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应力分析与应变分析
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 §1.7 §1.8 §1.9
应力与点的应力状态 点的应力状态分析 应力张量的分解与几何表示 应力平衡微分方程 应变与位移关系方程 点的应变状态 应变增量 应变速度张量 主应变图与变形程度表示
§1.1 应力与点的应力状态
外力(load)与内力(internal force) 外力P：施加在变形体 上的外部载荷。 内力Q：变形体抗衡外 力机械作用的体现。
这组截面的方向余弦为：
lx ly lz
1 3
54o44'
正应力
8
1 3
( 1
2
3)
1 3
I1
剪应力
8
1 3
(1 2 )2 ( 2 3)2 ( 3 1)2
总应力
P8
2 8
2 8
八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有
关。
八面体应力的求解思路：
ij (i, j x, y, z) 1, 2, 3 8,8 I1, I2
应力（stress）
➢ 应力S 是内力的集度 ➢ 内力和应力均为矢量
lim S
P
A0 A
➢ 应力的单位：1Pa=1N/m2 =1.0197kgf/mm2
1MPa=106 N/m2
➢ 应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点 的应力不同。
➢ 应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即 同一点不同方位的截面上的应力是不同的。
当 i=j 时为正应力
i、j同号为正（拉应力），异号为负（压应力）
当 i≠j 时为剪应力
i、j同号为正，异号为负
➢应力的坐标变换（例题讲解）*
实际应用：晶体取向、织构分析等
➢应力莫尔圆**：
二维应力莫尔圆与三维应力莫尔圆 掌握如何画、如何分析（工程力学已学，看书）
§1.2 点的应力状态分析
§1.2.1 主应力及应力张量不变量 §1.2.2 主剪应力和最大剪应力 §1.2.3 八面体应力与等效应力
因为
8
2 3
(I12 3I2 )
等效应力
e
1 2
[(
1
2 )2
( 2
3 )2
( 3
1)2]
3/
2 8
e
1 2
[(
x
y
)2
(
y
z )2
(
z
x
)2
6(
2 xy
2 yz
2 zx
)]
讨论：1. 等效的实质？ 是（弹性）应变能等效（相当于）。 2. 什么与什么等效？ 复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效 3. 如何等效？ 等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。 4. 等效的意义？ 屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。
➢ 分解的依据：静水压力实验证实，静水压力不会引起变形体形 状的改变，只会引起体积改变，即对塑性条件无影响。
➢ 为引起形状改变的偏应力张量(deviatoric stress tensor) ，为引起体积改变的球张量(spherical stress tensor)（静 水压力）。
➢ 与应力张量类似，偏应力张量也存在相应的不变量：
➢ 应力可以进行分解 Sn n 、n （n—normal,法向）
某截面（外法线方向为n）上的应力：
全应力(stress) 正应力(normal sress) 剪应力(shear stress)
Sn n n n x y z n x y z
或者
Snn
ijlil j ijli
n
Sn2
2 n
度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关；I2与塑性 变形无关。 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。
➢ 主应力的求解（略，见彭大暑《金属塑性加工力学》教材） ➢ 主应力的图示
§1.2.2 主剪应力和最大剪应力
➢ 主剪应力(principal shear stress)：极值剪应力（不为零 ）平面上作用的剪应力。主应力空间的｛110｝面族。
x yx
xy y y zy
yz z z xz
zx x
x
y
y
z
z
x
2 xy
2 yz
2 zx
1 2 2 3 31
x xy xz I3 . y yz
. . z
1 2 3
➢ 讨论：
1. 可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的； 2. 三个主平面是相互正交的； 3. 三个主应力均为实根，不可能为虚根； 4. 应力特征方程的解是唯一的； 5. 对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性； 6. 应力第一不变量I1反映变形体体积变形的剧烈程
➢ 最大剪应力(maximun shear stress)：
通常规定：
1 2 3
则有最大剪应力：
max
1
3 2
或者： 其中：
且有：
max max{12 , 23 , 31 }
12
1
2 2
, 23
2
3 2
, 31
3
1 2
12 23 31 0
§1.2.3 八面体应力与等效应力
即主应力空间的｛111｝等倾面上的应力。
y
yz
. . z
(i,j=x,y,z)
（对称张量，9个分量，6个独立分量。）
应力分量图示
图1-2 平行于坐标面上应力示意图
➢ 应力的分量表示及正负符号的规定
ij xx 、 xz ……
（便于计算机应用）
i——应力作用面的外法线方向(与应力作用面的外
法线方向平行的坐标轴)
j——应力分量本身作用的方向
§1.3 应力张量的分解与几何表示
ijwk.baidu.com
' ij
ij m
(i,j=x,y,z)
其中
m
1 3
(
x
y
z
)
即平均应力，
为柯氏符号。
即
x
.
xy y
xz yz
.x'
xy
' y
xz yz
m
1 0
0 1
0 0
.
. z .
.
' z
0 0 1
' x
x
m,
' y
y
m
' z
z
m
讨论：
§1.2.1 主应力及应力张量不变量
设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力 均为零）的存在，可得应力特征方程：
3 I1 2 I2 I3 0
( 3 I1 2 I2 I3 0)
( 1)( 2)( 3) 0
应力不变量
式中
I1 x y z 1 2 3
I2
（求和约定的缩写形式）
一点的应力状态及应力张量
一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有
截面上的应力的有无、大小、方向等情况。
一点的应力状态的描述：
数值表达：x=50MPa，xz=35MPa 图示表达：在单元体的三个正交面上标出（如图 1-2）
张量表达： x xy xz
ij
.
