第四章快速傅立叶变换
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X(7)
两个4点DFT组成8点DFT
按照这个办法，继续把N/2用２除，由于N=2M ， 仍然是偶数，可以被２整除，因此可以对两个 N/2 点 的 DFT 再 分 别 作 进 一 步 的 分 解 。 即 对 {G(k)}和{H(k)}的计算，又可以分别通过计算 两个长度为N/4=2点的DFT，进一步节省计算 量，见图。这样，一个８点的DFT就可以分解 为四个２点的DFT。
1,
因此
w
( k N / 2) N
w
k N
利用这些周期性和对称性，使DFT运算中有些项可合并； nk 2）利用 w N 的周期性和对称性，把长度为N点的大点数的 DFT运算依次分解为若干个小点数的DFT。因为DFT的计算量 正比于N2，N小，计算量也就小。 FFT算法正是基于这样的基本思想发展起来的。它有多种形 式，但基本上可分为两类：时间抽取法和频率抽取法。
w
r N / 2 k N 2
(k N ) 2
w
W
rk N
2
得：
WN
k N
N k X (k ) G k W N H k , 2
N k 0,1, 1 2
可见，一个N点的DFT被分解为两个N/2点的DFT，这两个 N/2点的DFT再合成为一个N点DFT.
表 码位倒置顺序
自然顺序
0 1 2 3 4 5 6 7
二进码表示
000 001 010 011 100 101 110 111
码位倒置
000 100 010 110 001 101 010 111
码位倒置顺序
0 4 2 6 1 5 3 7
在实际运算中，一般直接将输入数据 x（n）按码位倒置的顺序排好输 入很不方便，总是先按自然顺序输入存储单元，然后再通过变址运算将 自然顺序的存储转换成码位倒置顺序的存储，然后进行FFT的原位计算。 目前有许多通用DSP芯片支持这种码位倒置的寻址功能。
N=23=8 的例子。
x(0) x(2) x(4) x(6)
G(0)
X(0) X(1) X(2)
X(3)
N/2点 DFT
G(1) G(2) G(3)
x(1) x(3) x(5) x(7)
H(0)
-1
X(4)
WN1
-1
N/2点 DFT
H(1) H(2) H(3)
X(5)
-1
WN2 WN3
-1
X(6)
复乘 复加
N N M log 2 N 2 2
N M N log2 N
而直接运算时则与N2 成正比。 例N=2048 ，N2=4194304 ，(N/2)log2N=11264 ，N2 / [(N/2)log2N]=392.4。FFT显然要比直接法快得多。
（2）原位计算 当数据输入到存储器中以后，每一级运算 的结果仍然储存在同一组存储器中，直到最 后输出，中间无需其它存储器，这叫原位计 算。 每一级运算均可在原位进行，这种原位运算 结构可节省存储单元，降低设备成本，还可 节省寻址的时间。
N/4点
N/4点
N/4点
N/4点
由四个2点DFT组成 8点DFT
最后剩下的是2点DFT，它可以用一个蝶形结表示：
X (0) x(0) W x(1) x(0) W x(1)
0 2 o N
X (1) x(0) W x(1) x(0) W x(1)
1 2 o N
这样，一个8点的完整的按时间抽取运算的流图
• 第一次分偶、奇，根据最低位n0的0、1状态来分， 若n0=0，则为偶序列；n0=1则为奇序列，得到两 组序列： • 000 010 100 110 001 011 101 111 • 第二次对这两个偶、奇序列再分一次偶、奇序列， 这就要根据n1的０、１状态。若n1=0，则为偶序 列；n1=1则为奇序列，得到四组序列： • 000 100 010 110 001 101 011 111 • 同理，再根据n2的０、１状态来分偶、奇序列， 直到不能再分偶、奇时为止。对于N=8, n2已是最 高位，最后一次分得结果为 • 000 100 010 110 001 101 011 111
