排队系统分析(全)

∞
(如电话呼唤)
m (如车间里待修理的机器)
1.
输入过程
（2）到达规律：指到达间隔时间T 的分布
分为
• 定长 D • 负指数 M • k阶爱尔朗 Ek
2. 排队规则
排队规则是指顾客到达系统后排队等 候服务的方式和规则。可分为三种类型： （1）损失制
指顾客到达时若所有服务设施均被占用，则顾 客自动离去。
⎧ P0 = 1 − ρ ⎨ n P P0 ρ = ⎩ n
系统运行指标 （1）Ls与Lq
∵ Ls 表示系统中的平均顾客数，由期望定义， ∴ Ls = ∑ nPn
n=0 ∞
= ∑ nρ n (1 − ρ ) =
n=0
∞
=
ρ
1− ρ
=
λ μ −λ
（1）Ls与Lq
Lq = ∑ ( n − 1) Pn = ∑ nPn − ∑ Pn = Ls − (1 − P0 )
因为到达为泊松流，所以 t 时段内没有来顾客的概率为
P0 ( t )
λt ) ( =
0!
0
e − λt = e − λt
所以，t 时段内有顾客到来（即间隔 T ≤ t ）的概率为 ⎧1 − e − λt t≥0 FT (t ) = P(T ≤ t ) = ⎨ t<0 ⎩0 到达数为泊松流 到达间隔服从负指数分布（同参数）
第五章
第一节 第二节 第三节 第四节
排队系统分析
排队的基本概念 到达与服务的规律 M/M/1排队模型 M/M/C及其他排队模型
（Queuing Systems Analysis）
第一节 排队的基本概念
一.排队系统的组成
服 务 机 构
顾 客 源
到达
队列
离去
第一节 排队的基本概念
现实世界中形形色色的排队系统
解：
此为标准的 M/M/1 模型，
λ = 4人 / 小 时 ， μ =
1 人 / 分 钟 = 10人 / 小 时 ， 6 λ 2 = 。 ρ = μ 5
3 (1) P0 = 1 − ρ = ; 5 2 3 (2) P3 = ρ 3 (1 − ρ ) = ( )3 ( ) = 0.0384; 5 5 2 (3) 1 − P0 = ; 5 4 2 λ (4) Ls = ; = = (人） μ −λ 6 3 (5) Ws = 1 Ls = (小时） ; λ 6 2 2 4 (6) Lq = Ls − ρ = − = (人） ; 3 5 15 1
ρ ≠1 ρ =1
λe
， 。
λe 其中 λe = λ (1 − PN )为有效到达率。
某修理站只有1个修理工，且站内最多只能停 放3台待修理的机器。设待修理的机器按泊松流到 达，平均每小时到达1台；修理时间服从负指数分 布，平均每1.25小时可修理1台。 试求：（1）站内空闲率； （2）顾客损失率； （3）有效到达率； （4）站内平均队长； （5）机器为修理而需等待的平均时间。
n =1 n= 0 n =1
∞
∞
∞
= Ls − ρ
问题： 为什么 Ls − Lq = ρ < 1(而不是 = 1）呢？
——因为是均值。
（2）Ws与Wq
逗留时间WS 服从参数为μ − λ 的负指数分布，而负指数 分布的均值等于其参数的倒数，故平均逗留时间 1 Ws = μ −λ 平均等待时间等于平均逗留时间减去平均服务时间，即 Wq = Ws − 1
(7) Wq = Ws −
1
μ
=
1 1 1 − = (小时） ; 6 10 15
1 − (10 − 4) 1 1 1 4 = e −1.5 = 0.223。 (8) P (W ≥ ) = 1 − P (W < ) = 1 − F ( ) = e 4 4 4
例2考虑一个铁路列车编组站，设待编列车到达 时间间隔服从负指数分布，平均每小时到达２ 列；编组站的编组时间也服从负指数分布，平均 每20分钟可编一组。该编组站内共有2股车道，当 均被占用时，再来的列车只能停在站外或前方 站。 (1) 求该编组系统中列车的平均数，每一列车的 平均停留时间和等待编组的列车平均数。 (2) 如果列车因站内的2股车道均被占用而停在站 外或前方站时，每列车的费用为每小时a元，求每 天由此而造成的平均费用损失。
三.排队问题的求解
2 . 逗留时间和等待时间
逗留时间： 一个顾客在系统中的停留时间，记为W，其均值记为Ws。 等待时间： 一个顾客在系统中排队等待的时间，记其均值为Wq 。
