半导体物理与器件 第六章2

半导体物理与器件
由于过剩电子和过剩空穴相互分离所诱生的内部电 场示意图
考虑上述内建电场之后， 考虑上述内建电场之后，上一节中导出的电子和空穴与时间相 关的扩散方程中的电场则应同时包含外加电场和内建电场，即： 关的扩散方程中的电场则应同时包含外加电场和内建电场，
半导体物理与器件
其中E 为外加电场， 则为内建电场。 其中Eapp为外加电场，而Eint则为内建电场。由于内建电场倾向 于将脉冲的过剩电子和过剩空穴保持在同一空间位置， 于将脉冲的过剩电子和过剩空穴保持在同一空间位置，因此这 些带负电的过剩电子和带正电的过剩空穴就会以同一个等效的 迁移率或扩散系数共同进行漂移或扩散运动。 迁移率或扩散系数共同进行漂移或扩散运动。这种现象通常称 为双极扩散或双极输运过程。 为双极扩散或双极输运过程。 双极输运方程 前面我们已经提到与时间相关的扩散方程描述了过剩载流子浓 度随着时间和空间的变化规律，但是我们还需要增加一个方程 度随着时间和空间的变化规律，但是我们还需要增加一个方程 来建立过剩电子浓度及过剩空穴浓度与内建电场之间的关系， 来建立过剩电子浓度及过剩空穴浓度与内建电场之间的关系， 这个方程就是泊松方程，其表达式为： 这个方程就是泊松方程，其表达式为：
半导体物理与器件
电子和空穴的与时间相关的扩散方程可写为如下形式： 电子和空穴的与时间相关的扩散方程可写为如下形式：
∂ 2 (δ p ) ∂ (δ p ) ∂E p ∂ (δ p ) Dp − µp E +p = + gp − 2 τ pt ∂x ∂x ∂x ∂t ∂ 2 (δ n ) ∂ (δ n ) n ∂ (δ n ) ∂E Dn + µn E +n = + gn − 2 τ nt ∂x ∂x ∂x ∂t
尽管内建电场很小，但是其散度却未必能够忽略不计， 尽管内建电场很小，但是其散度却未必能够忽略不计，当 散度却未必能够忽略不计 然我们可以采用电中性条件， 然我们可以采用电中性条件，即我们可以假设过剩电子浓度 和过剩空穴浓度在任意时间和任意位置都是恰好相等的， 和过剩空穴浓度在任意时间和任意位置都是恰好相等的，而 这样一来， 这样一来，保证过剩电子和过剩空穴在一起的内建电场就会 不复存在。 不复存在。
连续性方程：空间中某微元体积内粒子数随时间 连续性方程：空间中某微元体积内粒子数随时间 的变化关系与流入流出该区域的粒子流密度及该 与流入流出该区域的粒子流密度 的变化关系与流入流出该区域的粒子流密度及该 产生复合的关系 区域内的产生复合的关系。 区域内的产生复合的关系。
F
z
+ px
( x)
dz
+ Fpx ( x + dx )
半导体物理与器件
由上述公式可见，双极扩散系数D’和双极迁移率μ’均为载流子 由上述公式可见，双极扩散系数D 和双极迁移率μ 均为载流子 和双极迁移率 浓度的函数，又因为载流子浓度n 浓度的函数，又因为载流子浓度n、p中都包含了过剩载流子的 浓度δn 因此双极输运方程中的双极扩散系数和双极迁移率 浓度δn ，因此双极输运方程中的双极扩散系数和双极迁移率 都不是常数，由此可见， 都不是常数，由此可见，双极输运方程是一个非线性的微分方 程。
同理，电子的一维连续性方程： 同理，电子的一维连续性方程：
+ ∂Fnx ∂n n =− + gn − ∂t ∂x τ nt
+ ∂Fpx
半导体物理与器件
与时间有关的扩散方程
一维空穴和电子的电流密度： 一维空穴和电子的电流密度：
∂p J p = eµ p pE − eD p ∂x ∂n J n = eµn nE − eDn ∂x
半导体物理与器件
§6.2过剩载流子的性质 过剩载流子的性质
过剩载流子在电场作用下的漂移作用 过剩载流子在浓度梯度下的扩散作用
hν + + + E 通过后边的内容讨论， 通过后边的内容讨论，我们可以 发现过剩载流子的漂移和扩散并 不是独立进行的， 不是独立进行的，而有相互影响 -
hν
半导体物理与器件
p
∂2 p ∂x 2
