(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计

一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。

2、平均数：①、常规平均数：12n

x x x x n

++⋅⋅⋅+=

②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+

3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。

4、方差：2222121

[()()()]n s x x x x x x n

=

-+-+⋅⋅⋅+- 二、频率直方分布图下的频率

1、频率 =小长方形面积：f S y d ==⨯距；频率=频数/总数

2、频率之和：121n f f f ++⋅⋅⋅+=；同时 121n S S S ++⋅⋅⋅+=；

三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。

2、平均数： 112233n n

x x f x f x f x f =+++⋅⋅⋅+ 112233n n x x S x S x S x S =+++⋅⋅⋅+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+⋅⋅⋅+-

四、线性回归直线方程：ˆˆˆy

bx a =+ 其中：1

1

2

22

1

1

()()

ˆ()

n

n

i i i i i i n

n

i i i i x x y y x y nxy

b

x x x nx ====---∑∑==

--∑∑ , ˆˆa

y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ；

2、ˆ0:b

>正相关；ˆ0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆb 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析

1、残差：ˆˆi i i e

y y =-（残差=真实值—预报值）。分析：ˆi e 越小越好； 2、残差平方和：21ˆ()n

i i i y y

=-∑， 分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221

ˆˆˆˆ()()()()n

i i n n i y y

y y y y y y =-=-+-+⋅⋅⋅+-∑ 3、拟合度（相关指数）：221

2

1

ˆ()1()

n

i i i n

i i y y

R y y ==-∑=-

-∑，分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高；

4、相关系数

：()()

n

n

i i i i x x y y x y nx y

r ---⋅∑∑=

=

分析：①.[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关

③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强； 六、独立性检验 1、2×2列联表： 2、独立性检验公式 ①．2

2()

()()()()

n ad bc k a b c d a c b d -=

++++

②．犯错误上界P 对照表

3、独立性检验步骤

①．计算观察值k ：2

()()()()()

n ad bc k a b c d a c b d -=++++；

②．查找临界值0k ：由犯错误概率P ，根据上表查找临界值0k ；

③．下结论：0k k ≥：即犯错误概率不超过P 的前提下认为： ,有1-P 以上的把握认为： ; 0k k <：即犯错误概率超过P 的前提认为： ,没有1-P 以上的把握认为： ;

【经典例题】

题型1 与茎叶图的应用

例1（2014全国）某市为考核甲、乙两部门的工作情况，学科网随机访问了50位市民。根据这50位市民 （1）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；

（2）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于90的概率；

（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙学科网两部门的评价。

题型2 频率直方分布图的应用

例2（2015广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，

[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2，

（1）求直方图中x 的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，

[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？

练习2 （2014全国1）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125)

频数 6 26 38 22 8

(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图： (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差

(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

题型3 计算线性回归方程

例3（2015重庆）随着我国经济的发展，居民

年份 2010 2011 2012 2013 2014

时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y （千亿元） 5 6 7 8

10

（1）求y 关于t 的回归方程ˆˆˆy

bt a =+ （2）用所求回归方程预测该地区2015年（t =6）的人民币储蓄存款.

年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （y t （2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

题型4 线性回归分析

例4（2016全国3）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014.

(1).由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；

(2).求出y 关于t 的回归方程ˆˆˆy

bt a =+（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.

参考数据：

7

1

9.32i

i y

==∑，7

1

40.17i i i t y ==∑，

7

2

1

()

0.55i

i y y =-=∑，≈2.646.