第二节
到达的规律
到达与服务的规律
⎧ ⎪到达间隔（时间） 描述顾客到达规律可从两方面 ⎨ ⎪ ⎩到达数（数量）
现实中有许多服务系统，其顾客的到达具有下述特征： （1）无后效性：不想交的时间区间内到达顾客数相互独立； （2）平稳性：增量与时间起点无关； （3）稀有性：瞬时内只可能有1个顾客到达。
¾进一步：负指数分布的密度函数为:
⎧λe − λt , t ≥ 0 f T (t ) = ⎨ t <0 ⎩0, 1 参数 λ 即其均值的倒数。因此， λ 的含义是平均间隔时间，
这与 λ 为单位时间到达系统的平均顾客数的含义一致。
服从负指数分布的情形：
高度耐磨损的电子元器件
假若 T 表示某种电子元件的寿命，则当元件已使用了 t0 时 间后估计它还能再使用时间的概率，与它全新时估计用 时间的概率一样，即它对已使用了的 t0 时间无记忆。说 明这种元件是高度耐磨损的。
3.服务机构
（1）服务台个数 C ⎨
对服务机构的研究内容主要有服务设 施（称为服务台）的数量和服务的规律。 ⎧= 1
⎩> 1
(并列多台)
（2）服务规律：指服务时间 v 的分布 分为 • 定长 D • 负指数 M • k阶爱尔朗 Ek • 一般分布 G
二. 排队模型的表示
（X/Y/Z/A/B/C）
本例可看做一个标准的M/M/1系统，λ=2 列/h, 1 列/min=3 列/h, μ=
20
ρ=
λ 2 = μ 3
编组系统中列车的平均数
Ls =
ρ
1− ρ
=
3 1− 2
2
= 2 3
列车的平均停留时间
Ws = Ls
λ
=
2 =1 2
等待编组的列车平均数
Lq = Ls − ρ = 2 − 2 4 = 3 3
每天由于列车站外等待而造成的费用损失：
⎛2⎞ − = × × P a 24λWs (1 − P0 − P ) 24 2 1 2 ⎜ ⎟ a = 14.2a ⎝3⎠
3
二.系统容量有限的M/M/1模型（M/M/1/ N / ∞ ）
1.与（M/M/1/∞ / ∞ ）的区别
(1) 系统状态 n = 0， 1， ，N ;
N /∞/
LCFS）表示：
到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分布，C 个服务台，系统容量为N，顾客源无限，后到先服务。
若只讨论先到先服务的情况，可略去第6项。
三.排队问题的求解
描述系统运行状态的指标： 1. 队长和排队长
队长：系统中的顾客数；其概率分布称状态概率，记为 Pn，表示系统中有n个顾客的概率；队长的平均值记为Ls。 排队长：系统中正在排队等待的顾客数，记其均值为Lq。
⎧λP0 = μP1 ⎨ ⎩λPn−1 + μPn+1 = ( λ + μ ) Pn , n ≥ 1
λ ⎧ ⎪ P0 = 1 − μ ⎪ ⎨ ⎪ P = ( λ ) n (1 − λ ), n ≥ 1 n ⎪ μ μ ⎩
（2）由平衡方程解得状态概率
记
λ = ρ ，称为服务强度，规定 ρ < 1，则 μ
到达的顾客
不能运转的机器 修理技工 电话呼唤 病人 驶入港口的货船 来到路口的汽车 进入餐馆的顾客
要求服务内容
修理 领取修配零件 通话 就诊 装货或卸货 通过路口 就餐
服务机构
修理技工 发放零件的管理员 交换台 医生 码头(泊位) 交通警或红绿灯 餐位的服务员
1.
输入过程
输入过程是指顾客到达排队系统的过程，对 此我们主要讨论两方面内容： （1）顾客源：分为 • 无限 • 有限
火车站排队.flv
X：顾客到达时间间隔的分布 Y：服务时间的分布 Z：服务台个数 A：系统容量 B：顾客源数量 C：服务规则
二. 排队模型的表示
M / M / 1 / ∞ / ∞ / FCFS）表示：
到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分布，1 个服务台，系统容量也无限，顾客源无限，先到先服务。 （M / M / C /
献血排队
2. 系统状态概率
（1）利用状态转移图列出平衡方程
λ
0 1
λ
2
λBaidu Nhomakorabea
...
n-1 n
λ
n+1 ...
