高考数学一轮复习讲义10 函数图像(老师版)

第八讲函数图像

1．函数的图象

将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．

2．描点法作图

方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．

3．图象变换

(1)平移变换

(2)对称变换

①y＝f(x)―――――→

关于x轴对称

y＝－f(x)；

②y＝f(x)―――――→

关于y轴对称

y＝f(－x)；

③y＝f(x)―――――→

关于原点对称

y＝－f(－x)；

④y＝a x (a>0且a≠1)―――――→

关于y＝x对称

y＝log a x(a>0且a≠1)．

(3)伸缩变换

①把函数()

y f x

=图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的

w

1

倍得()

y f x

ω

=(0<ω<1)

②把函数()

y f x

=图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的

w

1

倍得()

y f x

ω

=(ω>1)

③把函数()

y f x

=图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w倍得()

y f x

ω

=(ω>1)

④把函数()

y f x

=图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w倍得()

y f x

ω

=(0<ω<1)

(4)翻折变换

①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象

将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象

y ＝f (|x |)．

考向一 作图像

【例1】作出函数f (x )＝x 2

＋2x －3的图象，通过图象的变换分别画出函数y ＝－f (x )，y ＝f (－x )，y ＝－

f (－x )，y ＝f (|x |)，y ＝|f (x )|，y ＝f (x ＋1)，y ＝f (x )＋1的图象，并说明各图象和函数f (x )图象的关系．

【答案】见解析

【解析】f (x )＝x 2

＋2x －3＝(x ＋1)2

－4，y ＝f (x )的图象是开口向上的抛物线，其顶点为(－1，－4)，与x 轴的两个交点是(－3,0)，(1,0)，和y 轴交点是(0，－3)，图象如图(1)，y ＝－f (x )的图象如图(2)．两图象关于x 轴对称．

各图象和y ＝f (x )的图象关系如下：

(1)函数y ＝f (－x )的图象与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称； (2)函数y ＝－f (－x )的图象与y ＝f (x )的图象关于原点对称； (3)函数y ＝f (|x |)＝⎩⎪⎨

⎪

⎧

f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，

即在y 轴上及其右侧图象与函数y ＝f (x )图象相同，再将y 轴右侧

图象作y 轴的对称图象可得x <0时的图象；

(4)函数y ＝|f (x )|＝⎩⎪⎨

⎪⎧

f (x )，f (x )≥0，－f (x )，f (x )<0，

即在x 轴上及其上方的图象与函数y ＝f (x )图象相同，再将x 轴

下方的图象作x 轴的对称图象可得f (x )<0时的图象；

(5)函数y ＝f (x ＋1)的图象是将y ＝f (x )的图象向左平移一个单位得到的； (6)函数y ＝f (x )＋1的图象是将y ＝f (x )的图象向上平移一个单位得到的．

【举一反三】分别画出下列函数的图象：

(1)y ＝|lg(x －1)| （2）y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12|x |

（3）y ＝2x ＋1－1 （4）(4)y ＝

2x －1

x －1

. 【答案】见解析 【解析】

(1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)．

(2)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x

的图象中x >0部分关于y 轴的【套路总结】

一．画函数图像的一般方法有：

（1）直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是基本函数或函数图像是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．

（2）图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减；但要注意加、减指的是自变量，否则不成立．

（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法，为了通过描少量点，就能得到比较准确的图像，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论． 二．变换作图的技巧：

（1）图象变换时可抓住对称轴，零点，渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同方向的移动。先把握住这些关键要素的位置，有助于提高图象的精确性 学/科*-+网

（2）图象变换后要将一些关键点标出：如边界点，新的零点与极值点，与轴的交点等 y