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 §1.7 §1.8 §1.9
应力与点的应力状态 点的应力状态分析 应力张量的分解与几何表示 应力平衡微分方程 应变与位移关系方程 点的应变状态 应变增量 应变速度张量 主应变图与变形程度表示
§1.1 应力与点的应力状态
外力(load)与内力(internal force) 外力P：施加在变形体 上的外部载荷。 内力Q：变形体抗衡外 力机械作用的体现。
这组截面的方向余弦为：
lx ly lz
1 3
54o44'
正应力
8
1 3
( 1
2
3)
1 3
I1
剪应力
8
1 3
(1 2 )2 ( 2 3)2 ( 3 1)2
总应力
P8
2 8
2 8
八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有
关。
八面体应力的求解思路：
ij (i, j x, y, z) 1, 2, 3 8,8 I1, I2
应力（stress）
➢ 应力S 是内力的集度 ➢ 内力和应力均为矢量
lim S
P
A0 A
➢ 应力的单位：1Pa=1N/m2 =1.0197kgf/mm2
1MPa=106 N/m2
➢ 应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点 的应力不同。
➢ 应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即 同一点不同方位的截面上的应力是不同的。
当 i=j 时为正应力
i、j同号为正（拉应力），异号为负（压应力）
当 i≠j 时为剪应力
i、j同号为正，异号为负
➢应力的坐标变换（例题讲解）*
实际应用：晶体取向、织构分析等
➢应力莫尔圆**：
二维应力莫尔圆与三维应力莫尔圆 掌握如何画、如何分析（工程力学已学，看书）
§1.2 点的应力状态分析
§1.2.1 主应力及应力张量不变量 §1.2.2 主剪应力和最大剪应力 §1.2.3 八面体应力与等效应力
因为
8
2 3
(I12 3I2 )
等效应力
e
1 2
[(
1
2 )2
( 2
3 )2
( 3
1)2]
3/
2 8
e
1 2
[(
x
y
)2
(
y
z )2
(
z
x
)2
6(
2 xy
2 yz
2 zx
)]
讨论：1. 等效的实质？ 是（弹性）应变能等效（相当于）。 2. 什么与什么等效？ 复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效 3. 如何等效？ 等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。 4. 等效的意义？ 屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。
➢ 分解的依据：静水压力实验证实，静水压力不会引起变形体形 状的改变，只会引起体积改变，即对塑性条件无影响。
➢ 为引起形状改变的偏应力张量(deviatoric stress tensor) ，为引起体积改变的球张量(spherical stress tensor)（静 水压力）。
➢ 与应力张量类似，偏应力张量也存在相应的不变量：
➢ 应力可以进行分解 Sn n 、n （n—normal,法向）
某截面（外法线方向为n）上的应力：
全应力(stress) 正应力(normal sress) 剪应力(shear stress)
Sn n n n x y z n x y z
或者
Snn
ijlil j ijli
n
Sn2
2 n
度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关；I2与塑性 变形无关。 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。
➢ 主应力的求解（略，见彭大暑《金属塑性加工力学》教材） ➢ 主应力的图示
§1.2.2 主剪应力和最大剪应力
➢ 主剪应力(principal shear stress)：极值剪应力（不为零 ）平面上作用的剪应力。主应力空间的｛110｝面族。
x yx
xy y y zy
yz z z xz
zx x
x
y
y
z
z
x
2 xy
2 yz
2 zx
1 2 2 3 31
x xy xz I3 . y yz
. . z
1 2 3
➢ 讨论：
1. 可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的； 2. 三个主平面是相互正交的； 3. 三个主应力均为实根，不可能为虚根； 4. 应力特征方程的解是唯一的； 5. 对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性； 6. 应力第一不变量I1反映变形体体积变形的剧烈程
➢ 最大剪应力(maximun shear stress)：
通常规定：
1 2 3
则有最大剪应力：
max
1
3 2
或者： 其中：
且有：
max max{12 , 23 , 31 }
12
1
2 2
, 23
2
3 2
, 31
3
1 2
12 23 31 0
§1.2.3 八面体应力与等效应力
即主应力空间的｛111｝等倾面上的应力。
y
yz
. . z
(i,j=x,y,z)
（对称张量，9个分量，6个独立分量。）
应力分量图示
图1-2 平行于坐标面上应力示意图
➢ 应力的分量表示及正负符号的规定
ij xx 、 xz ……
（便于计算机应用）
i——应力作用面的外法线方向(与应力作用面的外
法线方向平行的坐标轴)
j——应力分量本身作用的方向
§1.3 应力张量的分解与几何表示
ijwk.baidu.com
' ij
ij m
(i,j=x,y,z)
其中
m
1 3
(
x
y
z
)
即平均应力，
为柯氏符号。
即
x
.
xy y
xz yz
.x'
xy
' y
xz yz
m
1 0
0 1
0 0
.
. z .
.
' z
0 0 1
' x
x
m,
' y
y
m
' z
z
m
讨论：
§1.2.1 主应力及应力张量不变量
设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力 均为零）的存在，可得应力特征方程：
3 I1 2 I2 I3 0
( 3 I1 2 I2 I3 0)
( 1)( 2)( 3) 0
应力不变量
式中
I1 x y z 1 2 3
I2
（求和约定的缩写形式）
一点的应力状态及应力张量
一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有
截面上的应力的有无、大小、方向等情况。
一点的应力状态的描述：
数值表达：x=50MPa，xz=35MPa 图示表达：在单元体的三个正交面上标出（如图 1-2）
张量表达： x xy xz
ij
.