天体运动奥赛题练习

天体运动

1．假设地球是一个均匀球体，现在地球的东半球北纬30°的a处开一个穿过地轴的直线隧道直通西半球北纬30°的b处，如图所示，已知地球的半径是6370km，地面的重力加速度g=9.8m/s2，第一宇

宙速度u

1=7.9km/s，假设隧道光滑。现将一个物体以u= v

1

的初速度从a处抛入隧道，问物体从b处出

来后能飞离地面的最大高度是多少？

2．如图所示，宇宙飞船沿圆轨道绕火星运行，运动速度为u

。已知火星半径为R，飞船圆轨道离

火星表面的高度为H。今飞船在极短时间内，沿圆轨道径向向外侧点火喷气，使飞船获得指向火星的径

向速度为a u

，a是远小于1的常数。因喷气量很小，喷气后飞船的质量可视作不变。喷气后，飞船绕

火星沿新的轨道运行。试求飞船椭圆轨道近火星点距离火星表面的高度h

A

和远火星点距火星表面的高度

h

B

，以及飞船绕椭圆轨道的运行周期。

3．如图所示，从地球发射火箭到火星去进行探测，发射后火箭绕太阳椭圆轨道运行。为了节省能源，火箭离开地球的速度方向与地球绕太阳公转的速度方向一致，并且选择适当的发射时机，使火箭椭圆轨道的远日点为火星，轨道近日点为地球。假定地球和火星均绕太阳做圆周运动，圆轨道半径分别为r与R，忽略其他行星对火箭的作用，求火箭应以多大的对地速度离开地球？火箭到达火星要用多长时间？

4．如图所示，一质量为m=12t的太空飞船在围绕月球的圆轨道上旋转，其高度h=100km。为使飞船降落到月球表面，喷气发动机在X点作一次短时间发动。从喷口喷出的热气流相对飞船的速度u=10km/s。月球半径R=1700km，月球表面上自由落体的重力加速度为

=1.7m/s2。飞船可用两种不同方式到达月球：

g

月

（1）到达月球上的A点，该点正好与X点相对，如图所示（2）在X点给一指向月球中心的动量后，与月球表面相切于B点，如图所示。试计算上述两种情况下所需的燃料量。

5．质量为M的宇航站和其对接上的质量为m的飞船一起沿圆形轨道围绕地球运动着，其轨道半径为地球半径R的n倍（n=1.25）。某一瞬间，飞船从宇宙站沿运动方向射出后沿椭圆轨道运动，其最远点到地点的距离为8nR。质量比m/M为何值时，飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇？（一般认为M>m）

6.某空间站A绕地球作圆周运动，轨道半径为r A=6.73×106m.一人造地球卫星B在同一轨道平面内作圆周运动，轨道半径为r B=3r A/2，A和B均沿逆时针方向运行。现从空间站上发射一飞船（对空间站无反冲）前去回收该卫星，为了节省燃料，除了短暂的加速或减速变轨过程外，飞船在往返过程中均采用同样形状的逆时针椭圆转移轨道，作无动力飞行。往返两过程的椭圆轨道均位于空间站和卫星的圆轨道平面内，且近地点和远地点都分别位于空间站和卫星的轨道上，如图所示。已知地球半径为R

=6.38×106m，地球表面重力加速度为g=9.80m/s2.试求：

e

（1）飞船离开空间站A进入椭圆转移轨道所必须的速度增量Δv A，若飞船在远地点恰好与卫星B 相遇，为了实现无相对运动的捕获，飞船所需的速度增量Δv A.

（2）按上述方式回收卫星，飞船从发射到返回空间站至少需要的时间，空间站A至少需要绕地球转过的角度。

7.为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点到太阳的距离为0．01 AU(AU 为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：l AU=1.495×1011m)，并与地球具有相同的绕日运行周期(为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运动)．试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度u 0。(发射速度是指在关闭火箭发动机，停止对飞船加速时飞船的速度)发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道附近(也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上)进入符合要求的椭圆轨道绕日运行?已知地球半径R e ＝6.37×106 m ，地面处的重力加速度g=9.80m/s 2，不考虑空气的阻力．

8．一宇宙飞船绕地球做圆周运动，圆轨道半径r 0，开动飞船上的喷气发动机可改变运动轨道。假定每次喷气只维持极短的时间，因而喷气时间而忽略；每次喷气后，飞船质量看作不变。喷气后飞船的

动量将发生变化，单位质量的动量改变v m

mv ）

∆=∆(称为比冲量。已知地球半径为R ，质量为M 。

（1）为使飞船从r 0轨道上逃逸地球的束缚，发动机作每一次喷气，试问所需最小比冲量是多少？ （2）在飞船飞行过程中，飞船作第二次喷气，使在半径为r 1的更高的圆轨道上飞行，试问所需比冲量是多少？应向什么方向喷气？

（3）为使飞船从r 1轨道上返回地球，发动机作第三次喷气，要求飞船冲地球表面的切向到达B 点。喷气按两种不同方式进行，一是在A 点向正前方喷气，另一是在r 1轨道上适当地在A ′点向外侧喷气，试分别计算两种方式所需的比冲量。若r 0=2R ，试比较两种比冲量的大小。

9.一艘长为L 、高度可略的长方体形宇宙飞船，在距地心为R 处的圆轨道上运动，运动方向如图所示．设L 《R ，且飞船每绕地心运行一周恰好自转一周，使船身下侧表面始终对着地心． (1)宇航飞船从其头部以u=kv 速率相对飞船垂直向上抛出一个质量小于飞船质量的小球，其中k 《1， 为飞船航行速率．假定而后当小球回到抛离点(对地心参照系)，若又与飞船相遇则做弹性碰撞，在此不考虑小球在其他位置与飞船相碰的可能性．若如此连续发N 次碰撞，在小球第N+1次回到抛离点时不再能与飞船相碰，试确定k 的取值范围． (2)若小球抛出的方向是沿口方向前进，试问k 在什么范围内小球能在绕地球近一周时与飞船相碰?