正弦函数和余弦函数的图像与性质

6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质

一、复习引入 1、复习

（1）函数的概念

在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作()x f y =，D x ∈。 （2）三角函数线

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T . 规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值；

当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值； 当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则,OM x MP y ==,

由正弦、余弦、正切三角比的定义有：

sin 1

y y

y MP r α====； cos 1

x x

x OM r α====； tan y MP AT AT x OM OA

α=

===； 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课

【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定

的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由．

1、正弦函数、余弦函数的定义 （1）正弦函数：R x x y ∈=,sin ； （2）余弦函数：R x x y ∈=,cos

【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数图

象？

2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 （1）[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法

步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值； 步骤2：描点——平移定点，即描点()x x sin ,； 步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结：几何描点法作图精确，但过程比较繁。

【方案2】——五点法

步骤1：列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标； 步骤2：描点——定出五个关键点；

步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结五个点

小结：[]π2,0,sin ∈=x x y 的五个关键点是()0,0、⎪⎭⎫ ⎝⎛1,2π、()0,π、⎪⎭

⎫

⎝⎛0,23π、()0,2π。

（2）R x x y ∈=,sin 的图像

由()Z k x x k ∈=+,sin 2sin π，所以函数x y sin =在区间[]πππ22,2+k k ()0,≠∈k Z k 上的图像与在区间[]π2,0上的图像形状一样,只是位置不同.

于是我们只要将函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像向左、右平行移动(每次平行移动π2个单位长度)，就可以得到正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像。 3、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像 （1）[]π2,0,cos ∈=x x y 的图像 （2）R x x y ∈=,cos 的图像 图像平移法

由x x cos 2sin =⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+π，可知只须将R x x y ∈=,sin 的图像向左平移2π即可。

三、例题举隅

例、作出函数[]π2,0,sin 1∈+=x x y 的大致图像；

【设计意图】——考察利用“五点法”作正弦函数、余弦函数图像 【解】 ①列表

②描点

在直角坐标系中，描出五个关键点：

()1,0、⎪⎭

⎫ ⎝⎛2,2π、()1,π、⎪⎭⎫

⎝⎛0,23π、()1,2π

③连线

练习、作出函数[]π2,0,sin 2

1

∈-=x x y 的大致图像

二、性质

1．定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］， 分别记作：

y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R 2．值域

因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sin x ｜≤1， ｜cos x ｜≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1

也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］ 其中正弦函数y =sin x ，x ∈R

①当且仅当x ＝

2π

＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1②当且仅当x ＝－2

π

＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1

而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R

①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1

②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1 3．周期性

由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cosx(k ∈Z )知：

正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。 一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期。 4．奇偶性

由sin(－x)＝－sinx ，cos(－x)＝cosx

可知：y ＝sinx 为奇函数，y ＝cosx 为偶函数

∴正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称 5．单调性

结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2

π

＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1

增大到1；在每一个闭区间［2

π

＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1

减小到－1。

余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－

1