（4）蝶形类型随迭代次数成倍增加
观察8点FFT的三次迭代运算: 第一级迭代，有一种类型的蝶形运算系数W08 ， 两个数据点间隔为1 第二级迭代，有二种类型的蝶形运算系数W08 、 W28，参加 运算的两个数据点间隔为2。 第三级迭代，有四类蝶形运算系数W08 、W18 、 W28、W38，参加运算的两个数据点间隔为4。 结论：每迭代一次，蝶形类型增加一倍，数据 点间隔也增大一倍。 每一级的取数间隔和蝶形类型种类均为2i-1， i=1,2,…M。
蝶形信号流图
将G(k)和H(k) 合成X(k)运算可归结为：
a bW a bW
a
W
a+bW
a
a+bW
W
b
-W (a)
a-bW
b
(b)
-1
a-bW
蝶形运算 的简化
图 (a)为实现这一运算的一般方法，它需 要两次乘法、两次加减法。考虑到-bW和 bW两个乘法仅相差一负号，可将图 (a)简 化成图2.7(b)，此时仅需一次乘法、两次 加减法。图 (b)的运算结构像一蝴蝶通常 称作蝶形运算结构简称蝶形结，采用这 种表示法，就可以将以上所讨论的分解 过程用流图表示。
从上面的分析看到，在DFT计算中，不论是乘法和 加法，运算量均与N2成正比。因此，N较大时，运 算量十分可观。例，计算N=10点的DFT，需要100 次复数相乘，而N=1024点时，需要1048576（一百 多万）次复数乘法，如果要求实时处理，则要求 有很高的计算速度才能完成上述计算量。 反变换IDFT与DFT的运算结构相同，只是多乘 一个常数1/N，所以二者的计算量相同。
3、按频率抽取的FFT（按输出X（k）在频域的顺序上属于 偶数还是奇数分解为两组）(DIF-FFT)
对于N=2M情况下的另外一种普遍使用的FFT结构是频率抽取法。 对于频率抽取法，输入序列不是按偶数奇数，而是按前后对半分开，这 样便将N点DFT写成前后两部分：
X (k )
N / 21
n 0
X k G k W H k ,
k N
N k ,,,
N k 0,1, 1 2
N k X (k ) G k W N H k , 2
依此类推，G(k)和H(k)可以继续分下去，这种按时间抽 取算法是在输入序列分成越来越小的子序列上执行DFT 运算，最后再合成为Ｎ点的DFT。
第四章 快速傅立叶变换 (FFT)
张 强
§4.1 快速傅里叶变换 （FFT） 快速傅里叶变换（FFT）是计算DFT的一种 快速有效方法。从前面的讨论中看到，有限长 序列在数字技术中占有很重要的地位。有限长 序列的一个重要特点是其频域也可以离散化， 即离散傅里叶变换（DFT）。
虽然频谱分析和DFT运算很重要，但在很长一 段时间里，由于DFT运算复杂，并没有得到真正 的运用，而频谱分析仍大多采用模拟信号滤波 的方法解决，直到1965年首次提出DFT运算的一 种快速算法以后，情况才发生了根本变化，人 们开始认识到DFT运算的一些内在规律，从而很 快地发展和完善了一套高速有效的运算方法— —快速付里变换（FFT）算法。FFT的出现，使 DFT的运算大大简化，运算时间缩短一～二个数 量级，使DFT的运算在实际中得到广泛应用。
由于这种方法每一步分解都是按输入时间序列是属 于偶数还是奇数来抽取的，所以称为“按时间抽取法 ”或“时间抽取法”。
按时间抽取的8点FFT
时间抽取法FFT的运算特点：
（1）蝶形运算 （2）原位计算 （3）序数重排 （4）蝶形类型随迭代次数成倍增加
（1）蝶形运算 对于N=2M ，总是可以通过M次分解最后成为2点的 DFT运算。这样构成从x(n)到X(k)的M级运算过程。 从上面的流图可看到，每一级运算都由N/2个蝶形运 算构成。因此每一级运算都需要N/2次复乘和N次复加 ，这样，经过时间抽取后M级运算总共需要的运算：
