6-4第4节 万有引力理论的成就

题型探究————————————————————— 题型一 天体质量的计算 【例1】 为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量 M.已知地球半径R＝ 6.4×106 m，地球质量 m＝6×1024kg，日地中心的距离r＝1.5×1011m，地球 表面处的重力加速度g＝10 m/s2,1年约为3.2×107 s，试估算目前太阳的质量M( 保留一位有效数字，引力常量未知)．
解：设被测物体的质量为 m，星球的质量为 M，半径为 R.在两极 Mm 处，物体的重力等于万有引力，即 P＝ G 2 .在赤道上，因星球自转， R 物体做匀速圆周运动，星球对物体的万有引力和弹簧秤对物体的拉力 Mm 2π 2 的合力提供向心力，即 G 2 － 0.9P＝ m( ) R. R T 4π2PR3 由以上两式解得星球的质量 M＝ . G P－ 0.9P T2 根据密度的定义式，可得星球的平均密度为 4π2PR3 2 M G P－ 0.9P T 30π ρ＝ ＝ ＝ 2. 4 3 V GT πR 3 30π 答案： 2 GT
解析：万有引力充当向心力， G
Mm 2π 2 ＝ m ( ) r，由此求出星球的质 R2 T
4π2r3 M 量 M＝ (r为飞船的轨道半径 )．星球密度 ρ＝ (R为星球的半 4 3 GT2 πR 3 径 )．因为飞船在该星球表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，飞船的轨道 4π2R3 GT2 3πr3 3π 半径 r等于星球的半径 R.ρ＝ ＝ 2 3＝ 2. 4 3 GT R GT πR 3
特别提示： (1)上面各式中 R指被环绕天体本身的半径，而不是轨 道半径． (2)当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径 r等于天体的半 径 R，则天体密度为 ρ＝ 3π . GT2
三、解决天体运动问题的两条思路 1．万有引力提供向心力． v2 Mm 4π2 2 G 2 ＝ ma向＝ m ＝ mrω ＝ mωv＝ mr 2 . r r T 2．重力近似等于万有引力． Mm mg＝ G 2 (m在 M的表面附近 )． R
2．现有一绕太阳做圆周运动的行星，质量为地球质量的2倍，轨 道半径是地球轨道半径的2倍，那么下列说法中正确的是( 大小相等 B．由 v＝ ωr，可知行星的线速度是地球线速度的2倍 v2 Mm C．由 G 2 ＝ m ，可知行星的线速度是地球的线速度的 2/2倍 r r Mm 1 D．由 G 2 ＝ ma，可知行星的向心加速度是地球向心加速度的 4 r
第4节 万有引力理论的成就
课标定位 ①了解万有引力定律在天文学上的重要应用．②会用万有引力定律计算天体质 量，了解“称量地球质量”、“计算太阳质量”的基本思路．③认识万有引力 定律的科学成就，体会科学思想方法．
填一填 · 知识清单 ———————————————— 一、计算天体的质量 1． 地球质量的计算 利用地球表面的物体：若不考虑地球自转，质量为 m的物体的重力 等于地球对物体的 1 ________，即mg＝ 2 ______，则 M＝ 3 ______，只 要知道 g、 R的值，就可计算出地球的质量． 2．太阳质量的计算 利用某一行星：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动，行星与太 Mm 4π2mr 阳间的 4 ______提供向心力，即 G 2 ＝ 2 ，由此可得太阳质量 M＝ r T 5 ________，由此式可知只要测出行星绕太阳运动的 6 ______和 7 ______就可以计算出太阳的质量．
答案：1.2×10
等于万有引力来求． 4 g＝ GM M 3g 而 ρ ＝ 即 ρ ＝ ＝ 5.46×103 kg/m3. 2 4 3 R 4πGR πR 3
ρ核 ＝ 2.125ρ＝ 1.2× 104 kg/m3.
