第五章图与网络分析-基础

破圈法： 任选一个圈，从圈中去掉权
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最大的一条边。在余下的图
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中重复这个步骤，直到得到
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一不含圈的图为止。
• 哥尼斯堡七桥问题 (欧拉回路)/环球旅行问题(哈密尔顿回路)
/中国邮路问题 • 欧拉Euler (1707-1783) 在1736年发表第一篇图论方面的论文，
奠基了图论中的一些基本定理 • 很多问题都可以用点和线来表示，一般点表示实体，线表
示实体间的关联
A D
C
C
B
A
D
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B
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一、图与网络的基本概念
边上具有表示连接强度 的权值，如 wij 又称加权图(Weighted
graph)
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e12
e'13 e13
e24
e34
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e22
v5 e45
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无向图与有向图
• 边都没有方向的图称为无向图 • 在无向图中 eij=eji，或 (vi, vj)=(vj, vi) • 当边都有方向时，称为有向图，用G(V,A)表示 • 在有向图中，有向边又称为弧，用 aij表示，i, j 的顺序
• 在无向图中，节点不重复出现的链称为路径(path)；在 有向图中，节点不重复出现且链中所有弧的方向一致， 则称为有向路径(directed path)
• 首尾相连的路径称为回路(circuit)；
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连通图，子图，成分 • 设有两个图 G1(V1, E1), G2(V2, E2), 若V2 V1, E2 E1，
第五章 图与网络分析
图是最直观的模型
图论是交通系统分析中的重要工具 图论在交通系统规划、管理中作用大 图论是对实际交通网络进行抽象分析的重要手段
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苏州市规划公交线路网
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大量的工程对象无法研究实物 只能进行抽象
道路网、公交线网等
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图论 Graph Theory
• 一般研究无向图 • 树图：倒置的树，根(root)在上，树叶(leaf)在下 • 多级辐射制的电信网络、管理的指标体系、家谱、分
类学、组织结构、路网布局等都是典型的树图
C1 根
C2 C3 C4
叶
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树的定义及其性质
• 任两点之间有且只有一条路径的图（无圈的连通图）称 为树(tree)，记为T
• 链，圈，路径(简称路)，回路都是原图的子图
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V2
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V2
V4
V1
V1 V6
百度文库V6
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（a）
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（b）
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（c）
（d）
b,c,d均为a的子图，b为a的部分图，c,d 为a的真子图
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子图
真子图
部分图
基础图(母图) 真子 图
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树图与最小部分树
是不能颠倒的，图中弧的方向用箭头标识 • 图中既有边又有弧，称为混合图
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端点，关联边，相邻，次
• 图中可以只有点，而没有边；而有边必有点 • 若节点vi, vj 之间有一条边 eij，则称 vi, vj 是 eij 的端点
(end vertex)，而 eij 是节点 vi, vj 的关联边(incident edge) • 同一条边的两个端点称为相邻(adjacent)节点，具有共同
则 G2 是 G1 的子图 • 若V2V1， E2 E1,称G2为G1的真子图 • 若V2=V1， E2 E1,称G2为G1的部分图
• 无向图中，若任意两点间至少存在一条路径，则称为 连通图(connected graph)，否则为非连通图( disconnected graph)；非连通图中的每个连通子图称为成分 (component)
• 部分树一定是部分图，但部分图不
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v4 e5
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一定是部分树。
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e1
e6 e4
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破圈法
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避圈法
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最小部分树（支撑树）
给图G中的每一条边[vi，vj]一个相应的数ij，则称G为 赋权图。在赋权图G的所有支撑树中，必有某个支撑树，其 所有边的和为最小，称为最小树。求赋权图G的最小支撑树 的方法也有两种,“破圈法”和“避圈法”。
端点的边称为相邻边 • 一条边的两个端点相同，称为自环(self-loop)；具有两个
共同端点的两条边称为平行边(parallel edges) • 既没有自环也没有多重边的图称为简单图(simple graph) • 在无向图中，与节点相关联边的数目，称为该节点的
“次”(degree)，记为 d ；次数为奇数的点称为奇点 (odd),次数为偶数的点称为偶点(even)；图中都是偶点的 图称为偶图(even graph)
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端点，关联边，相邻，次 • 有向图中，由节点指向外的弧的数目称为正次数，记为
d+，指向该节点的弧的数目称为负次数，记为 d– • 次数为 0 的点称为孤立点(isolated vertex) ，次数为 1 的
点称为悬挂点(pendant vertex)
链，圈，路径，回路
• 相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)，又称 为行走(walk)；首尾相连的链称为圈(loop)，或闭行走
• 节点 (Vertex)
– 物理实体、事物、概念 – 一般用 vi 表示
• 边 (Edge)
– 节点间的连线，表示有 关系
– 一般用 eij 表示
• 图 (Graph)
– 节点和边的集合
– 一般用 G(V,E) 表示
– 点集 V={v1,v2,…, vn} – 边集E={eij }
网络 (Network)
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链、路、树
Q 1v1e1v2e7v5e8v2e5v4
Q 2v1e1v2e2v3e4v4
简单链 初等链
Q 3v1e1v2e5v4e6v5e9v1 初等圈
路(通路) 初等路 初等回路
树
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图的部分树（支撑树）
• 图T=（V，E‘）是图G=（V，E）
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e6 e4
的支撑子图，若图T是一个树，则 称T是G的一个支撑树 ；
• 树图G=（V,E）的点数记为p，边数记为q，则q=p-1。
• 树的性质： • 最少边的连通子图，树中必不存在回路 • 任意两节点之间必有一条且仅有一条链 • 任何树必存在次数为 1 的点 • 具有 n 个节点的树 T 的边恰好为 n1 条，反之，任何有
n 个节点， n1 条边的连通图必是一棵树
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