∂ nE ∂Fn+ ∂ 2n = − µn Βιβλιοθήκη Baidu Dn 2 ∂x ∂x ∂x
代入连续性方程中可以得到
∂p p =− + gp − ∂t ∂x τ pt
+ ∂Fpx
+ ∂Fnx ∂n n =− + gn − ∂t ∂x τ nt
半导体物理与器件
∂ pE ∂p ∂2 p p = −µ p + Dp 2 + g p − ∂t ∂x ∂x τ pt ∂ nE ∂n ∂2n n = µn + Dn 2 + g n − ∂t ∂x ∂x τ nt
对于一维情况
( )
( )
∂ pE ∂x
( ) = E ∂p + p ∂E
∂x ∂x
∂ nE ∂x
( ) = E ∂n + n ∂E
∂x ∂x
半导体物理与器件
得到电子和空穴的扩散方程
∂p ∂2 p ∂E p ∂p Dp 2 − µ p E + p = + gp − ∂x ∂x τ pt ∂t ∂x ∂n ∂2n ∂E n ∂n Dn 2 + µn E + n = + gn − ∂x ∂x τ nt ∂t ∂x
∂p p dxdydz = − dxdydz + g p dxdydz − dxdydz ∂t ∂x τ pt
dt时间内 dt时间内 空穴浓度 增量 该空间位 置的流量 散度 复合率
+ ∂Fpx
半导体物理与器件
方程两侧除以微元体积， 方程两侧除以微元体积，得到单位时间空穴浓度的净增 加量
∂p p =− + gp − τ pt ∂t ∂x
扩散流
扩散流
产生与复合
注意在上述两个时间相关的扩散方程中，既包含与总的载流子浓度n 注意在上述两个时间相关的扩散方程中，既包含与总的载流子浓度n、 总的载流子浓度 相关的项，也包含仅仅与过剩载流子浓度δn、δp相关的项 过剩载流子浓度δn 相关的项。 p相关的项，也包含仅仅与过剩载流子浓度δn、δp相关的项。因此 上述两式就是在掺杂和组分均匀的条件下，描述半导体材料中过剩载 掺杂和组分均匀的条件下 上述两式就是在掺杂和组分均匀的条件下，描述半导体材料中过剩载 流子浓度随着时间和空间变化规律的方程 的方程。 流子浓度随着时间和空间变化规律的方程。
则由于粒子流引起在单位时间内微元体积内粒子数的净 增加量为： 增加量为：
∂p + + dxdydz = Fpx ( x ) − Fpx ( x + dx ) dydz ∂t + ∂Fpx =− dxdydz ∂x
半导体物理与器件
如果在该体积内还存在粒子的产生和复合过程， 如果在该体积内还存在粒子的产生和复合过程，则总的 粒子数增加量： 粒子数增加量： 微元体积
上述两式就是有关电子和空穴的与时间相关的扩散方程。 上述两式就是有关电子和空穴的与时间相关的扩散方程。由于电 子和空穴的浓度中都包含了过剩载流子的成分， 子和空穴的浓度中都包含了过剩载流子的成分，因此上述两式也就 是描述过剩载流子随着时间和空间变化规律的方程 过剩载流子随着时间和空间变化规律的方程。 是描述过剩载流子随着时间和空间变化规律的方程。 由于电子和空穴的浓度中既包含热平衡时的载流子浓度， 由于电子和空穴的浓度中既包含热平衡时的载流子浓度，也包含 非热平衡条件下的过剩载流子浓度，而热平衡时的载流子浓度n 非热平衡条件下的过剩载流子浓度，而热平衡时的载流子浓度n0、p0 一般不随时间变化，对于掺杂和组分均匀的半导体材料来说， 掺杂和组分均匀的半导体材料来说 一般不随时间变化，对于掺杂和组分均匀的半导体材料来说， n0和 也不随空间位置变化，因此利用关系： p0也不随空间位置变化，因此利用关系：n = n0 + δ n p = p0 + δ p
半导体物理与器件
其中ε 是半导体材料的介电常数。 其中εS是半导体材料的介电常数。为了便于联立求解上述 方程组，我们需要做适当的近似。可以证明， 方程组，我们需要做适当的近似。可以证明，只需很小的内建 电场就足以保证过剩电子和过剩空穴在一起共同漂移和扩散， 电场就足以保证过剩电子和过剩空穴在一起共同漂移和扩散， 因此我们可以假设： 因此我们可以假设：
