模糊数学-Matlab案例版

1 基本编程思想 例题 设有矩阵

1234583645030895442308075362878

705628855045288570372986

6854

329156a a A a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦

请按以下要求编写M-文件求任意两个向量之间的距离：

① 最大最小法：1

1

min(,)

max(,)

m

ik

jk k ij

m ik

jk k x

x d x

x ===

∑∑；

② 算数平均最小法：1

1

min(,)

1

()2m

ik

jk k ij

m

ik jk k x

x d x x ===

+∑∑；

③几何平均最小法：11

min(,)

m

ik

jk k ij

m

k x

x d ===

∑∑

；

④ 将上面的①、②、③算法的程序合成一个M-函数文件，使得调用它时可以任选以上三种方法中的一种进行距离的计算。

模糊数学及其应用

1 模糊数学的历史简介

根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。这样的集合论本身无法处理具体的模糊概念。为处理这些模糊概念而进行的种种努力催生了模糊数学。

模糊数学的理论基础是模糊集。美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的“非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。基于此，1965年L. A. Zadeh教授在《Information and Control》杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”, 标志着模糊数学的诞生。

模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。

在模糊数学的应用中，经常应用于聚类分析、模式识别和综合评判等方面。

2 模糊数学的基础知识 1）集合及其特征函数

（ⅰ）集合

论域E 中具有性质P 的元素组成的总体称为集合。 （ⅱ）集合的运算

集合的常用运算包括：交（∩）、并（∪）、补 （ⅲ）特征函数

对于论域E 上的集合A 和元素x ，如有以下函数：

(){

10当当A x ,x A ,x A

μ=∈∉

则称()A x μ为集合A 的特征函数

● 特征函数表达了元素x 对集合A 的隶属程度。

● 可以用集合来表达各种概念的精确数学定义和各种事物的

性质。 2）模糊集合 （ⅰ）概念的模糊性

许多概念集合具有模糊性，例如： 成绩：好、差 身高：高、矮 年龄：年轻、年老 头发：秃、不秃 （ⅱ）隶属度函数

如果一个集合的特征函数()A x μ不是{0,1}二值取值，而是在闭区间[0，1]中取值，则()A x μ是表示一个对象x 隶属于集合A 的程度的函数，称为隶属度函数。

()()1010当当在一定程度上属于当A A ,x A x x ,x A x A ,

μμ⎧∈⎪

=<<⎨∉⎪⎩

● 隶属度函数用精确的数学方法描述了概念的模糊性。 （ⅲ）模糊子集

① 设集合A 是集合U 的一个子集，如对于任意U 中的元素x ，用隶属度函数()A x μ来表示x 对A 的隶属程度，则称A 是U 的一个模糊子集，记为{(),}A i i A x x μ=。模糊子集通常简称模糊集。

● 模糊集 A 由隶属函数()A x μ唯一确定，故认为二者是等同的。 ② 模糊集可以用下式表示 1° Zadeh 表示法

1212

()

()()n n A x A x A x A x x x =

+++

或 ()()()n n A A A x x x x x x A μμμ+++= 2211

其中()i i

A x x 表示i x 对模糊集A 的隶属度， (1,2,,)i x i n =称为模

糊子集A 的支持点，“+”叫做查德记号，不是求和。 如“将1, 2, 3, 4组成一个小数的集合”可表示为

10.80.2123A =+++

2°序偶表示法

可省

1122{(,()),(,()),

,(,())}n n A x A x x A x x A x =

3°向量表示法

12((),(),

,())n A A x A x A x =

4°若论域U 为无限集，其上的模糊集可表示为：

x U

A ∈=

⎰

③ 模糊集与隶属度举例

[例1] 设论域{123,,,E x x x =12340.50.3A x x x x =+++

，

1234

0.200.61B x x x x =+++

，

意思是1234,,,x x x x 对模糊集

A 的隶属度分别是0.5，

0.1，0.4，0.2；对模糊集B 的隶属度分别是0.2，0，0.6，1。

[例2] 设以人的岁数作为论域[]0,120U

=，单位是“岁”，那

么“年轻”，“年老”，都是U 上的模糊子集。隶属函数如下：

()A u μ=“年轻”(u )=()()1

21

025*********u u u -⎧<≤⎪⎪⎡⎤

⎨-⎛⎫+<<⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎣⎦⎩(*)

()B u μ=“年老”(u )=()()

1

20050501501205u u u --⎧<≤⎪⎪⎡⎤

⎨-⎛⎫+<<⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎢

⎥⎪⎣⎦⎩ (**) (*)表示：不大于25岁的人，对子集“年轻”的隶属函数值是1，