1、DFT运算的特点： 首先分析有限长序列 x（n）进行一次DFT运算所需的运算 量。 N 1 nk X ( k ) DFT[ x( n)] x( n)wN k 0,1,, N 1
n 0
一般，x（n）和wnkN都是复数，因此，每计算一个X（k）值 ，要进行N次复数相乘，和N-1次复数相加，X（k）一共有N个 点，故完成全部DFT运算，需要N2次复数相乘和N（N-1）次复 数相加，在这些运算中，乘法比加法复杂，需要的运算时间多 ，尤其是复数相乘，每个复数相乘包括4个实数相乘和2个实数 相加，例
将DFT运算也相应分为两组：
nk x(k ) DFTx(n) x(n) wN N 1 n 0
N 2 偶数n 0
nk x(n) wN
奇数n 1
nk x(n) wN
N 1
N / 21 r 0
x(2r )w
x ( 2r ) w
2 rk N
N / 21 r 0
x(2r 1)w
N / 2 1 r 0
( 2 r 1) k N
N / 2 1
r 0
2 rk N
w
k N
x(2r 1)w
2 rk N
因为
故
2 wNn e
2 j 2n N
j
e
2 n N 2
n wN
2
X k
N / r
rk k x(r )W N WN
N 1 n0
nk nk nk nk X ( k ) { Re [ x( n)]Re wN I m [ x( n)]I m [ wN ] j Re [ x( n)]I m wN I m [ x( n)]Re wN }
又每个复数相加包括 2个实数相加，所以，每计算一个 X（k）要进行4N次实数相乘和2N+2（N-1）=2（2N-1）次实 数相加，因此，整个DFT运算需要4N2 实数相乘和2N（2N-1） 次实数相加。
2、按时间抽取的FFT（N点DFT运算的分解）（DIT-FFT）
先从一个特殊情况开始，假定N是2的整数次方，
N=2M，M：正整数
首先将序列x（n）分解为两组，一组为偶数项，一组为奇 数项，
x(2r ) x1 (r ) x(2r 1) x 2 (r )
r=0,1，…，N/2-1
N / r
rk x(r )W N
k G k WN H k
其中
Gk
H k
N / r
x(r Leabharlann BaiduW
r
rk N
N /
rk x(r )W N
注意到，H（k），G（k）有N/2个点，即k=0，1，…， N/2-1，还必须应用系数 wkN 的周期性和对称性 表示 X（k）的 N/2 ～N-1点： 由
FFT算法的基本思想： 考察DFT与IDFT的运算发现，利用以下两个特性可减少运 2 算量： j nk nk N 1）系数 wN e 是一个周期函数，它的周期性和对称 性可用来改进运算，提高计算效率。 例 n ( N k ) k ( N n ) nk
wN
wN
wN
又如
w
N/2 N
x(n)W
nk N
n N / 2
nk x(n)WN
N 1
N / 21
n 0
x(n)W
nk N
N / 21
n 0
N x(n )WN 2
( n
N )k 2
N / 21 n 0
[ x(n) W
( N / 2) k N
（3）序数重排
对按时间抽取FFT的原位运算结构，当运算完 毕时，正好顺序存放着 X（0），X（1），X（2 ），…，X（7），因此可直接按顺序输出，但这 种原位运算的输入 x（n）却不能按这种自然顺序 存入存储单元中，而是按x(0)，x(4)，x(2)，x(6) ，…，x(7)的顺序存入存储单元，这种顺序看起 来相当杂乱，然而它也是有规律的。当用二进制 表示这个顺序时，它正好是“码位倒置”的顺序 。例如，原来的自然顺序应是 x(1)的地方，现在 放着 x(4)，用二进制码表示这一规律时， 则是在 x（0 0 1）处放着 x（1 0 0）， x（0 1 1）处放着 x（1 1 0）。
