二次函数专项复习 个性化辅导讲义

二次函数的概念和图像

1、二次函数的概念

一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法

五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：

当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

练习：

1.判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c 的值.

(1) y ＝1— 23x (2)y ＝x(x －5) (3)y ＝

x 21－23x ＋1 (4) y ＝3x(2－x)＋ 3x 2 (5)y ＝

1

2312++x x (6) y ＝652++x x (7)y ＝ x 4＋2x 2－1 (8)y ＝ax 2＋bx ＋c

2.m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数？

1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象如图所示，则点A(ac ，bc)在（ ）．

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限 x

y

2、已知二次函数y ax bx c

=++

2的图象如图所示，对称轴是x=1，则下列结论中正确的（）A．a c>0B．b<0C．b a c

240

-

a b

+=

3、二次函数2

y ax bx c

=++的图象如图所示，则直线y bx c

=+的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

4、已知二次函数的图象如图所示，则在“①a＜0，

②b＞0，③c＜ 0，④b2－4ac＞0”中，正确的判断是（）A．①②③④B．④C．①②③D．①④

5题6题

5、已知二次函数y = ax2 + bx + c的图象如图所示，下列结论中：

①abc > 0；②b = 2a；③a + b + c；④a –b + c，正确的个数是（）.

(A) 4个(B) 3个(C) 2个(D) 1个

6、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（）

(A) ab < 0 (B) bc < 0 (C) a+b+c > 0 (D) a-b+c < 0

二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般两根三顶点

4题

O x

y

（1）一般 一般式：)0,,(2

≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212

x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

（3）三顶点 顶点式：)0,,()(2

≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 1.已知二次函数c bx ax y ++=2

)0(≠a ,若0=x 时1=y ；1=x 时1=y ；2=x 时1-=y .求这个二次函数关系式.

2.已知函数2234)()82()32(k x n m kx x n m x n m y ++++-++-=，且当1=x ，7=y ，求该二次函数的解析式及n m 的值。

二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a

b

x 2-=时，a

b a

c y 442-=最值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a

b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a

b 2-时，a b a

c y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，

c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减

小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。

练习：1.某村为增加蔬菜的种植面积，一年中修建了一些蔬菜大棚，平均修建每公顷大棚要用的支架，塑料膜等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积x （公顷）的平方成正比，比例系数为9000，每公顷大棚的年平均经济收益为75000元。

（1）一年中这个村修建了多少公顷蔬菜大棚，才能使蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为60000元

（2）修建3公顷大棚收益是否为该年的最大收益，请说明理由；

（3）修建大棚数量在什么范围内，该年年收益不低于63000元。

2.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x 元，该经销店的月利润为y 元。

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月份销售量

（2）求出y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）

（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

抛物线c bx ax y ++=2中， a b c,的作用

（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2

ax y =中的a 完全一样.

（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线 a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a

b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴

左侧；③0

b （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. 口诀 --- 同左 异右

（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点;

②0>c ,与y 轴交于正半轴；

③0

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则

0

b . 关于x 轴对称

2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；

()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =---； 关于y 轴对称

2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；

()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++； 关于原点对称

2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；

()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =-+- 关于顶点对称

2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2

2

2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =--+． 关于点()m n ，对称

()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2

22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先

确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

练习1.已知抛物线)1(3)4(2

-+---=m x m x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，

（1）求m 的取值范围；

（2）若0

（3）若A 点在B 点左边，在第一象限内，（2）中所得的抛物线上是否存在一点P ，使直线P A 平分ACD ?的面积？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

练习2. 已知：m n 、是方程2650x x -+=的两个实数根，且m n <，抛物线2y x bx c =-++的图像

经过点A(,0m )、B(0n ，).

(1) 求这个抛物线的解析式；

(2) 设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D ，试求出点

C 、

D 的坐标和△BCD 的面积；

P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线

BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部份，请求出P 点的坐标.

练习3.已知：以直线x=1为对称轴的抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），且经过点

（4，45）和（0，-4

3）。点P （x, y ）在抛物线的顶点M 的右侧的半支上（包括顶点M ），在x 轴上有一点C 使△OPC 是等腰三角形，OP=PC 。

（1）若∠OPC 是直角，求点P 的坐标；

（2）当点P 移动时，过点C 作x 轴的垂线，交直线AM 于点Q ，设△AQC 的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围，并画出它的图象。