插值多项式中的误差
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x0=linspace(-5,5,n+1); y0=1./(1+x0.^2); x=-5:0.1:5; y1=lagrangen(x0,y0,x); plot(x,y1), pause end y2=1./(1+x0.^2);y=interp1(x0,y2,x); plot (x,y,'k'),hold off gtext('n=2'),gtext('n=4'),gtext('n=6') gtext('n=8'),gtext('n=10') gtext('f(x)=1/(1+x^2)')
1
假设在区间[a,b]上f (x)的插值多项式为 Pn (x)
令
Rn (x) f (x) Pn (x)
显然在插值节点为 xi (i 0,1, , n)上
Rn (xi ) f (xi ) Pn (xi ) 0 ,i 0,1, , n 因此Rn (x)在[a,b]上至少有 n 1个零点
设
,
x
[5,5]
将[5,5]n等份取n
1个节点xi
5
ih, h
10 n
,i
0,1,
,n
试就n 2,4,6,8,10作f (x)的n次Lagrange插值多项式
并作图比较.
解:
yi
f (xi )
1 1 xi2
作n次Lagrange插值多项式
Ln(x)
n 1
j
0
1
x
2 j
Baidu Nhomakorabea
n
i0 i j
(x xi )
Rn (x) K (x)n1(x)
其中 n1(x) (x x0 )( x x1) (x xn ) K (x)为待定函数
Rn (x) f (x) Pn (x) K (x)n1(x)
2
f (x) Pn (x) K (x)n1(x) 0 若引入辅助函数 (t) f (t) Pn (t) K (x)n1(t)
(xj
xi
)
n 2,4,6,8,10
9
%lagrangen.m
function y=lagrangen(x0,y0,x)
n=length(x0);m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);s=0;
for k=1:n L=1; for j=1:n
Lagrange插值多项式 求插值的Matlab程序.
由于
(n1) ( ) 0
(t) f (t) Pn (t) K (x)n1(t)
(n1) (t)
f
( n 1)
(t)
P ( n 1) n
(t)
K
(
x)
( n 1) n1
(t)
因此
(n1) ( )
f
( n 1)
(
)
P ( n 1) n
(
)
K
(
x)
( n 1) n1
(
)
f (n1) ( ) K (x) (n 1)! 0
n
1)( )
1)!
n
1
(
x)
(n
1 1)!
M n1Nn1
6
例1: 在上节例1.中,若f (x) x ,三个节点为144,169,225
试估计用Lagrange线性和二次插值做f (175)近似值的 截断误差.
解: 设R1(x)为Lagrange线性插值的余项
R2 ( x)为二次 Lagrange插值的余项
4
所以
K (x) f (n1) ( )
(n 1)!
Rn (x) K (x)n1(x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n 1
(
x)
称Rn (x)为插值多项式 Pn (x)的余项(截断误差 )
定理1. 设f (x)在区间[a,b]上n 1阶可微, Pn(x)为f (x)在[a,b]上的
n次插值多项式,插值节点为{xi }in0 [a,b],则x [a,b],有
if j~=k
L=L*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=s+L*y0(k);
end
y(i)=s;
end
y;
10
比较不同的插值多项式次数对插值的影响
%Chazhibijiao.m x=-5:0.1:5;z=0*x;y=1./(1+x.^2); plot(x,z,'k',x,y,'r') axis([-5 5 -1.5 2]);pause,hold on for n=2:2:10
f (x) 1 2x
f
(
x)
1
x
3 2
4
f
( x)
3
5
x2
8
M2
max |
169 x 225
f
(x)|
|
f
(169)|
1.14
104
M3
max |
144 x225
f
( x)||
f
(144)|
1.51 106
7
N2 |2(x)| |(175 169)(175 225)| 300 N3 |3(x)| |(175 144)(175 169)(175 225)| 9300
则有 (x) f (x) Pn(x) K(x)n1(x) 0
且 (xi ) f (xi ) Pn(xi ) K(x)n1(xi )
Rn (xi ) K (x)n1(xi ) 0 i 0,1, , n 因此,若令x xi ,(t)在区间[a,b]上至少有n 2个 互异的零点x, x0, x1, , xn ,即
(x) 0 , (xi ) 0 , i 0,1,2, , n 由于Pn (x)和n1(x)为多项式,因此若f (x)可微,则(t)也可微
3
根据Rolle定理, (t)在区间(a,b)上有至少n 1个零点
再由Rolle定理, (t)在区间(a,b)上有至少n个零点
依此类推
在区间(a,b)内至少有一个点 ,使得(t)的n 1阶导数为零
Rn ( x)
f (n (n
1) ( )
1)!
n
1
(
x)
Lagrange型余项
n
其中 n1(x) (x xi ) , (a,b) , 且依赖于 x. i0
5
设
Mn1
max|
a xb
f
(n1)( x)|
n
Nn1 |n1( x)|| ( x xi )| i0
则
|Rn ( x)|
f (
(n
|R1 ( x)|
1 2!
M2N2
1 1.14 104 300 1.71 102 2
|R2 ( x)|
1 3!
M3N3
1 1.51 106 9300 6
2.35 103
从以上分析可知,在求 175时 用Lagrange二次插值比线性插值的误差更小
8
例2.
