含参数导数方法总结

含参数导数方法总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

导数题型总结（解析版）

体型一:

关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法

5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；

例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，

432

3()1262

x mx x f x =--

（1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；

（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.

解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32

()332

x mx f x x '=-

-

2()3g x x mx ∴=--

（1）

()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，

则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <

30

209330m m <-<⎧⇒⇒>⎨<--<⎩

解法二：分离变量法：

∵ 当0x =时, 2()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立

等价于233

x m x x x

->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3

()h x x x

=-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h ==

2m ∴>

(2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2()30g x x mx =--< 恒成立 变更主元法

再等价于2()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）

2

2

0230

110230

x x x x x ⎧>--+>⎪⇒⇒-<<⎨>-+>⎪⎩ 2=

例2：设函数),10(3231

)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-=

（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围. （二次函数区间最值的例子）

解：（Ⅰ）()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---

01a <<

令,0)(>'x

f 得)(x f 的单调递增区间为（a ,3a ）

令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞）

∴当x=a 时，)(x f 极小值=;4

3

3b a +- 当x=3a 时，)(x f 极大值=b.

（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 2243a x ax a a -≤-+≤恒成立①

则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a

g x a

≤⎧⎨≥-⎩ 22()43g x x ax a =-+的对称轴2x a = 01,a <<

12a a a a +>+=（放缩法）

即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

22()43[1,2]g x x ax a a a =-+++在上是增函数.

max min ()(2)2 1.()(1)4 4.

g x g a a g x g a a =+=-+=+=-+

∴

于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于

(2)44,4

1.(1)215g a a a a g a a a +=-+≤⎧≤≤⎨

+=-+≥-⎩

解得 2x a =

[]1,

2a a ++

又,10<

.15

4

<≤a 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

第三种：构造函数求最值

题型特征：)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3；已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-，

32

6()(1)3(0)2

t g x x x t x t -=+

-++>

（Ⅰ）求,a b 的值；

（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；

（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

解：（Ⅰ）/

2

()32f x x ax =+∴/(1)31f b a

⎧=-⎨=+⎩， 解得3

2a b =-⎧⎨=-⎩

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减 又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16f f f f -=-==-= ∴()f x 的值域是[4,16]-

（Ⅲ）令2()()()(1)3

[1,4]2

t

h x f x g x x t x x =-=-++-∈

思路1：要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2(2)26t x x x -≥-分离变量 思路2：二次函数区间最值 二、参数问题

题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；