积分对称性解答

(iii) 若 Ω 关于平面 y=x 对称，
2
若 f ( y, x, z) = − f (x, y, z) ，则 ∫∫∫ f (x, y, z)dv = 0 ； Ω
若 f ( y, x, z) = f (x, y, z) ，则 ∫∫∫ f (x, y, z)dv = 2∫∫∫ f (x, y, z)dv ，
类似，若记 D1, D2 分别为直线 y = x (或 y = −x )上方、下方的区域，则当 f (x, y) = f ( y, x) （或 f (− y, −x) = f (x, y) ）时，
∫∫ f (x, y)dxdy = 2∫∫ f (x, y)dxdy = 2∫∫ f (x, y)dxdy
Ω
c1
Dz
特别，若 f (x, y, z) = g (z) ，即它与 x，y 无关，则
∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫ f (x, y, z)dv = Ω
c2 dz g ( z ) dxdy =
c1
Dz
( ) g c2 z
c1
Dz
dz
其中 Dz 表 Dz 的面积，一般与 z 有关
3
被积函数只含有一个字母时，用“先二后一”法相对简便，读者应注意掌握。 问题 5、对弧长的曲线积分是否有几何意义，为什么？ 答：对弧长的曲线积分有几何意义，几何意义如下： 设曲面 Σ ： z = z(x, y) ≥ 0 与一个以 xy 平面上的曲线 L ：⎧⎨⎩Fz =(x0, y) = 0 为准线， 母线平行于 z 轴的柱面 F (x, y) = 0 相交，则柱面夹在曲面 Σ 与 xy 平面之间部分的 面积 A ，可以按下列方式求得（图 2－12）：在曲线 L 上任取一点 M (x, y) ，并 由此任取一小段弧 MN ，其弧长记为 Δs ，在曲面 Σ 上点 M '(x, y, z(x, y)) 与点 M 对 应，相应地小柱面 MM ' NN ' 的面积为 ΔA = z(x, y)Δs ，按照分割－代替－求和－ 取极限的方法可得到此类柱面面积计算公式：
A = ∫ z(x, y)ds L
这就是以 z = z(x, y) 为被积函数，以 L 为积分路线的对弧长的曲线积分，上式表 明了对弧长的曲线积分的几何意义。
问题 6、是否可利用函数 f (x, y, z) 及曲面 Σ 的对称性计算曲面积分
∫∫ f (x, y, z)dS ，方法怎样？答：类似二、三重积分，也可利用函数 f (x, y, z) 及曲
D
D1
D2
问题 3、在二重积分中，可利用积分区域 D 和被积函数 f(x,y) 的对称性求二 重积分，在三重积分中是否也有类似方法？
答：在三重积分中，也可利用积分区域 Ω 和被积函数 f (x, y, z) 的对称性求 三重积分，比如
(i) 设 Ω 的形状关于 xy 平面对称，
若 f (x, y, −z) = − f (x, y, z) ，则 ∫∫∫ f (x, y, z)dv = 0 ； Ω
D
D1
1
问题 2、若区域 D ⊂ R2 关于直线 y = x （或 y = −x ）对称，且
f (x, y) = − f ( y, x) (或 f (− y, −x) = − f (x, y) )，是否有 ∫∫ f (x, y)dxdy = 0 ？ D
答：结论成立。因为点 (x, y) 的关于 y = x 的对称点为 ( y, x) ，而它关于 y = −x 的对称点为 (− y, −x) ，用与上一个问题完全类似的方法可证明结论正确。
Σ
Σ1
处于 yz 面前方的部分。
5
Σ
面 Σ 的对称性计算 ∫∫ f (x, y, z)dS ，设下述积分均存在。 Σ (1) 设 Σ 的形状关于 xy 面对称，在 Σ 上有 f (x, y, −z) = − f (x, y, z) ，则 4
∫∫ f (x, y, z)dS = 0
Σ
若 f (x, y, −z) = f (x, y, z) ，则 ∫∫ f (x, y, z)dS = 2∫∫ f (x, y, z)dS ，其中 Σ1 是 Σ 处
f (x, y)dxdy = lim λ →0 k =1
f (ξk , −ηk )Δσ k
n2
∑ ∫∫ ∫∫ = − lim λ →0 k =1
f (ξk ,ηk )Δσ k
=−
D1
f (x, y)dxdy ，故
D
f (x, y)dxdy = 0 .