设函数
f
(x)
1
1 x2
§ 5.2 插值多项式中的误差
一、插值余项
从上节可知, y f (x)的Lagrange插值
n
Ln(x) y jl j (x) j0
满足 Ln (xi ) f (xi ) i 0,1, , n
但 x [a,b]
Ln (x) f (x) 不会完全成立
因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢？
1
假设在区间[a,b]上f (x)的插值多项式为 Pn (x)
令
Rn (x) f (x) Pn (x)
显然在插值节点为 xi (i 0,1, , n)上
Rn (xi ) f (xi ) Pn (xi ) 0 ,i 0,1, , n 因此Rn (x)在[a,b]上至少有 n 1个零点
设
,
x
[5,5]
将[5,5]n等份取n
1个节点xi
5
ih, h
10 n
,i
0,1,
,n
试就n 2,4,6,8,10作f (x)的n次Lagrange插值多项式
并作图比较.
解:
yi
f (xi )
1 1 xi2
作n次Lagrange插值多项式
Ln(x)
n 1
j
0
1
x
2 j
Baidu Nhomakorabea
n
i0 i j
(x xi )
Rn (x) K (x)n1(x)
其中 n1(x) (x x0 )( x x1) (x xn ) K (x)为待定函数
Rn (x) f (x) Pn (x) K (x)n1(x)
2
f (x) Pn (x) K (x)n1(x) 0 若引入辅助函数 (t) f (t) Pn (t) K (x)n1(t)
(xj
xi
)
n 2,4,6,8,10
9
%lagrangen.m
function y=lagrangen(x0,y0,x)
n=length(x0);m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);s=0;
for k=1:n L=1; for j=1:n
Lagrange插值多项式 求插值的Matlab程序.
由于
(n1) ( ) 0
(t) f (t) Pn (t) K (x)n1(t)
(n1) (t)
f
( n 1)
(t)
P ( n 1) n
(t)
K
(
x)
( n 1) n1
(t)
因此
(n1) ( )
f
( n 1)
(
)
P ( n 1) n
(
)
K
(
x)
( n 1) n1
(
)
f (n1) ( ) K (x) (n 1)! 0
n
1)( )
1)!
n
1
(
x)
(n
1 1)!
M n1Nn1
6
例1: 在上节例1.中,若f (x) x ,三个节点为144,169,225
试估计用Lagrange线性和二次插值做f (175)近似值的 截断误差.
解: 设R1(x)为Lagrange线性插值的余项
R2 ( x)为二次 Lagrange插值的余项
4
所以
K (x) f (n1) ( )
(n 1)!
Rn (x) K (x)n1(x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n 1
(
x)
称Rn (x)为插值多项式 Pn (x)的余项(截断误差 )
定理1. 设f (x)在区间[a,b]上n 1阶可微, Pn(x)为f (x)在[a,b]上的
n次插值多项式,插值节点为{xi }in0 [a,b],则x [a,b],有
if j~=k
L=L*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=s+L*y0(k);
end
y(i)=s;
end
y;
10
比较不同的插值多项式次数对插值的影响
%Chazhibijiao.m x=-5:0.1:5;z=0*x;y=1./(1+x.^2); plot(x,z,'k',x,y,'r') axis([-5 5 -1.5 2]);pause,hold on for n=2:2:10
f (x) 1 2x
f
(
x)
1
x
3 2
4
f
( x)
3
5
x2
8
M2
max |
169 x 225
f
(x)|
|
f
(169)|
1.14
104
M3
max |
144 x225
f
( x)||
f
(144)|
1.51 106
7
N2 |2(x)| |(175 169)(175 225)| 300 N3 |3(x)| |(175 144)(175 169)(175 225)| 9300
则有 (x) f (x) Pn(x) K(x)n1(x) 0
且 (xi ) f (xi ) Pn(xi ) K(x)n1(xi )
Rn (xi ) K (x)n1(xi ) 0 i 0,1, , n 因此,若令x xi ,(t)在区间[a,b]上至少有n 2个 互异的零点x, x0, x1, , xn ,即
(x) 0 , (xi ) 0 , i 0,1,2, , n 由于Pn (x)和n1(x)为多项式,因此若f (x)可微,则(t)也可微
3
根据Rolle定理, (t)在区间(a,b)上有至少n 1个零点
再由Rolle定理, (t)在区间(a,b)上有至少n个零点
依此类推
在区间(a,b)内至少有一个点 ,使得(t)的n 1阶导数为零
Rn ( x)
f (n (n
1) ( )
1)!
n
1
(
x)
Lagrange型余项
n
其中 n1(x) (x xi ) , (a,b) , 且依赖于 x. i0
5
设
Mn1
max|
a xb
f
(n1)( x)|
n
Nn1 |n1( x)|| ( x xi )| i0
则
|Rn ( x)|
f (
(n
|R1 ( x)|
1 2!
M2N2
1 1.14 104 300 1.71 102 2
|R2 ( x)|
1 3!
M3N3
1 1.51 106 9300 6
2.35 103
从以上分析可知,在求 175时 用Lagrange二次插值比线性插值的误差更小
8
例2.
设函数
f
(x)
1
1 x2
§ 5.2 插值多项式中的误差
一、插值余项
从上节可知, y f (x)的Lagrange插值
n
Ln(x) y jl j (x) j0
满足 Ln (xi ) f (xi ) i 0,1, , n
但 x [a,b]
Ln (x) f (x) 不会完全成立
因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢？