九年级数学上册24.4中位线教案华东师大版
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24.4中位线
教学目标:
1、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程,掌握两个定理,并能利用它们解决简单的问题。
2、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。
3、进一步训练说理的能力。
4、通过学习,进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯;进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点;转化的思想。
教学重点:
经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程,掌握两个定理,并能利用它们解决简单的问题。
教学难点:
进一步训练说理的能力。
教学过程:
一、三角形的中位线
(一)问题导入
在§24.3中,我们曾解决过如下的问题:
如图24.4.1,△ABC中,DE∥BC,则△ADE∽△ABC。
由此可以进一步推知,当点D是AB的中点时,点E也是AC的中点。
现在换一个角度考虑,
图24.4.1
如果点D、E原来就是AB与AC的中点,那么是否可以推出DE∥BC呢?DE与BC之间存在什么样的数量关系呢?
(二)探究过程
1、猜想
从画出的图形看,可以猜想: DE ∥BC ,且DE
=21BC .
图24.4.2
2、证明:如图24.4.2,△ABC 中,点
D 、
E 分别是AB 与AC 的中点,
∴ 2
1==AC AE AB AD . ∵ ∠A =∠A ,
∴ △ADE ∽△ABC (如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似),
∴ ∠ADE =∠ABC ,2
1=BC DE (相似三角形的对应角相等,对应边成比例), ∴ DE ∥BC 且BC DE 2
1= 思考:本题还有其它的解法吗?
已知: 如图所示,在△ABC 中,AD =DB ,AE =EC 。
求证: DE ∥BC ,DE =2
1BC 。 分析: 要证DE ∥BC ,DE =2
1BC ,可延长DE 到F ,使EF =DE ,于是本题就转化为证明DF =BC ,DE ∥BC ,
故只要证明四边形BCFD 为平行四边形。
还可以作如下的辅助线作法。
3、概括 我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,并且有
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。
介绍三角形的中位线时,强调指出它与三角形中线的区别。
(三)应用
例1 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
图24.4.3
已知: 如图24.4.3所示,在△ABC 中,AD =DB ,BE =EC ,AF =FC 。
求证: AE 、DF 互相平分。
证明 连结DE 、EF .因为AD =DB ,BE =EC
所以DE ∥AC (三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半)
同理EF ∥AB
所以四边形ADEF 是平行四边形
因此AE 、DF 互相平分(平行四边形的对角线互相平分)
例2 如图24.4.4,△ABC 中,D 、E 分别是边BC 、AB 的中点,AD 、CE 相交于G 。 求证: 3
1==AD GD CE GE
图24.4.4
证明 连结ED
∵ D 、E 分别是边BC 、AB 的中点
∴ DE ∥AC ,2
1=AC DE (三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半)
∴ △ACG ∽△DEG
∴
2
1===AC DE AG GD GC GE ∴ 31==AD GD CE GE
图24.4.5
小结:
如果在图24.4.4中,取AC 的中点F ,假设BF 与AD 交于G ′,如图24.4.5,那么我们同理有31='='BF F G AD D G ,所以有3
1='=AD D G AD GD ,即两图中的点G 与G ′是重合的。 于是,我们有以下结论:
三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心,重心与一边中点的连线的长是对应中线长的3
1。 [同步训练] 如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点.求证:四边形ADEF 是菱形。
二、梯形的中位线
由三角形的中位线的有关结论,我们还可以得到
梯形的中位线平行于两底边,并且等于两底和的一半.
已知: 如图24.4.6所示,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AE =BE ,DF =CF .
求证: EF ∥BC ,EF =2
1(AD +BC ).
图24.4.6
分析 由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近,可以连结AF ,并延长AF 交BC 的延长线于G ,证明的关键在于说明EF 为△ABG 的中位线。于是本题就转化为证明AF =GF ,AD =CG ,故只要证明△ADF ≌△GCF .
证明略
思考
图24.4.7
如图24.4.7,你可能记得梯形的面积公式为
h l l S )(2
121+=. 其中1l 、2l 分别为梯形的两底边的长,h 为梯形的高.现在有了梯形中位线,这一公式可以怎样简化呢?它的几何意义是什么?
三、 小结与作业
小结:谈一下你有哪些收获?
作业:P70 练习 习题24.4