是要将这个书面平均分成一些小份，然后看橡皮面能占多少这样的小份。你们知道，古人一般喜欢将一个大单位平均分成多少个小单位吗？

生：10份。

师：为什么呢？

生：因为用十个手指数方便。

师：对啦。古人喜欢平均分成十份，就是与我们的十个手指有关系的。如果左边的是表示一个单位，那么右边的应该是几呢？我们可以怎么办？（见图14）。

生：可以将图形平均分成10份。

师：平均分成10份后，我们发现它占了其中的2份。如果我们也用结绳的方法，那么这1个小结其实就是今天的？（见图15）

生：1/10。

师：两个小结呢？

生：2/10。

（图14）（图15）

师：如果还有更小的零碎，连它的1/10大小都够不上。那又怎么办呢？

生：继续分。

师：再分成多少份呢？

生：100份。

师：如果我们还是用结绳的方法，那么这样的1个小结又是多少呢？3个小结呢？（见图16）。

（图16）（图17）

师：如果他们最后打的结是这样的，你们知道它的实际数目是多少吗？（见图17）生：254.23。

师：可是，如果我们把这个东西拿给会场以外的人看，别人能看得懂吗？

生：不懂。

师：是啊。古人也想啊，我们打结只有自己能看得懂，可是别人看不懂，不能交流啊，怎么办？于是他们发明了数字。就像这些结，我们分别用数字来表示就是？（见图18，图片与数字依照教学进程依次出现）

生：分别是4、50、200。

师：如果把它们合在一起，怎么表示呢？能这样写吗？（在黑板上写200504）

生：不能，应该是254。

师：那2后面的两个0、5后面的一个0，跑到哪里去了呢？

生：它就在百位上、十位上。

师：哦，实际上古人是通过发明了什么来解决这个问题的？

生：数位。

师：对啦，发明了数位就可以把这些数字结合到一起。那这边又怎么表示呢？

生：2/10、3/100。

师：那它们怎么合起来呢？能这样写吗？（在黑板上将两个分数连在一起写）

生：不能。直接写2与3.

师：你的意思是分母可以不写了？那就写成这样？（25423）

生：在4的后面还要加一个小数点，将它们分开。

师：为什么呢？

生：因为那个4与2是不一样的，否则就变成了两万五千四百二十三了。

师：哦，加一个小数点将它们隔开。其实啊，这个小数点的发展也经历了一个漫长的时间。

（教师介绍小数点的来历，略）

（图18）

师：加了一个小数点以后，这边分别是什么数位？

生：个位、十位、百位。

师：那小数点的右边是什么位呢？

生：……

师：这表示的是几个十分之一，咱们就叫它十分位。那再右边的就是？

生：百分位。

师：百位再向左分别是千位、万位，那百分位再向右就分别是？

生：千分位、万分位。

师：好的，那下面的谁是个位？（见图19）

（图19）（图20）

生：小数点左边第一位的是个位。

师：好的。我们知道，个位的计数单位是一，十位的计数单位是十，那十分位、百分位的计数单位是什么呢？

生：十分之一、百分之一。

师：那千分位、万分位呢？（见图20）

生：千分之一、万分之一。

师：下面的计数器分别可以怎么读？（见图21）

（图21）

生：212.21；320.03。

师：下面的呢？（见图22）

（图22）

生：（一开始有几种不同的读法，读出来小数点。后来都统一了）30213。

师：小数点在哪里呢？

生：在最后那个3的后面。

师：如果让“2”表示的是“2个十分之一”，该在哪里加小数点？如果让“2”表示的是“2个十”，

该在哪里加小数点？如果让“2”表示的是“2个千分之一”，该在哪里加小数点？

生答略。

〖实时评析〗小数的本质是十进制分数的另外一种写法。通过结绳计数情景的再现与思考，让学生对“十进制”有了一个更深层次的理解，包括对“聚”与“分”两种方式有了一个大致的了解。教学将数的产生与计数器巧妙地结合到了一起，使学生对数位、计数单位等印象鲜明，对小数的组成记忆深刻。

四、在基本训练中认识小数。

师：快速地根据图例，分别写出相应的分数与小数。（见图23）

（图23）

生写与汇报，略。

师：快速地根据分数写出小数：3/10、8/100、37/1000、5/1000、32/1000、256/10000 生汇报。

师：快速的根据小数写出分数：0.7、0.108、0.042、0.60、0.001、0.0002、0.534。

生汇报。

〖实时评析〗通过重复的基本训练，让学生掌握分数、小数互化的方法，形成基本能力。做到当堂巩固，当堂反馈。

【专家评析】“小数”里见证大数系

由整数到分数、小数，再到以后的有理数、无理数以及实数、虚数，数系的每一次扩充，基本都是运算的需要，即数的产生和运用于生活实践。小数的产生也是如此。

在日常的教学中，要从大数系的结构链中教学某个小知识点，教师就要有大数学观。从教学的角度而言，它应该包括两层意思：一是要吃透教材，用好教材；二是不要局限于教材，能跳出教材，创造性地使用教材。吃透教材，是为了能够运用教材中的知识，解决实际问题；跳出教材，就是不把学生禁锢于教材、资料、题海中，树立以学生发展为本的教学理念和“学生是发展中的人”的学生观。

