无理函数的值域问题探究的思维途径

例 ２ 求函数 ｙ＝、 ／
＋１ 一２ｖ ｖ ／ １ ＋１ ／ ０的值域．
解 ：将 所 给 函数 式 变 形 为 Ｙ＝Ｖ （ ～０ ０～、 ５ ） ）＋（ ／
Байду номын сангаас
删 有最大值 ；当（ ，６ 最大时，ｍｔ ｎ Ⅱ ） ｔ＋ ｖ有最小值． 有些求无理函
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、 （ ／ ） ０ 、 ） ／ 一、 ｚ ＋ ／ ｚ，它表示 轴上的动点ｐｘ０到两 ＋（ （，）
ＣＯＳ
设 ａ （ ， ） ｂ （， ） 贝 ｕ 聊＝ ｂ ａＩ ｌ ｌ ： ｍ ｎ， ＝ ｕ 口， ０ ， ｍ ＋ Ⅱ・ ：１ ・６ ・
（ ， ） 若 ｌ Ｉ ｂｉ ｎ ． ａ ，１ 均为定值 ，则 ｍ ＋ ｕ ｎ 是 ， ＞ 西 的函数 ，
由余 弦 函数在 ［ ，耵］ ０ 上单调递减可知 ，当（ Ⅱ，ｂ 最小时 ，ｍｕ＋ ）
当 ４＝｝时 ‰＝１ ０ ＿ 一 ， 一 ＂ ｒ ．
于是 Ｙ 一 ，２ ∈［ １ ＋１． ］ ’
【 评注】 （） ／ 而 ｆ ｘ ：、
＋
（ 与 ｃ同号） 型或可判 。
断其 单调 性 ，均 可 以用 此法 ． 二 、走 两 点 间 的距 离 之 路
【 注】 我们要注 意，运用 三角代换 时，对角 的范围要进行 评
所以 ２ｎ， ｆｆ，１， 设 ＝ｓ０ ｉ 一＿ 了ｆ ＿ ７ ， ＂
同为单调 递增 函数 ，所 以
则Ｙ ２ｎ＋ ＋ｃ ０ ２ ｓ ０ Ｉ） ｌ ：ｓ０ １ ２ｓ＝ ｉ ＂ ＋ ， ｉ ｏ ｎ Ｔ
在其定义域上是单调递增 函数 ，故
可 以利 用 函数 的 单调 性 求 出最值 ．
时，答错 率高 ，许多学生感到困难很大 ，不知从何人手．如何走 进无理 函数 的值域？探究 的思维途径何 在？本文试 图通 过实例 对此问题作一些探求．
一
、
走单调性之路 的值域 ．
解 ：因为 的取值范围为一 ≤２ ２≤ ．
例 １ 求函数 厂 ＝￣一＋９ ＋、 （） ／ ｘ ／ 分析 ：由于、 ／ 厂 （ ＝、 ） ／ ＋、 ／ 与 、 ｖ ／
． （） １ 由图中数据可得出 Ａ＝３ ，ｈ＝１ ，Ｔ＝１ ， ： ，∞＝ ． 答案为选项 Ｃ ０ ２ ０
０
类题 演 习 ２
得 函数 式 为 Ｙ ｓ ． ＋１ ． ＝３ｉ！ ｎ ０
因 一 手， 以 ≤ ＋ ｝ ， 为手≤ ≤ 所 一一 ｐ｝≤ 竹
因 当 ＋ 罟时 ＝ 、 １ 为 ｝＝ －， ２／ ， ＋
解 ：因为其定义域为［ ９ 。） 一 ，＋ 。 ， 又易知函数 厂 ） （ 在区间 ［ ９ 。）上是增 函数 ， 一 ，＋ 。
所以当 ：一 ９时，［ （ ］ ２ 厂 ） ，无最 大值 ， 故所求函数 ｆ（ ） ｘ 的值域为［ ，＋ ） ２ ．
±、 ／
＿ 型，可 以用此法． ＿
在求有些无 理函数的值域 时 ，如果 自变量 的取值范 围与
某 个 三 角 函数 的 值 域 有 着 某 种 联 系 ，那 么 我 们 可 以通 过 适 当 的
三角换元 ，借助有关 的三角恒等式 ，将原 函数 的最值 问题化 归 为三角 函数 的值域问题 ，从而得到巧妙的解答 ． 例 ３ 求 Ｙ ＋１ ： ＋ ＝ 的最值．
２１ ０ １年
第 ５期
Ｊｕ ｎ ｌｏ ｈｎ ｓ ｔｅ ｔ ｓ Ｅ ｕ ａｉｎ ｏ ｒａ ｆＣ ｉｅｅ Ｍａｈ ｍａｉ ｄ ｃ ｔ ｃ ｏ
Ｎ ２ １ ０５ ０ １
摘 要 ：无 理 函数 的值 域 问题 是 高 中数 学 的难 点 、 重 点 ．也 定点 Ａ（ ，＼ ） Ｂ（ ／ ，一 ／ ） ０ ／ 和 、 、 是各级各类考试的热点．这类问题 内涵丰 富，题型灵活多样 ，解 的距离 之和 ，求 此无理 函数 的值 域化 法灵活多变，可以说没有通性通法 ，没有统一的规律 可遵循 ．为 归为求此距离之和的最值．如图 １ ，由
合理 的限制 ，使之 与 的取值 范 围一致 ， 以免在解题 过程 中发
生错 误 ．
对于有些 无理 函数 的值 域 的问题 ，巧妙地应用平 面上两点 问的距离 公式 ，可 以起 到化难为易 、化 繁为简 的作用 ，同时借
四 、走 向量 之 路
助于几何直观 ，使 问题得到顺利解答 ．
ｙ
７Ｉ／ ，＿ ） （５ ０ 、
＼
此 ，试图对常规典 型题给 出 ６种基 本的 、重要 的、常见的、 常 三角形的性质得 Ｙｍ Ａ ＿ ，而无 ｍ：ｆＢ Ｉ ５ 用 的 方 法 ，希 望 能抛 砖 引 玉． 最 大值 ．所 以所求 函数 的值 域 为 ＇ｅ ， 关键词 ：无理 函数 ；值域问题 ；实例评析 ；求解策略 求无理 函数的值域 的问题 是高 中数 学的重点 、难 点 ，也是 各级各类 考试 的热点 ，这类 问题 内涵丰 富 ，灵活多变 ，涉及多
个 知 识 点 ，技 巧 性 强 ，综 合性 强 ，解 法 灵 活 且 多 种 多样 ，可 以 说 没 有通 性 通 法 ，没有 统 一 的规 律 可 遵 循 ． 生 在 解 决 这 类 问 题 学
『 。＋ ． ５ ∞）
＼
互
Ｄ， 、
１
【 评注】＿ ＝ ／ 厂 ） 、 （
三、走 三角换元之路
收稿 日期 ：２ １－ １ １ ０ １０ — ３
作者简介 ：武增明 （ ６ 一 ，男，云南省玉溪人 ，中学 高级教师 ，玉溪市数 学学科带头人 ，主要从事 高中数 学教学及其研 究 １ ５） ９
４ ０
数据作 出图象 （ 即散 点 图） ，如图 １ ，由图象可联想用 函数 Ｙ＝ 开始逐步增加 ，达到最大后慢慢减小 ，有 一段 的减小速度很小 ， １ Ａ ｉ（ ｘ＋ ＋ｈ来刻划水深与时间之 间的对应关系． ｓ ｗ ） ｎ 其 图象在最 大值 的两端不是对 称的 ，因而也 不可选 ；由此得到