两个4点DFT组成8点DFT
按照这个办法，继续把N/2用２除，由于N=2M ， 仍然是偶数，可以被２整除，因此可以对两个 N/2 点 的 DFT 再 分 别 作 进 一 步 的 分 解 。 即 对 {G(k)}和{H(k)}的计算，又可以分别通过计算 两个长度为N/4=2点的DFT，进一步节省计算 量，见图。这样，一个８点的DFT就可以分解 为四个２点的DFT。
1,
因此
w
( k N / 2) N
w
k N
利用这些周期性和对称性，使DFT运算中有些项可合并； nk 2）利用 w N 的周期性和对称性，把长度为N点的大点数的 DFT运算依次分解为若干个小点数的DFT。因为DFT的计算量 正比于N2，N小，计算量也就小。 FFT算法正是基于这样的基本思想发展起来的。它有多种形 式，但基本上可分为两类：时间抽取法和频率抽取法。
w
r N / 2 k N 2
(k N ) 2
w
W
rk N
2
得：
WN
k N
N k X (k ) G k W N H k , 2
N k 0,1, 1 2
可见，一个N点的DFT被分解为两个N/2点的DFT，这两个 N/2点的DFT再合成为一个N点DFT.
表 码位倒置顺序
自然顺序
0 1 2 3 4 5 6 7
二进码表示
000 001 010 011 100 101 110 111
码位倒置
000 100 010 110 001 101 010 111
码位倒置顺序
0 4 2 6 1 5 3 7
在实际运算中，一般直接将输入数据 x（n）按码位倒置的顺序排好输 入很不方便，总是先按自然顺序输入存储单元，然后再通过变址运算将 自然顺序的存储转换成码位倒置顺序的存储，然后进行FFT的原位计算。 目前有许多通用DSP芯片支持这种码位倒置的寻址功能。
N=23=8 的例子。
x(0) x(2) x(4) x(6)
G(0)
X(0) X(1) X(2)
X(3)
N/2点 DFT
G(1) G(2) G(3)
x(1) x(3) x(5) x(7)
H(0)
-1
X(4)
WN1
-1
N/2点 DFT
H(1) H(2) H(3)
X(5)
-1
WN2 WN3
-1
X(6)
复乘 复加
N N M log 2 N 2 2
N M N log2 N
而直接运算时则与N2 成正比。 例N=2048 ，N2=4194304 ，(N/2)log2N=11264 ，N2 / [(N/2)log2N]=392.4。FFT显然要比直接法快得多。
（2）原位计算 当数据输入到存储器中以后，每一级运算 的结果仍然储存在同一组存储器中，直到最 后输出，中间无需其它存储器，这叫原位计 算。 每一级运算均可在原位进行，这种原位运算 结构可节省存储单元，降低设备成本，还可 节省寻址的时间。
N/4点
N/4点
N/4点
N/4点
由四个2点DFT组成 8点DFT
最后剩下的是2点DFT，它可以用一个蝶形结表示：
X (0) x(0) W x(1) x(0) W x(1)
0 2 o N
X (1) x(0) W x(1) x(0) W x(1)
1 2 o N
这样，一个8点的完整的按时间抽取运算的流图
• 第一次分偶、奇，根据最低位n0的0、1状态来分， 若n0=0，则为偶序列；n0=1则为奇序列，得到两 组序列： • 000 010 100 110 001 011 101 111 • 第二次对这两个偶、奇序列再分一次偶、奇序列， 这就要根据n1的０、１状态。若n1=0，则为偶序 列；n1=1则为奇序列，得到四组序列： • 000 100 010 110 001 101 011 111 • 同理，再根据n2的０、１状态来分偶、奇序列， 直到不能再分偶、奇时为止。对于N=8, n2已是最 高位，最后一次分得结果为 • 000 100 010 110 001 101 011 111
