正多边形的性质

24．6.2 正多边形的性质

1．正三角形有三条对称轴．

2．正三角形ABC 的边长为a ，则其外接圆的半径为33a ，内切圆半径为36

a . 新课早知 1．定理：任何正多边形都有一个外接圆和内切圆，这两个圆同心． 2．把一个正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，正n 边形的每个中心角都等于360°n . 3．正多边形都是轴对称图形．如果正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形．

正多边形的有关计算

【例1】如图，正n 边形边长为a ，边心距为r ，求：正n 边形的半径R ，周长P 和面积S.

分析：正多边形都有一个外接圆，利用外接圆求解，将正多边形的问题转化为解直角三角形问题．

解：如图，∵OM ⊥AB 于M ，

∴AM ＝BM ＝12AB ＝12

a . 在Rt △AOM 中，R ＝

OM 2＋AM 2 ＝r 2＋(12a )2＝r 2＋14

a 2. ∵正n 边形边长为a ，

∴正n 边形周长P ＝na .

∵△AOB 的面积＝12AB ×OM ＝12

ar ，在正n 边形中，这样的三角形共有n 个，正n 边形面积S ＝12

nar . 点拨：正n 边形的半径R ，边心距r 和边长的一半恰好构成直角三角形，在正n 边形中，共有2n 个这样的直角三角形．

【例2】如图(1)，求中心在坐标原点O ，顶点A 、D 在x 轴上，半径为4cm 的正六边形AB CDEF 的各个顶点的坐标．

分析：根据正六边形的半径可直接得出点A 和点D 的坐标，连接OB 、OC ，构造出直角三角形OBG ，求出点B 的坐标，根据正六边形的对称性可求出其他各顶点的坐标．

解：连接OB 、OC ，如图(2)．

∵六边形ABCDEF 是正六边形，

∴∠BOC ＝(3606

)°＝60°. ∵OB ＝OC ，∴△BOC 为正三角形．

又∵正六边形关于y 轴对称，

∴∠BOG ＝30°.

在Rt △BOG 中，∠OGB ＝90°，OB ＝4 cm ，BG ＝12

BO ＝2 cm ， OG ＝OB 2－BG 2＝42－22＝23(cm)．

∴点B 的坐标为(－2，－23)．

由正六边形的轴对称性和中心对称性可知C(2，－23)、E(2,23)、F(－2,23)、A(－4,0)、D(4,0)．

点拨：利用正多边形的半径、边心距和边长的一半组成的直角三角形是求正多边形中的有关线段的长，解决正多边形计算题的常用的方法．

1．如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC ∥QR ，则∠AOQ 等于( )．

A ．60°

B ．65°

C ．72°

D ．75°

答案：D

2．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是( )．

A ．等边三角形

B ．正方形

C ．正六边形

D ．圆

答案：A

3．下列说法不正确的是( )．

A ．圆内接正n 边形的中心角为360°n

B ．各边相等，各角相等的多边形是正多边形

C ．各边相等的圆内接多边形是正多边形

D ．各角相等的多边形是正多边形

答案：D

4．已知正n 边形的周长为P ，边心距为r ，求：正n 边形的面积S.

解：周长P ＝na (其中a 表示正n 边形的边长)，正n 边形面积S ＝12

nar ， 所以正n 边形面积S ＝12nar ＝12

P r . 5．如图，要在圆形的铁片上剪出一个边长为a 的正三角形的铁片，圆形铁片的半径至少是多少？

解：连接OB 、OC ，过点O 作OD ⊥BC 于点D. ∵△BAC 是正三角形，

∴∠BOC=(360°3

)°=120°. ∵OB=OC ，OD ⊥BC 于点D ，

∴∠BOD=60°，∠OBD=30°，BD=12BC=12

a . 设OD=x ，则OB=2x .

在Rt △BOD 中， OB 2－OD 2=(12a )2，(2x )2－x 2=214

a ，

∵x 为正数，解得x ，OB=2x a .

.