(江苏专用)2020高考数学二轮复习 课时达标训练(二十五) 计数原理与二项式定理
课时达标训练(二十五) 计数原理与二项式定理
A 组——大题保分练
1．(2019·南京盐城一模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，且对任意n ∈N *
，都有a 1C 0
n ＋
a 2C 1n ＋a 3C 2n ＋…＋a n ＋1C n n ＝(a n ＋2－1)·2
n －1
成立． (1)求a 3的值；
(2)证明：数列{a n }是等差数列．
解：(1)在a 1C 0
n ＋a 2C 1
n ＋a 3C 2
n ＋…＋a n ＋1C n n ＝(a n ＋2－1)·2n －1
中，令n ＝1，则a 1C 01＋a 2C 1
1＝a 3
－1，由a 1＝1，a 2＝3，解得a 3＝5.
(2)证明：若a 1，a 2，a 3，…，a n 是等差数列，则a n ＝2n －1. ①当n ＝3时，由(1)知a 3＝5，此时结论成立．
②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *
)时，结论成立，则a k ＝2k －1. 由a 1C 0
k －1＋a 2C 1
k －1＋a 3C 2
k －1＋…＋a k C k －1k －1＝(a k ＋1－1)2k －2
，k ≥3， 对该式倒序相加，得(a 1＋a k )2
k －1
＝2(a k ＋1－1)·2
k －2
，
所以a k ＋1－a k ＝a 1＋1＝2，即a k ＋1＝2k －1＋2＝2(k ＋1)－1， 所以当n ＝k ＋1时，结论成立． 根据①②，可知数列{a n }是等差数列．
2．(2019·南师附中等四校联考)设集合M ＝{1，2，3，…，m }，集合A ，B 是M 的两个不同子集，记|A ∩B |表示集合A ∩B 的元素个数．若|A ∩B |＝n ，其中1≤n ≤m －1，则称(A ，
B )是M 的一组n 阶关联子集对((A ，B )与(B ，A )看作同一组关联子集对)，并记集合M 的所有n 阶关联子集对的组数为a n .
(1)当m ＝3时，求a 1，a 2；
(2)当m ＝2 019时，求{a n }的通项公式，并求数列{a n }的最大项． 解：(1)当m ＝3时，易知a 1＝3×4＝12，a 2＝3.
(2)a n ＝C n 2 019×12×[C 02 019－n (22 019－n －1)＋C 12 019－n ·22 018－n ＋…＋C k 2 019－n ·22 019－k －n
＋…＋
C
2 018－n 2 019－n
·21
＋C
2 019－n 2 019－n
·20]＝C n
2 019
3
2 019－n
2
，
a n ＋1
a n
＝C n ＋1
2 019
3
2 018－n
－1
2
C n
2 019
32 019－n －12
＝（2 019－n ）（32 018－n
－1）（n ＋1）（32 019－n
－1）＞1， 化简，得(1 008－2n )·32 018－n
＞1 009－n ，(*)
当n ≤503时，(*)式成立；
当504≤n ≤1 008时，(*)式不成立； 当n ≥1 009时，不成立；
所以a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 503＜a 504，
a 504＞a 505＞a 506＞…＞a 2 018，
所以a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 503＜a 504＞a 505＞…＞a 2 018， 所以数列{a n }的最大项为a 504＝C
5042 019
3
1 515
－12
. 3．(2018·南京、盐城一模)已知n ∈N *，nf (n )＝C 0n C 1
n ＋2C 1n C 2
n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n
n . (1)求f (1)，f (2)，f (3)的值；
(2)试猜想f (n )的表达式(用一个组合数表示)，并证明你的猜想． 解：(1)由条件，nf (n )＝C 0n C 1
n ＋2C 1n C 2
n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n
n ，① 在①中令n ＝1，得f (1)＝C 01C 11＝1.
在①中令n ＝2，得2f (2)＝C 02C 1
2＋2C 12C 2
2＝6，得f (2)＝3.
在①中令n ＝3，得3f (3)＝C 03C 1
3＋2C 13C 2
3＋3C 23C 3
3＝30，得f (3)＝10. (2)猜想f (n )＝C n 2n －1(或f (n )＝C n －1
2n －1)．
欲证猜想成立，只要证等式n C n
2n －1＝C 0n C 1
n ＋2C 1n C 2
n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n
n 成立． 法一：(直接法)当n ＝1时，等式显然成立． 当n ≥2时，因为r C r
n ＝r ×n ！r ！（n －r ）！＝n ！
（r －1）！（n －r ）！
＝n ×
（n －1）！（r －1）！（n －r ）！
＝n C r －1
n －1，
故r C r －1n C r
n ＝(r C r
n )C r －1
n ＝n C r －1n －1C r －1
n .