（4）蝶形类型随迭代次数成倍增加
观察8点FFT的三次迭代运算: 第一级迭代，有一种类型的蝶形运算系数W08 ， 两个数据点间隔为1 第二级迭代，有二种类型的蝶形运算系数W08 、 W28，参加 运算的两个数据点间隔为2。 第三级迭代，有四类蝶形运算系数W08 、W18 、 W28、W38，参加运算的两个数据点间隔为4。 结论：每迭代一次，蝶形类型增加一倍，数据 点间隔也增大一倍。 每一级的取数间隔和蝶形类型种类均为2i-1， i=1,2,…M。
蝶形信号流图
将G(k)和H(k) 合成X(k)运算可归结为：
a bW a bW
a
W
a+bW
a
a+bW
W
b
-W (a)
a-bW
b
(b)
-1
a-bW
蝶形运算 的简化
图 (a)为实现这一运算的一般方法，它需 要两次乘法、两次加减法。考虑到-bW和 bW两个乘法仅相差一负号，可将图 (a)简 化成图2.7(b)，此时仅需一次乘法、两次 加减法。图 (b)的运算结构像一蝴蝶通常 称作蝶形运算结构简称蝶形结，采用这 种表示法，就可以将以上所讨论的分解 过程用流图表示。
从上面的分析看到，在DFT计算中，不论是乘法和 加法，运算量均与N2成正比。因此，N较大时，运 算量十分可观。例，计算N=10点的DFT，需要100 次复数相乘，而N=1024点时，需要1048576（一百 多万）次复数乘法，如果要求实时处理，则要求 有很高的计算速度才能完成上述计算量。 反变换IDFT与DFT的运算结构相同，只是多乘 一个常数1/N，所以二者的计算量相同。
3、按频率抽取的FFT（按输出X（k）在频域的顺序上属于 偶数还是奇数分解为两组）(DIF-FFT)
对于N=2M情况下的另外一种普遍使用的FFT结构是频率抽取法。 对于频率抽取法，输入序列不是按偶数奇数，而是按前后对半分开，这 样便将N点DFT写成前后两部分：
X (k )
N / 21
n 0
X k G k W H k ,
k N
N k ,,,
N k 0,1, 1 2
N k X (k ) G k W N H k , 2
依此类推，G(k)和H(k)可以继续分下去，这种按时间抽 取算法是在输入序列分成越来越小的子序列上执行DFT 运算，最后再合成为Ｎ点的DFT。
第四章 快速傅立叶变换 (FFT)
张 强
§4.1 快速傅里叶变换 （FFT） 快速傅里叶变换（FFT）是计算DFT的一种 快速有效方法。从前面的讨论中看到，有限长 序列在数字技术中占有很重要的地位。有限长 序列的一个重要特点是其频域也可以离散化， 即离散傅里叶变换（DFT）。
虽然频谱分析和DFT运算很重要，但在很长一 段时间里，由于DFT运算复杂，并没有得到真正 的运用，而频谱分析仍大多采用模拟信号滤波 的方法解决，直到1965年首次提出DFT运算的一 种快速算法以后，情况才发生了根本变化，人 们开始认识到DFT运算的一些内在规律，从而很 快地发展和完善了一套高速有效的运算方法— —快速付里变换（FFT）算法。FFT的出现，使 DFT的运算大大简化，运算时间缩短一～二个数 量级，使DFT的运算在实际中得到广泛应用。
由于这种方法每一步分解都是按输入时间序列是属 于偶数还是奇数来抽取的，所以称为“按时间抽取法 ”或“时间抽取法”。
按时间抽取的8点FFT
时间抽取法FFT的运算特点：
（1）蝶形运算 （2）原位计算 （3）序数重排 （4）蝶形类型随迭代次数成倍增加
（1）蝶形运算 对于N=2M ，总是可以通过M次分解最后成为2点的 DFT运算。这样构成从x(n)到X(k)的M级运算过程。 从上面的流图可看到，每一级运算都由N/2个蝶形运 算构成。因此每一级运算都需要N/2次复乘和N次复加 ，这样，经过时间抽取后M级运算总共需要的运算：