μ
μ
μ
μ
由此列出平衡方程：
⎧ λ P0 = μ P1 ⎨ ⎩ λ Pn−1 + μPn+1 = ( λ + μ ) Pn , n ≥ 1
（2）由平衡方程解得状态概率
由平衡方程： 可解得状态概率：
负指数分布满足无后效性
证：由条件概率公式得
P ( T > t0 + t ) ∩ ( T > t0 ) P ( T > t0 + t T > t0 ) = P ( T > t0 ) P ( T > t 0 + t ) e − λ ( t0 + t ) − λt = = − λ t0 = e = P ( T > t ) P ( T > t0 ) e
二. 服务的规律
主要是采用系统对顾客服务时间v的分步。主要 讨论服务时间 v 服从负指数分布的情形，即
⎧ μ e − μt , t ≥ 0 fv ( t ) = ⎨ t<0 ⎩ 0,
平均对每位顾客的服务时间为 参数 μ 的含义——服务率 注：负指数分布的一般化——爱尔朗分布，可用于描 述由道程序组成的 k 个服务台的服务时间的分布。
2. 状态转移图
λ
0 1
λ
2 ... n-1
λ
n
λ
n+1 ... N-1
λ
N
μ
μ
μ
μ
μ
由此列出平衡方程： ⎧ λ P0 = μ P1 ⎪ ⎨ λ Pn −1 + μ Pn +1 = ( λ + μ ) Pn , n = 1, ⎪λP = μP N ⎩ N- 1
, N -1
1− ρ ⎧ ⎪ P0 = 1 − ρ N + 1 ⎨ ⎪P = ρ nP 0 ⎩ n
μ
（3）上述4个指标之间的关系——里特公式
Ls = λWs Lq = λWq
λ Ls − Lq = μ
Ws − Wq = 1
μ
一般的系统中需将到达率λ修改为有效到达率λe
例1 某修理店只有一个修理工人，来修理的顾 客到达数服从泊松分布，平均每小时4人；修理时间 服从负指数分布，平均需6分钟。 求：（1）修理店空闲的概率； （2）店内有3个顾客的概率； （3）店内至少有1个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）顾客在店内的平均逗留时间； （6）等待服务的顾客平均数； （7）平均等待修理时间； （8）必须在店内消耗15分钟以上的概率。
ρ = 1 : P0 = P1 =
n = 1, 2, 1 = PN = N +1
,N
3. 系统运行指标
⎧N ρ ( N + 1) ρ N +1 − ⎪∑ nPn = 1− ρ 1 − ρ N +1 ⎪ n =0 Ls = ⎨ ⎪N ⎪ ⎩2 Lq = Ls − (1 − P0 )， Ws = Wq = Ls Lq
现实中的例子： •程控电话交换系统 •知识竞赛的抢答环节
2. 排队规则
（2）等待制
指顾客到达时若所有服务设施均被占用，则留下 来等待，直至被服务完离去。 等待的服务规则又可分为：
• 先到先服务（FCFS）
• 后到先服务（LCFS） • 带有优先权的服务（PS）
2. 排队规则
（3）混合制
是损失制和等待制的混合。允许排队但不允 许队列无限长；或允许等待但不允许等待时间无 限长。 • 系统容量有限制：码头的泊位 • 等待时间有限制：医院的专家号
医院排队视频 幼儿园入园视频
⎧ λ, 当 n < N (2) 进入系统的速率 ⎨ ⎩0, 当n ≥ N
故平均到达率 λe = λ (1 − PN ) + 0 PN = λ (1 − PN )
注：由于系统稳态时应达到统计平衡，即进入速率应等于 离 去 速 率 ， 故 λ (1 − PN ) = μ (1 - P0 ) 。
1
μ
第五章
第一节 第二节 第三节 第四节
排队系统分析
排队的基本概念 到达与服务的规律 M/M/1排队模型 M/M/C及其他排队模型
（Queuing Systems Analysis）
第三节
M/M/1 排队模型
一、标准的M/M/1模型（M/M/1/ ∞ / ∞）
1.问题的一般提法
设：泊松输入/负指服务/单服务台/系统无限制/顾客源无限制 求：（1）系统状态概率Pn； （2）系统运行指标Ls，Lq，Ws，Wq。
到达的规律
称具有上述特征的输入为泊松流，其在 t 时段内到达 n个顾客的概率为
(λ t ) n − λ t Pn (t ) = e , n = 0,1, n! ; λ >0
即参数为 λt 的泊松分布。
¾
讨论： λ的含义？ 单位时间到达系统的平均顾客数，即到达率。
¾ 问题：当顾客按泊松流到达时，其到达的间隔时间T 是服从什么分布呢？