故只需证明n C n 2n －1＝n C 0n －1C 0n ＋n C 1n －1C 1n ＋…＋n C r －1n －1·C r －1n ＋…＋n C n －1n －1C n －1
n . 即证C n
2n －1＝C 0
n －1C 0
n ＋ C 1
n －1C 1
n ＋…＋ C r －1n －1C r －1n ＋…＋ C n －1n －1C n －1
n . 而C r －1
n ＝C n －r ＋1n
，故即证C n 2n －1＝C 0n －1C n n ＋ C 1n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1C n －r ＋1
n
＋…＋ C n －1n －1C 1
n .②
由等式(1＋x )
2n －1
＝(1＋x )
n －1
(1＋x )n
可得，左边x n
的系数为C n
2n －1.
而右边(1＋x )
n －1
(1＋x )n
＝(C 0
n －1＋C 1
n －1x ＋C 2
n －1x 2
＋…＋C n －1n －1x
n －1
)(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n
n
x n )，
所以x n 的系数为C 0n －1C n n ＋ C 1n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1·C n －r ＋1
n ＋…＋ C n －1n －1C 1
n .
由(1＋x )
2n －1
＝(1＋x )
n －1
(1＋x )n
恒成立可得②成立．
综上，f (n )＝C n
2n －1成立．
法二：(构造模型)构造一个组合模型，一个袋中装有(2n －1)个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余(n －1)个是编号为1，2，…，n －1的黑球．现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球((n －r )个白球)的n 个小球的组合的个数为C r n －1·C n －r
n ，0≤r ≤n －1，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为C 0
n －1C n n ＋ C 1n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1C n －r ＋1
n
＋…＋ C n －1n －1C 1
n .
另一方面，从袋中(2n －1)个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为C n
2n －1.
故C n 2n －1＝C 0n －1C n n ＋ C 1n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1C n －r ＋1
n ＋…＋ C n －1n －1C 1
n ，余下同法一．
法三：(利用导数)由二项式定理，
得(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n
.③ 两边求导，得n (1＋x )n －1
＝C 1n ＋2C 2n x ＋…＋r C r n x
r －1
＋…＋n C n n x
n －1
.④
③×④，得n (1＋x )
2n －1
＝(C 0
n ＋C 1
n x ＋C 2n x 2
＋…＋C n n x n )·(C 1
n ＋2C 2
n x ＋…＋r C r n x
r －1
＋…＋n C n
n
x n －1)．⑤
左边x n 的系数为n C n
2n －1.
右边x n 的系数为C 1n C n n ＋2C 2n C n －1n ＋…＋r C r n C n －r ＋1
n
＋…＋n C n n C 1n ＝C 1n C 0n ＋2C 2n C 1n ＋…＋r C r n C r －1
n
＋…＋n C n n C n －1
n ＝C 0n C 1
n ＋2C 1n C 2
n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n
n .
由⑤恒成立，得n C n 2n －1＝C 0n C 1n ＋2C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n
n . 故f (n )＝C n
2n －1成立．
法四：(构造模型)由nf (n )＝C 0n C 1
n ＋2C 1n C 2
n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n
n ，
得nf (n )＝n C n －1n C n n ＋(n －1)C n －2n C n －1n ＋…＋C 0n C 1n ＝n C 0n C 1n ＋(n －1)C 1n C 2n ＋…＋C n －1n C n
n ， 所以2nf (n )＝(n ＋1)(C 0n C 1
n ＋C 1n C 2n ＋…＋C n －1n C n n ) ＝(n ＋1)(C n n C 1n ＋C n －1n C 2n ＋…＋C 1n C n
n )， 构造一个组合模型，从2n 个元素中选取(n ＋1)个元素，则有C n ＋1
2n 种选法，现将2n 个元素分成两个部分n ，n ，若(n ＋1)个元素中，从第一部分中取n 个，第二部分中取1个，则有C n n C 1n 种选法，若从第一部分中取(n －1)个，第二部分中取2个，则有C n －1n C 2
n 种选法，…，由分类计数原理可知C n ＋1
2n ＝C n n C 1
n ＋C n －1n C 2
n ＋…＋C 1n C n
n .
