神经网络激活函数(1)

激活函数是用来加入非线性因素的，因为线性模型的表达能力不够。

1.S形函数( Sigmoid Function )

该函数的导函数：

2.双极S形函数

该函数的导函数：

S形函数与双极S形函数的图像如下：

双极S形函数与S形函数主要区别在于函数的值域，双极S形函数值域是(-1,1)，而S形函数值域是(0,1)。

由于S形函数与双极S形函数都是可导的(导函数是连续函数)，因此适合用在BP神经网络中。（BP要求激活函数可导）

3.双曲正切函数

该函数的导函数：

4.ReLu(RectifiedLinearUnits)函数

ReLU: g(x)=max(0,x)

该函数的导函数：

g(x)'=0或1

RELU取代sigmoid 和tanh函数的原因是在求解梯度下降时RELU的速度更快，在大数集下会节省训练的时间

在这里指出sigmoid和tanh是饱和非线性函数，而RELU是非饱和非线性函数。

5.PRELU激活函数

PReLU(Parametric Rectified Linear Unit), 顾名思义：带参数的ReLU。二者的定义和区别如下图：

如果ai=0，那么PReLU退化为ReLU；如果ai是一个很小的固定值(如ai=0.01)，则PReLU退化为Leaky ReLU(LReLU)。有实验证明，与ReLU相比，LReLU 对最终的结果几乎没什么影响。

激活函数通常有如下一些性质：

•非线性：当激活函数是线性的时候，一个两层的神经网络就可以逼近基本上所有的函数了。但是，如果激活函数是恒等激活函数的时候（即f(x)=x），就不满足这个性质了，而且如果MLP使用的是恒等激活函数，那么其实整个网络跟单层神经网络是等价的。

•可微性：当优化方法是基于梯度的时候，这个性质是必须的。

•单调性：当激活函数是单调的时候，单层网络能够保证是凸函数。

•f(x)≈x：当激活函数满足这个性质的时候，如果参数的初始化是random的很小的值，那么神经网络的训练将会很高效；如果不满足这个性质，那么就需要很用心的去设置初始值。

•输出值的范围：当激活函数输出值是有限的时候，基于梯度的优化方法会更加稳定，因为特征的表示受有限权值的影响更显着；当激活函数的输出是无限的时候，模型的训练会更加高效，不过在这种情况小，一般需要更小的learning rate.

Sigmoid

sigmoid 函数曾经被使用的很多，不过近年来，用它的人越来越少了。主要是因为它的一些缺点：

•Sigmoids saturate and kill gradients.（saturate 这个词怎么翻译？饱和？）sigmoid 有一个非常致命的缺点，当输入非常大或者非常小的时候（saturation），这些神经元的梯度是接近于0的，从图中可以看出梯度的趋势。所以，你需要尤其注意参数的初始值来尽量避免saturation的情况。如果你的初始值很大的话，大部分神经元可能都会处在saturation的状态而把gradient kill掉，这会导致网络变的很难学习。

•Sigmoid 的output 不是0均值.这是不可取的，因为这会导致后一层的神经元将得到上一层输出的非0均值的信号作为输入。产生的一个结果就是：如果数据进入神经元的时候是正的(e.g.x>0elementwise in f=wTx+b)，那么w计算出的梯度也会始终都是正的。当然了，如果你是按batch去训练，那么那个batch可能得到不同的信号，所以这个问题还是可以缓解一下的。因此，非0均值这个问题虽然会产生一些不好的影响，不过跟上面提到的kill gradients 问题相比还是要好很多的。

tanh

tanh 是上图中的右图，可以看出，tanh 跟sigmoid还是很像的，实际上，tanh 是sigmoid的变形：

tanh(x)=2sigmoid(2x)1

与sigmoid 不同的是，tanh 是0均值的。因此，实际应用中，tanh 会比sigmoid 更好（毕竟去粗取精了嘛）。

ReLU

近年来，ReLU 变的越来越受欢迎。它的数学表达式如下：

f(x)=max(0,x)

很显然，从图左可以看出，输入信号<0时，输出都是0，>0的情况下，输出等于输入。w是二维的情况下，使用ReLU之后的效果如下：

ReLU 的优点：

•发现使用ReLU 得到的SGD的收敛速度会比sigmoid/tanh 快很多(看右图)。有人说这是因为它是linear，而且non-saturating

•相比于sigmoid/tanh，ReLU 只需要一个阈值就可以得到激活值，而不用去算一大堆复杂的运算。

ReLU 的缺点：当然ReLU 也有缺点，就是训练的时候很”脆弱”，很容易就”die”

了. 什么意思呢？

举个例子：一个非常大的梯度流过一个ReLU 神经元，更新过参数之后，这个神经元再也不会对任何数据有激活现象了。

如果这个情况发生了，那么这个神经元的梯度就永远都会是0.

实际操作中，如果你的learning rate 很大，那么很有可能你网络中的40%的神经元都”dead”了。

当然，如果你设置了一个合适的较小的learning rate，这个问题发生的情况其实也不会太频繁。

Leaky-ReLU、P-ReLU、R-ReLU

Leaky ReLUs：就是用来解决这个“dying ReLU”的问题的。与ReLU 不同的是：

f(x)=αx，(x<0)

f(x)=x，(x>=0)

这里的α是一个很小的常数。这样，即修正了数据分布，又保留了一些负轴的值，使得负轴信息不会全部丢失。

关于Leaky ReLU 的效果，众说纷纭，没有清晰的定论。有些人做了实验发现Leaky ReLU 表现的很好；有些实验则证明并不是这样。

Parametric ReLU：对于Leaky ReLU 中的α，通常都是通过先验知识人工赋值的。

然而可以观察到，损失函数对α的导数我们是可以求得的，可不可以将它作为一个参数进行训练呢？

Kaiming He的论文《Delving Deep into Rectifiers: Surpassing Human-Level

Performance on ImageNet Classification》指出，不仅可以训练，而且效果更好。

公式非常简单，反向传播至未激活前的神经元的公式就不写了，很容易就能得到。

对α的导数如下：

δyi / δα=0，(if yi>0)，else=yi

原文说使用了Parametric ReLU后，最终效果比不用提高了1.03%.