两角和与差的正弦、余弦和正切公式专题及解析

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

教学目标1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

知识梳理

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

ｓin(α±β)=sinαcｏsβ±cｏsαｓinβ.

ｃoｓ(α∓β）＝cｏsαcosβ±siｎαsｉnβ.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2α＝2ｓｉｎαｃoｓα.

cos２α＝ｃos2α-sｉｎ2α＝2cos2α－１=1－2sin２α.

3.有关公式的逆用、变形等

(1）tan α±tａnβ＝tａｎ(α±β)(１∓tanαtanβ).

(3)1＋ｓin 2α=(sinα+ｃｏsα）２，1-sｉn 2α＝(siｎα-ｃoｓα)2，

siｎα±cosα＝＼r(2)sin错误!.

4.函数f(α)＝a sｉnα+ｂcoｓα(a，b为常数)，可以化为ｆ（α）＝＼r(a2＋b2）si

ｎ(α+φ)错误!或f (α)＝错误!·cos(α-φ)错误!．

诊 断 自 测

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示

(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( )

（２)存在实数α，β，使等式sin （α＋β）=si ｎ α＋s ｉｎ β成立.（ ) （３）公式tan(α＋β）＝错误!可以变形为tan α＋ｔan β

＝t ａｎ(α＋β)（1－ｔan αtan β),且对任意角α，β都成立．( ）

(4)存在实数α,使ｔan 2α=2t ａn α．( )

解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α,β，α+β≠＼ｆ（π，2)+k π,ｋ∈Z .

答案 (１)√ (２)√ (3）× （4)√

2.(2０１６·全国Ⅲ卷）若t ａn θ=-错误!,则co ｓ 2θ=（ )

Ａ．-错误! B ．－错误! ﻩ Ｃ.错误! Ｄ.错误!

解析 c ｏs 2θ＝c ｏs 2θ－si ｎ2θ=错误!=错误!＝错误!.

答案 D

3.（2０15·重庆卷)若tan α=13，t ａn(α＋β)=1２

,则ta ｎ β等于( ） Ａ.1７ B.错误! Ｃ.错误! D ．错误!

解析 tan β=t ａｎ［(α+β)－α]＝错误!

=错误!=错误!,故选Ａ.

答案 A

4.(２017·广州调研)已知sin α＋cｏｓα＝错误!，则ｓin2错误!=()

A.错误!B．错误!Ｃ．错误!ﻩ D.错误!

解析由sin α＋ｃoｓα＝错误!两边平方得1＋siｎ2α=错误!，解得sin 2α=－＼ｆ（8,9），所以ｓiｎ２错误!＝错误!=错误!=错误!=错误!，故选B.

答案 B

5.(必修4P137A13(５)改编)ｓin3４7°ｃｏｓ１4８°+siｎ７7°·cｏｓ58°＝_＿__＿_＿_.

解析ｓin347°cｏs１4８°+ｓin ７7°coｓ５8°

=sin(2７0°＋77°)cｏｓ（90°＋５８°)＋ｓin 77°coｓ58°

=（-ｃos 77°)·(-sin ５8°)+siｎ7７°cos ５8°

＝siｎ58°cｏｓ77°+cos 5８°ｓin7７°

=ｓin(58°＋7７°）＝siｎ135°＝错误!.

答案＼r(2) 2

考点一三角函数式的化简

【例１】(1)(201６·合肥模拟）cos（α＋β)cｏｓβ＋sin(α＋β)sin β=( ）A.ｓin(α+２β) ﻩB.sin α

C.cｏｓ(α+2β) ﻩ

D.cosα

（２）化简:错误!(0＜α<π)＝＿＿_____＿．

解析（1)ｃos(α＋β）cｏs β＋siｎ(α＋β)sｉnβ＝cos［(α+β)-β]＝cos α.

(2)原式＝错误!

＝错误!＝错误!.

因为0<α<π,所以0<错误!<错误!，所以coｓ错误!>0，所以原式=cos α. 答案(1）D(2)cos α

【训练１】(1）＼r(2＋2cos 8)+21－sin 8的化简结果是__＿__＿_＿. （2)化简:错误!＝_＿______．

解析(1)原式＝＼r（4cｏs24)＋２＼r（(sin 4－cos 4)2）

＝2|cｏs 4|＋２|sin4-ｃoｓ4｜，

因为错误!π<４<错误!π,所以coｓ4<0,且siｎ4＜cos 4,

所以原式＝-2ｃos4－2(ｓin 4－cos ４)=－2ｓin 4.

(２)原式＝错误!

＝错误!＝错误!

=cos２2α

2cos 2α

=＼f（1,２）cos 2α.

答案（１)-2sin4(２)错误!cos 2α

考点二三角函数式的求值

【例２】(1)[2ｓｉn ５0°+sｉn 10°（1＋错误!tan １0°)]·错误!=_____＿__．(２)已知ｃoｓ错误!=错误!,错误!＜α<错误!，则错误!的值为________.

（３）已知α,β∈（0，π）,且tan(α-β)=错误!,ｔaｎβ＝-错误!，则2α-β的值为___＿____.

解析(1)原式＝（2sin ５0°＋ｓiｎ10°·错误!)·

＼r（2)sin 80°＝（２sin 5０°+2sin 10°·错误!)·

2cos １０°＝２＼r(2)[sin 5０°·coｓ10°+sin 10°·cos(60°－10°)]