“小数的意义”是学生在三年级初步认识了分数、小数的基础上学习的。纵观时下课堂教学中，对作为约定俗成的“小数的意义”知识点的教学，大多数教师认为这一内容用教材提供的素材和传统的接受式教学比较恰当，在实际教学中也颇为多见。

夏青峰老师在执教该课时，没有按照教材中提供的教学内容和教学步骤去教学，而是另辟蹊径，创造性地改编教学内容，跳出具体的情境，不再纠缠于利用生活经验理解小数表示的具体意义，使之上升到更为抽象的数学层面，引导学生理解一位小数表示十分之几、两位小数表示百分之几、三位小数表示千分之几……进而引导学生从数学探究的角度理解小数的意义，这种安排体现了从“小数”里见证大数系的构建过程，这应是该节课特点所在。

一、紧扣数的变化引出小数概念

夏老师在导入新课后，以数“1”为界点，与学生一起，先向左依次在“1”的后面加一个0、两个0、三个0组成几个数，让学生观察数大小的变化，当学生找到每次扩大10倍后，又提醒学生注意老师向右依次在“1”的前面加一个0、两个0、三个0组成几个数，使这几个数组成一列数，并着意提问学生“01、001、0001这三个数与1相比发生了什么样变化”，这样既唤起了学生的已有知识经验，引发了学生的认知冲突，还让学生在不知不觉中进入了新课的学习，整个过程自然流畅。

这一过程的重点，是先让学生知晓像“0.1”这样的数叫小数，是“1”缩小1/10后得到的，读作“零点一”；然后继续引导学生知晓“0.01”、“0.001”是“1”分别缩小1/100、1/1000后得到的，分别读作“零点零一”“零点零零一”。通过这一列数大小的变化，唤起

学生已有的知识经验及小数产生的体验，引导学生认识小数。

二、紧扣小数产生过程突破重难点

小数的意义是小学数学概念中较抽象、难理解的内容。小数是十进位分数的另一种表示形式。学生虽然对分数已有了初步的认识，也学过长度单位、货币单位间的进率，但理解小数的含义还是有一定的困难的。理解小数的含义(一位小数表示十分之几、两位小数表示百分之几、三位小数表示千分之几……)既是本课时的重点又是难点。

在这一过程中，夏老师通过几组图形的直观演示，始终让学生从正方形平均分成若干份的图形中发现小数、判断小数、寻找小数、书写小数，学生在整个过程中仿佛都一刻不停地做着思维的体操，教学重难点也就在这个研究小数的变化过程中突破了，学在课堂、以学论教的教学理念便跃然纸上。

先在平均分成10份、100份的图形中分别寻找“0.1”或能表示“0.1”的图形，并不时地出现错例让学生判断，这个过程帮助了学生完善认知结构。

接下来，夏老师依据小数从正方形平均份图不易延伸的学情，改成直接以线段图的方式导入并扩展到小数二、三位。从线段图中可了解到：1是由10个0.1合成的，一个0.1又是由10个0.01合成的。

再接下来，夏老师布置课堂巩固练习：你也能在纸上画一个图形，把它看成整数“1”，然后选择一个数，在上面表示出来吗？2、0.2、0.02、0.20。这个“据数画图”的拓展延伸，夏老师着重引导学生自我发现和个性表达，而且把足够的时间留给学生充分挖掘自身的内在潜能，让他们把学习过程中积累的学习成果全部释放出来。在展示学生讨论环节的这个过程中，夏老师充分尊重每个学生的学习成果，建立平等、民主、愉悦的学习氛围。夏老师对学生的创见充分鼓励，对学生的异见尊重理解，对学生的错误宽容引导。在这中间，学生的学习汇报结果，虽有些“乱”，但每个学生的主体性都得到了充分地发挥，学习成果也在“乱”中变得有序，直至达成共识。这既让学生切身感受到学习的快乐，也让学生获得了成功的不同体验。

这节课可圈可点的地方还很多，如夏老师让学生通过观察、比较，围绕“变与不变”的特点启发，让学生不仅很快掌握小数的意义，而且经历小数产生的过程；又如采取在直观的基础上进行抽象概括的导学方法，遵循了学生学习的认知规律，较好地实现了由具体到抽象的转化。但有一点思考想与夏老师和同仁商榷：