故2nf (n )＝(n ＋1)C n ＋12n ， 所以f (n )＝
n ＋12n ·（2n ）！（n ＋1）！（n －1）！＝（2n －1）！n ！（n －1）！
＝C n
2n －1. 4．(2018·苏锡常镇调研(二))已知函数f (x )＝(x ＋5)2n ＋1
(n ∈N *
，x ∈R )．
(1)当n ＝2时，若f (2)＋f (－2)＝5A ，求实数A 的值； (2)若f (2)＝m ＋α(m ∈N *
，0<α<1)，求证：α(m ＋α)＝1. 解：(1)当n ＝2时，f (x )＝(x ＋5)5
＝C 05x 5
＋C 15x 4
5＋C 25x 3(5)2＋C 35x 2(5)3＋C 45x (5)
4
＋C 5
5(5)5,
所以f (2)＋f (－2)＝(2＋5)5
＋(－2＋5)5
＝2[C 1
5(5)124
＋C 3
5(5)322
＋C 5
5(5)5
]＝2(5×165＋10×4×55＋255)＝6105，
所以A ＝610.
(2)证明：因为f (x )＝(x ＋5)2n ＋1＝C 02n ＋1x
2n ＋1
＋C 12n ＋1x
2n
5＋C 22n ＋1x
2n －1
(5)2＋…＋C 2n ＋1
2n ＋1
(5)
2n ＋1
，
所以f (2)＝C 0
2n ＋122n ＋1
＋C 12n ＋12
2n
5＋C 22n ＋12
2n －1
(5)2＋…＋C 2n ＋12n ＋1(5)
2n ＋1
，
由题意知，f (2)＝(5＋2)
2n ＋1
＝m ＋α(m ∈N *
，0<α<1)，
首先证明对于固定的n ∈N *
，满足条件的m ，α是唯一的． 假设f (2)＝(2＋5)2n ＋1
＝m 1＋α1＝m 2＋α2(m 1，m 2∈N *
，0<α1<1，0<α2<1，m 1≠m 2，α1
≠α2)，
则m 1－m 2＝α2－α1≠0，而m 1－m 2∈Z ，α2－α1∈(－1，0)∪(0，1)，矛盾． 所以满足条件的m ，α是唯一的. 下面我们求m 及α的值： 因为f (2)－f (－2)＝(2＋5)2n ＋1
－(－2＋5)
2n ＋1
＝(2＋5)
2n ＋1
＋(2－5)
2n ＋1
＝2[C 0
2n ＋1
2
2n ＋1
＋C 22n ＋1·2
2n －1
(5)2＋C 42n ＋12
2n －3
(5)4
＋…＋C 2n
2n ＋121
(5)2n
]，
显然f (2)－f (－2)∈N *
.
又因为5－2∈(0，1)，故(5－2)2n ＋1
∈(0，1)， 即f (－2)＝(－2＋5)2n ＋1
＝(5－2)
2n ＋1
∈(0，1).
所以令m ＝2[C 0
2n ＋12
2n ＋1
＋C 2
2n ＋12
2n －1
(5)2
＋C 4
2n ＋1·2
2n －3
(5)4＋…＋C 2n 2n ＋121(5)2n
]，
α＝(－2＋5)2n ＋1，
则m ＝f (2)－f (－2)，α＝f (－2)，又m ＋α＝f (2), 所以α(m ＋α)＝f (－2)·f (2)＝(2＋5)
2n ＋1
·(－2＋5)
2n ＋1
＝(5－4)
2n ＋1
＝1.
B 组——大题增分练
1．(2019·南通、泰州等七市三模)设P n ＝∑i ＝0 2n （－1）i C i 2n ，Q n ＝∑j ＝1 2n （－1）j ·j
C j
2n
. (1)求2P 2－Q 2的值； (2)化简nP n －Q n .
解：(1)P 2＝1C 04－1C 14＋1C 24－1C 34＋1C 44＝5
3
，
Q 2＝－1C 14＋2C 24－3C 34＋4C 44＝103
，
所以2P 2－Q 2＝0. (2)设T ＝nP n －Q n ， 则T ＝?
????n
C 02n －n C 12n ＋n C 22n
－…＋n C 2n 2n
－? ????－1C 12n ＋2C 22n －3
C 32n ＋…＋2n C 2n 2n
＝
n
C
2n
－
n －1C
12n
＋
n －2C
22n
－
n －3
C
32n
＋…＋－n C 2n 2n
①
因为C k
2n ＝C 2n －k
2n ，
所以T ＝n C 2n 2n －n －1C 2n －12n ＋n －2C 2n －22n －n －3C 2n －32n ＋…＋－n
C 02n