1、DFT运算的特点： 首先分析有限长序列 x（n）进行一次DFT运算所需的运算 量。 N 1 nk X ( k ) DFT[ x( n)] x( n)wN k 0,1,, N 1
n 0
一般，x（n）和wnkN都是复数，因此，每计算一个X（k）值 ，要进行N次复数相乘，和N-1次复数相加，X（k）一共有N个 点，故完成全部DFT运算，需要N2次复数相乘和N（N-1）次复 数相加，在这些运算中，乘法比加法复杂，需要的运算时间多 ，尤其是复数相乘，每个复数相乘包括4个实数相乘和2个实数 相加，例
将DFT运算也相应分为两组：
nk x(k ) DFTx(n) x(n) wN N 1 n 0
N 2 偶数n 0
nk x(n) wN
奇数n 1
nk x(n) wN
N 1
N / 21 r 0
x(2r )w
x ( 2r ) w
2 rk N
N / 21 r 0
x(2r 1)w
N / 2 1 r 0
( 2 r 1) k N
N / 2 1
r 0
2 rk N
w
k N
x(2r 1)w
2 rk N
因为
故
2 wNn e
2 j 2n N
j
e
2 n N 2
n wN
2
X k
N / r
rk k x(r )W N WN
N 1 n0
nk nk nk nk X ( k ) { Re [ x( n)]Re wN I m [ x( n)]I m [ wN ] j Re [ x( n)]I m wN I m [ x( n)]Re wN }
又每个复数相加包括 2个实数相加，所以，每计算一个 X（k）要进行4N次实数相乘和2N+2（N-1）=2（2N-1）次实 数相加，因此，整个DFT运算需要4N2 实数相乘和2N（2N-1） 次实数相加。
2、按时间抽取的FFT（N点DFT运算的分解）（DIT-FFT）
先从一个特殊情况开始，假定N是2的整数次方，
N=2M，M：正整数
首先将序列x（n）分解为两组，一组为偶数项，一组为奇 数项，
x(2r ) x1 (r ) x(2r 1) x 2 (r )
r=0,1，…，N/2-1
N / r
rk x(r )W N
k G k WN H k
其中
Gk
H k
N / r
x(r Leabharlann BaiduW
r
rk N
N /
rk x(r )W N
注意到，H（k），G（k）有N/2个点，即k=0，1，…， N/2-1，还必须应用系数 wkN 的周期性和对称性 表示 X（k）的 N/2 ～N-1点： 由
FFT算法的基本思想： 考察DFT与IDFT的运算发现，利用以下两个特性可减少运 2 算量： j nk nk N 1）系数 wN e 是一个周期函数，它的周期性和对称 性可用来改进运算，提高计算效率。 例 n ( N k ) k ( N n ) nk
wN
wN
wN
又如
w
N/2 N
x(n)W
nk N
n N / 2
nk x(n)WN
N 1
N / 21
n 0
x(n)W
nk N
N / 21
n 0
N x(n )WN 2
( n
N )k 2
N / 21 n 0
[ x(n) W
( N / 2) k N
（3）序数重排
对按时间抽取FFT的原位运算结构，当运算完 毕时，正好顺序存放着 X（0），X（1），X（2 ），…，X（7），因此可直接按顺序输出，但这 种原位运算的输入 x（n）却不能按这种自然顺序 存入存储单元中，而是按x(0)，x(4)，x(2)，x(6) ，…，x(7)的顺序存入存储单元，这种顺序看起 来相当杂乱，然而它也是有规律的。当用二进制 表示这个顺序时，它正好是“码位倒置”的顺序 。例如，原来的自然顺序应是 x(1)的地方，现在 放着 x(4)，用二进制码表示这一规律时， 则是在 x（0 0 1）处放着 x（1 0 0）， x（0 1 1）处放着 x（1 1 0）。