这节课从数学研究的角度来看，是一节颇有新意的好课，突出表现了数学思维训练是实现数学教学最优化的灵魂。但作为较为抽象的概念教学课，如何让学生结合日常生活的相关数学知识（如测量和长度单位、货币换算等）去建立概念，如何在学生已有的生活体验的情景中引导学生自主探究，从而多一些经验的、直观的感受，少一些抽象的推理，这样的教学会不会离学生的“最近发展区”更近些？学生学起来也更轻松些呢？同时也更容易化解数学知识的抽象性与学生思维直观形象性之间的矛盾，实现数系构建的顺利对接、生成呢？

（《江西教育》编辑部廖肇银）

【磨课花絮】

一次，我在学校里随堂听课，听一位老师教学“小数的意义”。听的过程中，感觉这节课上起来比较吃力，素材比较琐碎，启发生思考的并不多，而需要讲授的却很多。尤其是，学生在三年级学习“小数的初步认识”时，就已经是通过米、分米、厘米的互化来感知了，而现在学习“小数的意义”时，教材呈现的素材与方式都是一样的，感觉就是一个重复，只不过是多了一个1米平均分成1000份。但学生要真正感知1米平均分成1000份，也是很困难的。“小数的初步认识”教学与“小数的意义”教学应该在什么地方有所区别呢？“小数

的意义”能跳出米制单位的换算来进行教学吗？我陷入了沉思。

小数的本质究竟是什么？我感觉首先要搞清楚这个问题。在查阅了一定的资料以后，我的认识基本上清晰了。小数其实就是十进制分数的另外一种写法，它是根据十进制位值的原则，把十进制分数仿照整数的写法，写成不带分母的形式。小数的本质就是十进制分数。要理解小数，就必须要理解十进制分数。同时，小数在与十进制分数具有等价性的同时，它又是整数符号系统的一种拓展，理解小数，离不开它与整数的联系。想清楚这些以后，我就有了运用一种新的思路来设计、教学这节课的冲动。

在设计课的时候，老问题又出现了。“小数的意义”与“小数的初步认识”在教学的层次上如何体现差别？教材上这些米制单位的转化素材如何取舍？这是从教的角度去思考。从学的角度，学生面对这样的概念认识，自主思考、探索的空间会有多大？应该组织引导学生运用什么样的方式去进行学习？一番思想斗争以后，我选择了这样的路径：从学的角度来说，对于“小数意义”这样一个概念，完全放手让学生自主去探索，其价值并不大，因为光靠孩子的思考是很难触及到概念的本质，需要有老师的逐步引领。因此，我希望自己这节课是一个师生不断对话的过程，老师不断启发，学生不断思考，从而一步步地走向深入。有些地方需要老师讲授的，就采用老师讲授的方法；有些地方，需要学生自己体验的，就让他们去体验，学习方式就这样定下来了。那究竟学什么呢？我将“小数的初步认识”教学定位在，学生通过与生活实际经验的结合，以及米制单位转化、人民币单位的转化等，从数与量两个方面初步感知小数，感受到小数与生活中的联系。而在教学“小数的意义”时候，就不再重复前面所说的，而是要淡化“量”，突出“数”，排除单位的换算对“小数本质”的干扰，“就数论数”，把“小数”放在“数的体系”中，通过横向上的联系、纵向上的发展以及自身本质的凸显，来将“小数的意义”表达出来。

在实际教学中，我一开始是给学生一张纸，让他们在纸上表示出0.1。结果是学生所需时间很长，而难点并不在于学生对0.1的理解，而是学生很难将一张纸平均分成10份。这里动手，似乎有些为了动手而动手，于是我舍弃了这个环节，直接采用0与1两个数字的演绎方式，效果还是比较好的。

【赏课心得】

◎两个数字，演绎精彩规律。夏青峰老师执教的《小数的意义》一课中，借助“0”和“1”这两个数字的组合，精彩演绎了小数意义的深刻理解。首先由“1”拉开帷幕，然后是“10”“100”“1000”，接着是“0.1”“0.01”“0.001”。此过程，巧妙引导学生将小数意义的理解与分数进行了对接，顺利发现了规律，并无形中让学生感受到数之间的密切联系和数字之美。简约的内容，简洁的过程，很好地实现了教学目标。（江苏省无锡市南长区教研室赵国防）

