高等数学求极限的14种方法

高等数学求极限的14种方法

一、极限的定义

1.极限的保号性很重要：设

A x f x x =→)(lim 0

，

（1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。

2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在：

（1）数列{}

的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞

→=

-∞

→⇔

=∞

→lim

lim

lim

)()(

(3)

A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+

-

lim lim lim 0

)(

(4) 单调有界准则

（5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限

)(lim 0

x f x x →存在的充分必要条件。是：

ε

δεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当

二．解决极限的方法如下：

1.等价无穷小代换。只能在乘除．．

时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：

（1）“

00”“∞

∞

”时候直接用 (2)“∞•0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通

项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；)

()(1

)(1

)(1

)()(x g x f x f x g x g x f -=-

(3)“00”“∞1”“0

∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即

e

x f x g x g x f )

(ln )()()(=，这

样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞•0”型未定式。

3.泰勒公式(含有x

e 的时候，含有正余弦的加减的时候）

12)!

1(!!21+++++++=n x

n x

x n e n x x x e θΛ ； 3211253)!

32(cos )1()!12()1(!5!3sin ++++-++-+-+-=m m m m

x m x m x x x x x θΛ

cos=221242)!

22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θΛ ln （1+x ）=x-1

1132)

1)(1()1()1(32++-++-+-+-+n n n

n

n x n x n x x x θΛ (1+x)u

=1112

)1(!

2)1(1+--+++++-+

+n n u n u n n u x x C x C x u u ux θΛ 以上公式对题目简化有很好帮助 4.两多项式相除:设均不为零m n b a ,，

P （x ）=011

1a x a x

a x a n n n

n ++++--Λ,0111)(b x b x b x b x Q m m m m ++++=--Λ

(1)⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==∞→)

(,)(,0)(,)()(lim m n m n n m b a x Q x P x n n

（2）若0)(0≠x Q ，则)()

()()(00lim

0x Q x P x Q x P x x =→ 5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。

面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。

6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：

（1）设

0>>>c b a ，n n n n n

c b a x

++=，求n n x lim ∞

→

解：由于a a

a a a x a n

n n n n ==<<∞

→∞

→)3(,,3lim lim 以及

，由夹逼定理可知a x n n =∞

→lim

（2）求⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++++∞→222

)2(1)1(11lim n n n

n Λ

解：由n n

n n n n n

1

111)2(1)1(1102222

22

=+++<++++<ΛΛ，以及01

0lim lim ==∞

→∞→n n n 可知，原式=0 (3)求⎪⎪⎭⎫

⎝⎛++++++∞

→n n n n n 2

221

211

1lim Λ 解：由n

n n n

n n

n n

n n

n n n n

n

n

+=

++++

+<

+++++

+<

=++2

2

2

2

2

2

1111

211

11111Λ

ΛΛ,

以及

11

111lim

lim

lim 2

=+=+=∞

→∞

→∞

→n

n

n n n n n 得，原式=1

7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q 绝对值要小于1）。例如： 求

()

12

321lim -∞

→++++n n nx x

x Λ )1|(|

8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n Λ=1)1(11)1(113121211lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-∞→∞→n n n n n Λ 9.利用1+n x x x 与极限相同求极限。例如：

（1）已知n n a a a 12,211+==+，且已知n n a lim ∞

→存在，求该极限值。

解:设n n a lim ∞

→=A ，（显然A 0>）则A

A 12+=，即0122=--A A ，解得结果并舍去负值得A=1+2

（2）利用．．单调有界的性质．．．．．．．。．利用这．．．种方法时一定要先证明单调性和有界性。．．．．．．．．．．．．．．．．．．例如 设n n n n x x x x x lim ,2,,22,2121∞

→-+=+==求Λ

解：（i ）显然221<

n x 是单调递增数列，且有上界，收敛。设A n =∞

→lim ，（显然)0>A 则A A +=

2，即022=--A A 。解方

程并舍去负值得A=2.即2lim =∞

→n n x

10.两个重要极限的应用。