核心解读 ————————————————————— 一、计算天体的质量 1．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为 T，半径为 r，则由 Mm 4π2 G 2 ＝ mr 2 ，得 r T 4π2r3 M＝ . GT2 2．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径 r和运行的线速度 v，则 v2 Mm 由 G 2 ＝ m ，得 r r rv2 M＝ . G
Mm 4π2 G ＝ m 2 (R＋ h) T2 R＋ h 2 4π2 R＋ h 3 M＝ GT22
2 3 3 M 4π R＋ h 3π R＋ h ρ＝ ＝ ＝ 2 3 . 4 V GT 2 R 2 3 GT2 ·πR 3 3 3π 3π R＋h 答案： GT12 GT22R3
答案：2×1030kg 反思：计算天体质量的方法主要有两种：一种是利用天体的一个卫星(或行星) 绕它做匀速圆周运动的有关规律求解；另一种是利用天体表面的重力加速度求 解．
【变式1】 利用下列数据可以计算出地球质量的是( ) A．已知地球的半径R地和地球表面的重力加速度g B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动时的轨道半径r和周期T C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动时的轨道半径r和线速度v D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
二、计算天体的密度 1．密度公式： ρ＝ 此式计算天体的密度． 2．计算天体密度的两种常用方法： (1)由天体表面的重力加速度 g和半径 R求此天体的密度． Mm 4 3 3g 由 mg＝ G 2 和 M＝ ρ·πR ，得 ρ＝ . 3 R 4πGR (2)若天体的某个卫星的轨道半径为 r，周期为 T，则由G 4π2 4 3 3πr3 mr 2 和 M＝ ρ πR ，得 ρ＝ 2 3. 3 T GT R Mm r2 ＝ M 4 3 πR 3 ，只要先得出天体的质量和半径就可代入
答案： 1 万有引力 期T 王星 7 半径r 4π2r3 8 GT2
mM 2G 2 R
gR2 3 G
4 万有引力 10 轨道
4π2r3 5 GT2
6周 12 冥
9 万有引力定律
11 海王星
做一做·预习自测———————————————— 1．下面说法中正确的是( ) A．海王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 C．天王星的运动轨道偏离根据万有引力计算出来的轨道，其原因是由于天王 星受到轨道外面其他行星的引力作用 D．冥王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 答案：ACD
4π2r3 M 反思：利用公式 M＝ 计算天体的质量，再利用 ρ＝ 计算天 3 3 GT2 πR 4 体的密度，注意 r指天体运动的轨道半径，而 R指中心天体的半径，只 有贴近中心天体运行时才有 r＝ R.
【变式2】 某星球可视为球体，其自转周期为T.在它的两极处用弹簧秤测得某 物体重为P，在它的赤道上用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，星球的平均密度 是多少？
答案：CD
)
A．由 F＝ mv2/r，可知行星所需要的向心力与地球所需要的向心力
3．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面上的重力加速度 是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的 ( A. 1 4 B． 4倍 C． 16倍 D． 64倍 )
GMm gR2 解析：由 2 ＝ mg，得 M＝ . R G gR2 M G 3g 3g R 3g 4πGρ地 g ρ＝ ＝ ＝ ， R＝ ， ＝ · ＝ ＝ 4. V 4 3 4πGR 4πGρ R地 4πGρ 3g地 g地 πR 3 结合题意，该星球半径是地球半径的 4倍． M gR2 G 所以 ＝ · ＝ 64. M地 G g地 R地 2
r2
2π 2 ＝ m( ) r. T
4π2r3 得 M＝ 2 ，因太阳的半径未知，故无法求得密度． TG
2．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为 T和R，月球绕地 球公转周期和公转轨道半径分别为 t和r，则太阳质量与地球质量之比为 ( ) R3t2 A. 3 2 rT R3t2 C. 2 3 rT R3T2 B. 3 2 rt R2T3 D. 2 3 rt
3．其他行星的质量计算 利用绕行星运转的卫星：若测出该卫星与行星间的距离 r和转动周 Mm 2π 期T，同样据 G 2 ＝m( )2r可得出行星的质量 M＝ 8 ______. r T 二、发现未知天体
1． 已发现天体的轨道推算 18世纪，人们观测到太阳系第七个行星 ——天王星的轨道和用 ____________ 计算出来的轨道有一些偏差． 2.未知天体的发现 根据已发现的天体的运行轨道，结合万有引力定律推算出未知天 体的 10 ____，如 11 ______、 12 ______就是这样发现的． 9
解析：方法一：设 T为地球绕太阳运动的周期，则由万有引力定律 和动力学知识，得 Mm 2π 2 G 2 ＝ m( ) r. r T mm′ 对地球表面物体 m′，有 m′g＝ G 2 . R 4π2mr3 以上两式联立，得 M＝ 2 2 ，代入数据得 gR T M＝ 2.0×1030kg. 4π2r3 GM 方法二：从 M＝ 和地球表面重力加速度 g＝ 2 ，消除引力常 GT2 R 4π2r3m 量 G，有 M＝ 2 2 ，代入数据得 gT R M＝ 2×1030 kg.