◎夏老师在教学对0.1的理解时，把长方形图由小变大后追问“阴影部分是否还是0.1？”让学生的思维一下子“导”向了深刻，使他们感受到小数的表示与整数“1”的大小没有关系，是部分与它所在整体间的关系，与分数意义的教学进行了有效的沟通；在引导学生初步认识小数后，又为学生提供了开放的问题情境：“你能在纸上（点子图或方格图）画一个图形，把它看成整数‘1’，然后在下面选择一个数，把这个数表示出来。2 0.2 0.02 0.20”。学生自主学习，通过各不相同的学习成果展示了自己对小数意义的理解，可谓丰富多彩。让不同的学生在学习中得到了不同的提高和发展。（河南省许昌市教研室张红娜）◎夏青峰老师回归课堂的本源，以数形结合这一独特的视角，寻根探源地从小数的产生、发展史去讲，让学生从根本上理解小数的意义，真正将知识与思考带人课堂，还学生以数学的真正乐趣。在这里的数形结合可谓用心良苦，通过一系列简单的图形转变过程，使学生经历了类似于数学演绎的过程，在故事中学生感受到小数形成的强烈需求。在这里，小数的演变不同于一般的讲故事，形对应数，数对应形；形变则数变，数变则形转；两者辗转变化，

逐步提升着数学的本味。数形在联系变化中渐渐丰满、厚重，学生对小数的意义的认知逐步明朗。整个过程不牵强，不别扭，学生的认知从简单到复杂，从单一到积累，经历了一个螺旋上升的认识模型的建构过程。（浙江省桐乡市中山路小学胡燕峰）

◎夏青峰老师的这节《小数的意义》，我看到的不是数学老师上小数意义，而是一幕小数产生的演变史，从他一开始不经意的谈话：“同学们，你们认识数吗？我写一个你们迅速、大声地读出来？”十进制计数法就悄然拉开它左边的帷幕（整数部分），当时我就预感到这是一节与以往小数意义教学方式截然不同的课，果然在教师一次又一次巧妙地点拨下，学生借助他们以往的学习经验与知识，将他们头脑中的整数、小数一些不完整的、支离破碎的知识以十进制的主线穿连起来，并且在此期间对于小数的认识，分为三个层次进行。以0.1为例，第一层次认识基本的0.1，即把一个正方形平均分成10份，其中的一份就是0.1，在此将0.1与1/10进行对接；第二层以长方形按上面5格下面5格平均分成10份，取其中的一份，再次让学生认识0.1，这时学生有些迟疑，因为平时使用正方形图式的单一性，使得他们对于这中平均分方式下的长方形，其中的一份是否是1/10产生了质疑，当质疑被化解后，于是学生对0.1的认识又从原来狭隘的范畴中向外走出了一步；第三层是以缩放原图的方式，使学生感受到整体与局部有一种正比例的相依关系，但是它们反映的都是0.1这个数。我们一般都认为小数是十进制分数，但是对于小数与分数的沟通，我们可能会以长度单元间的换算来进行，但是在夏老师第三层次的设计中，我们明显感受到0.1这个小数，不仅可以表示一个具体的数，它还能反应整体与局部之间的变化关系，这与以前的教学都有所不同，使学生在变与不变中寻找联系。除此之外在对小数产生的介绍中，夏老师的一段夹叙夹议的讲解，不仅使学生经历了古人结绳计数的过程，而且还使学生对小数点的演变有了清晰的认识。我想如果夏老师自身缺少一种数学素养的积淀，他是无法从数学史的角度去组织一节数学课的，而他这种数学素养的积淀必然是他潜心阅读、积极思考的反映。（浙江省杭州市下沙第一小学钱怡）

【辨课观点】

观点1：小数是我国最早提出和使用的。这节课，夏老师在教学中有机渗透了我国古代数起源——结绳计数、符号计数等数学文化的内容，既让学生了解了相关的数学史知识，激发了学生的民族自豪感，又非常紧扣课题内容，这确实是该节课值得一提的亮点之一，但这个背景性知识的介绍，放在两个有坡度的小数的产生与用数位表表示小数的认知与判断之间，把原本较为严谨、完整的小数产生与建构过程人为地分开了，似乎成了突破重难点的干扰因素。如果将此放在课前以谈话的方式向学生作简要介绍，或作为新课导入的小资料介绍，或放在巩固练习前介绍会不会更自然些、干扰少些呢？

观点2：历史再现是很好的教学资源。曾几何时，与教学相关的数学文化资源的展示风起云涌、风靡一时，在介绍历史的时候，我们总习惯于描述“比其他国家早多少时间”、“我们的数学家是多么的伟大”，而没有描述不同的发展阶段，贡献点在哪里，哪些内容可以促进我们思考、帮助我们理解，从而转化为我们需要的有效教学资源。而在“小数的意义”这节课，夏老师就变不可能为可能，变不可想为可想，介绍古代小数到现代小数的演变过程。在形式变化的背后，更重要的是强调每一个数位上小数的意义，从结构上让学生更容易理解小数是十进制分数的另一种表示，让历史的演变转化为孩子的认识过程。这种“似曾相识燕归来”的过程，有利于学生形成概念，这种展示运用历史文化的方式独树一帜，可学可用，值得借鉴。