勾股定理的应用专题

英飞教育数学经典课题习题系列

勾股定理的应用专题

一、选择题

1．直角三角形两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的高是（）．

A．5 B．1 C．1．2 D．2．4

2．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）．

A．12米B．13 米C．14米D．15米

3．△ABC中，AD是高，AB=17，BD=15，CD=6，则AC的长是（）．

A．8 B．10 C．12 D．13

4．一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（）组．

~

A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，4

5．如果直角三角形有一直角边是11，另外两边长是连续自然数，那么它的周长是（）．

A．121B．132C．120D．110

二、填空题

6．求下列直角三角形中未知边的长度：

b=______ c=______．

7．△ABC中，∠C=90°，c+a=，c-a=5，则b=_____．

8．如图1，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸减去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为_______．

|

图1 图2 图3

9．王师傅在操场上安装一副单杠，要求单杠与地面平行，杠与两撑脚垂直，如图2所示，撑脚长AB、DC为3m，两撑脚间的距离BC为4m，则AC=____m就符合要求．

10．如图2，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动_____米．

11．如图4是一长方形公园，如果某人从景点A走到景点C，则至少要走_____米．

图4 图5

12．一个等腰直角三角形的面积是8，则它的直角边长为______．

13．如图5，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S 1、S 2、S 3之间的关系是______．

（

三、解答题（14题7分，15题8分，16、17各10分）

14．如图所示，在一块正方形ABCD•的布料上要裁出四个大小不同的直角三角形做彩旗，裁剪师傅用画粉在CD 边上找出中点F ，在BC 边上找出点E ，使

EC=14

BC ，•然后沿着AF 、EF 、AE 裁剪，你认为裁剪师傅的裁剪方案是否正确若正确，给予证明，若不正确，请说明理由．

15．如图所示，长方形纸片ABCD 的长AD=9cm ，宽AB=3cm ，将其折叠，•使点D 与点B 重合． 求：（1）折叠后DE 的长；

（2）以折痕EF 为边的正方形面积．

C 'D

C

B

A F E D C

B A

~

16. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是

17．如图6，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米，（即BC=140米），其结果是他在水中实际游了500米（即AC=500米），求该河AB处的宽度．

图6

18．如图7，根据图上条件，求矩形ABCD的面积．

.

图7

19．如图8，一艘轮船以16海里/时的速度离开港口O，向东南方向航行，另一艘船在同样同时同地以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口半小时分别到达A、B，求A、B两点的距离

图8

20．为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在如图9所示AB所在的直线上建一图书阅览室，本

社区有两所学校所在的位置在点C和D处．CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：阅览室E应建在距A多少㎞处，才能使它到C、D两所学校的距离相等

、

图9

参考答案：

一、1．D 2．A 3．B 4．C 5．B

二、6．12，26;7．7; 8．20cm(提示:延长AB，DC构成直角三角形);9．5; 10．2 ; 11．370; 12．4; 13．S1+S3=S2．

,

三、

14．方案正确，理由:

裁剪师的裁剪方案是正确的，设正方形的边长为4a，则DF=FC=2a，EC=a．

在Rt•△ADF中，由勾股定理，得AF2=AD2+DF2=（4a）2+（2a）2=20a2；

在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2；

在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2=（4a）2+（3a）2=25a2．

∴AE2=EF2+AF2，由勾股定理逆定理，得∠AFE=90°，

∴△AFE是直角三角形．

15．提示：设DE长为xcm，则AE=（9-x）cm，BE=xcm，

(

那么在Rt△ABE中，∠A=90°，∴x2-•（9-x）2=32，

故（x+9-x）（x-9+x）=9，即2x=10，那么x=5，即DE长为5cm，

连BD即BD与EF•互相垂直平分，即可求得：EF2=12cm2，

∴以EF为边的正方形面积为144cm2．

16.考点：平面展开-最短路径问题。

分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

解答：解：将长方体展开，连接A、B，

根据两点之间线段最短，AB==25．17．解：在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，

?

所以AB2+1402=5002，

解得AB=480．

18．解：在Rt△ADE中，

AD2=AE2+DE2=82+152=172，

所以AD=17，

所以矩形的面积是17×3=51(cm2)．

19．AB2=OA2+OB2=82+62=100，所以AB=10．

20．解：设阅览室E到A的距离为x㎞．连结CE、DE．在Rt△EAC和Rt△EBD中，CE2=AE2+AC2=x2+152，

DE2=EB2+DB2=（25-x）2+102．因为点E到点CD的距离，所以CE=DE．所以CE2=DE2．

即x2+152=(25-x)2+102．所以x=10．

因此，阅览室E应建在距A10km处．