解析：无论地球绕太阳公转，还是月球绕地球运转，统一的公式 为 M日 R3t2 Mm 4π2 r3 G 2 ＝mr 2 ，即M∝ 2 ，所以 ＝ 3 2， A项正确． r T T M地 r T
答ห้องสมุดไป่ตู้：A
3．一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球 体，要确定该行星的密度，只需要测量( ) A．飞船的轨道半径 B．飞船的运行速度 C．飞船的运行周期 D．行星的质量
3．已知卫星的线速度 v和运行周期 T，则由 v2 Mm 2π G 2 ＝ mvω＝ mv ＝ m ，得 r T r v3T M＝ . 2πG 4．已知地球的半径 R和地球表面的重力加速度 g，则由 mg＝ Mm R2g G 2 ，得 M＝ . R G
特别提示：前三种方法仅适用于计算被环绕的中心天体的质量，无法计算围绕 中心天体做圆周运动的天体的质量，常见的天体质量的计算有如下两种： (1)已知行星的运动情况，计算太阳质量． (2)已知卫星的运动情况，计算行星质量．
随堂反馈————————————————————— 1．若已知行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力常量为G，则 由此可求出( ) A．某行星的质量 B．太阳的质量 C．某行星的密度 D．太阳的密度
解析：设行星的质量为 m，太阳质量为 M，由万有引力定律和牛顿 第二定律，有
答案： B GMm
答案：D
4．地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%.经 估算，地核的平均密度为____________kg/m3.(已知地球半径为6.4×106m，地 球表面重力加速度为9.8 m/s2，万有引力常量为6.7×10－11N·m2/kg2，结果取两 位有效数字)
解析：要计算地核密度，就要计算地球密度，由条件知 0.34 ρ核 ＝ ρ＝ 2.125ρ. 0.16 而要求地球密度只有 R和 g为已知量，可以根据地球表面重力近似
题型二 天体密度的计算 【例2】 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的 表面做匀速圆周运动的周期为 T1，已知万有引力常量为G，则该天体的密度是 多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2， 则该天体的密度又是多少？
解析：设卫星的质量为 m，天体的质量为 M.卫星贴近表面运动时 Mm 4π2 4π2R3 有 G 2 ＝ m 2 R， M＝ . R T1 GT12 4 3 根据数学知识可知星球的体积 V＝ πR . 3 M 4π2R3 3π 故该星球密度 ρ＝ ＝ ＝ 2. 4 V GT 1 GT12·πR3 3 卫星距天体表面距离为 h时有
gR地 2 解：已知 R地 和 g，由 M＝ 可求出地球质量，故选项 A正确；卫 G v2 Mm 4π2 星做圆周运动的向心力由万有引力提供，有 G 2 ＝m ＝ mr 2 ＝ 答案： ABCD r r T v2r 4π2r3 v3T 2π mv ，可得 M＝ ＝ ＝ ，故选项 B、 C、 D三种情况下均可求 T G GT2 2πG 出地球的质量．