∂p = µ p pE − D p e ∂x Jn ∂n = − µn nE + Dn −e ∂x Jp
显然，粒子流密度和电流密度有如下关系： 显然，粒子流密度和电流密度有如下关系：
半导体物理与器件
从中可以求出散度 ∂p / ∂x 或 ∂n / ∂x
∂Fp+ ∂x
= µp
∂ pE ∂x
( )−D ( )
半导体物理与器件
为了确保内建电场的存在，以便使得过剩电子和过剩空穴 为了确保内建电场的存在， 能够在一起共同漂移和扩散， 能够在一起共同漂移和扩散，只需很小的过剩电子和过剩空穴 的浓度差。可以证明，过剩电子浓度δn和过剩空穴浓度δp δn和过剩空穴浓度δp只 的浓度差。可以证明，过剩电子浓度δn和过剩空穴浓度δp只 要有1 的差别，其引起的内建电场散度就不可以忽略， 要有1％的差别，其引起的内建电场散度就不可以忽略，此时 有： 一般情况下，半导体中的电子和空穴总是成对产生的，因 一般情况下，半导体中的电子和空穴总是成对产生的， 此电子和空穴的产生率总是相等的， 此电子和空穴的产生率总是相等的，即：
利用上述条件， 利用上述条件，我们可以把电子和空穴与时间相关的两个扩 散方程进一步简化为下述形式： 散方程进一步简化为下述形式：
半导体物理与器件
半导体物理与器件
上式通常称为双极输运方程， 上式通常称为双极输运方程，它描述了过剩电子浓度和过剩空 穴浓度随着时间和空间的变化规律，其中的两个参数分别为： 穴浓度随着时间和空间的变化规律，其中的两个参数分别为： 注意双极扩散系数中 包含了迁移率， 包含了迁移率，这实 际反映了过剩载流子 的扩散行为受到内建 电场的影响 分别称为双极扩散系数和双极迁移率。 D’和μ’分别称为双极扩散系数和双极迁移率。根据扩散系数和 和 分别称为双极扩散系数和双极迁移率 迁移率之间的爱因斯坦关系， 迁移率之间的爱因斯坦关系，
y x dx
dy
连续性方程的根本出发点： 连续性方程的根本出发点：电荷守恒定律
半导体物理与器件
处的粒子流密度进行泰勒展开， 将x+dx处的粒子流密度进行泰勒展开，只取至一 处的粒子流密度进行泰勒展开 阶项： 阶项： +
F
+ px
( x + dx ) = F ( x ) +
+ px
∂Fpx ∂x
dx
此外，电子和空穴也总是成对复合的， 此外，电子和空穴也总是成对复合的，因此电子和空 穴的复合率也总是相等的， 穴的复合率也总是相等的，即：
半导体物理与器件
上式中的载流子寿命既包括了热平衡载流子的寿命， 上式中的载流子寿命既包括了热平衡载流子的寿命，也包括 了过剩载流子的寿命。如果我们继续沿用电中性条件，则有： 了过剩载流子的寿命。如果我们继续沿用电中性条件，则有：
半导体物理与器件
§6.3 双极输运过程
我们在第四章中导出的电子电流密度方程和空穴电流密度 方程中，引起漂移电流的电场最初实际上指的是外加的电场 外加的电场， 方程中，引起漂移电流的电场最初实际上指的是外加的电场， 该电场在关于电子和空穴与时间相关的扩散方程中仍然出现。 该电场在关于电子和空穴与时间相关的扩散方程中仍然出现。 如果在有外加电场存在的情况下， 如果在有外加电场存在的情况下，在半导体材料中的某一点处 产生出了一个脉冲的过剩电子和一个脉冲的过剩空穴， 产生出了一个脉冲的过剩电子和一个脉冲的过剩空穴，此时这 些过剩电子和过剩空穴就会在外加电场的作用下朝着相反 相反的方 些过剩电子和过剩空穴就会在外加电场的作用下朝着相反的方 向漂移，但是由于这些过剩电子和过剩空穴都是带电的载流子， 向漂移，但是由于这些过剩电子和过剩空穴都是带电的载流子， 因此其空间位置上的分离就会在这两类载流子之间诱生出内部 位置上的分离就会在这两类载流子之间诱生出 因此其空间位置上的分离就会在这两类载流子之间诱生出内部 电场， 电场，而这个内建电场又会反过来将这些过剩电子和过剩空穴 往一起拉， 往一起拉，即内建电场倾向于将脉冲的过剩电子和过剩空穴保 持在同一空间位置，这个过程如下页图所示。 持在同一空间位置，这个过程如下页图所示。