基本积分公式

§5.3基本积分公式

重点与难点提示

基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式.

因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.

(1) （5.6 ）

(2) ( 5.7 )

(3) ( 5.8 )

(4) ( 5.9 )

(5) ( 5.10 )

(6) ( 5.11 )

(7) ( 5.12 )

(8) ( 5.13 )

(9) ( 5.14 )

(10) ( 5.15 )

(11) ( 5.16 )

对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.

公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.

公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与.

当时，，

积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.

特别当时，有.

当时，

公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为

，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清.

当时，有.

是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.

应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.

公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.

公式（10）是一个关于无理函数的积分

公式（11）是一个关于有理函数的积分

下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.

例1 求不定积分.

分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.

解：

（为任意常数）

例2 求不定积分.

分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.

解：由于，所以

（为任意常数）

例3 求不定积分.

分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.

解：

(为任意常数)例4 求不定积分.

分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.解：

（为任意常数）

例5 求不定积分.

分析：基本积分公式表中只有

但我们知道有三角恒等式：

解：

（为任意常数）同理我们有：

（为任意常数）

例6

（为任意常数）