同理，若 f (x, − y) = f (x, y) ，则 ∫∫ f (x, y)dxdy = 2∫∫ f (x, y)dxdy
D
D1
D2
以直线族 x = xi , y = yi (> 0),i = 1, 2, , n 将 D1 分割，并对 D2 作相应(对称)的分割，
即以 x = xi ,以及 y = − yi ,i = 1, 2,
, n 对 D2 分割.
取
D(1) k
为
D1 中的第 k 个子区域，
相应地，在
D2
中有子区域.
重积分、第一类积分答疑解惑
问题 1、为什么说设 f (x, y) 在区域 D ⊂ R2 上可积，若 D 的的形状关于 x 轴
对称，当 f (x, − y) = − f (x, y) 时， ∫∫ f (x, y)dxdy = 0 ；当 f (x, − y) = f (x, y) 时，
D
∫∫ f (x, y)dxdy = 2∫∫ f (x, y)dxdy ，其中 D1 为 D 中位于 x 轴上方的部分？
Ω
Ω1
其中 Ω1 是 Ω 中位于平面 y=x 前方的部分。
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ 问题 4、在三重积分公式
f (x, y, z)dxdydz =
d
dy
x2 ( y) dx z2 (x,y) f (x, y, z)dz
Ω
c
x1 ( y )
z1 ( x, y )
中，三重积分可化为三个定积分(三次积分)计算，其实质是化为先求一个定积分， 再求一个二重积分，称为“先一后二”法,那么，三重积分是否可化为先求一个 二重积分，再求一个定积分呢？
Σ
Σ1
于 xz 面右边的部分。
(3) 设 Σ 的形状关于 yz 面对称，若在 Σ 上，有 f (−x, y, z) = − f (x, y, z) ，则
∫∫ f (x, y, z)dS = 0
Σ
若 f (−x, y, z) = f (x, y, z) ，则 ∫∫ f (x, y, z)dS = 2∫∫ f (x, y, z)dS ，其中 Σ1 是 Σ
答：三重积分也可化为先求一个二重积分，再求一个定积分来计算，称为“先 二后一”法，比如设 Ω 满足 C1 ≤ z ≤ C2 ，并且以平行于 xy 面的平面 z=常数(z) 截
∫∫∫ ∫ ∫∫ Ω 所得平面区域为 Dz ，如图 2—8，则
f (x, y, z)dv = c2 dz f (x, y, z)dxdy
若 f (x, y, −z) = f (x, y, z) ，则 ∫∫∫ f (x, y, z)dv = 2∫∫∫ f (x, y, z)dv ，
Ω
Ω1
其中 Ω1 为 Ω 中位于 xy 平面上方的部分。
(ii) 类似可的 Ω 关于 xz 面对称，而 f (x, y, z) 是 y 的奇、偶函数的结论；以 及 Ω 关于 yz 面对称，而 f (x, y, z) 是 x 的奇、偶函数的结论。
D
D1
答：设 f (x, y) 在 D = D1 ∪ D2 上可积，其中 D1, D2 是 D 中位于 x 轴上、下方的 部分，由积分的可加性知， f (x, y) 在 D1, D2 上均可积，且
∫∫ fdxdy = ∫∫ fdxdy + ∫∫ fdxdy .若 f (x, − y) = − f (x, y) ，
D(2) kLeabharlann Baidu
,
D(1) k
与
D(2) k
关于
x
轴对称.
∀(ξk ,ηk
)∈
D(1) k
(ηk
≥
0)
，则 ∃(ξk , −ηk
)∈
Dk(2) ，记 λ
=
max{Dk(1)
的直径}，则
n2
∫∫ ∑ D1
f (x, y)dxdy = lim λ →0 k =1
f (ξk ,ηk )Δσ k
，
n2
∫∫ ∑ D2
Σ
Σ1
于 xy 面上方的部分。
(2) 设 Σ 的形状关于 xz 面对称，若在 Σ 上，有 f (x, − y, z) = − f (x, y, z) ，则
∫∫ f (x, y, z)dS = 0
Σ
若 f (x, − y, z) = f (x, y, z) ，则 ∫∫ f (x, y, z)dS = 2∫∫ f (x, y, z)dS ，其中 Σ1 是 Σ 处