二次函数与圆的综合应用
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二次函数与圆(一)
【经典例题】
例1.如图所示,在直角坐标系中,⊙A的半径为4,A的坐标为(2,0),⊙A与x轴交于E、F两点,与y轴交于C、D两点,过C点作⊙A的切线BC交x轴于B.
(1)求直线BC的解析式;
(2)若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线BC上,与x轴的交点恰为⊙A与x轴的交点,求抛物线的解析式;
(3)试判断点C是否在抛物线上,并说明理由.
y
C
·
B E0A
D
F x
例2.已知:如图所示,直线y=3
x+3与x,y轴分别交A、B两点,⊙M经过原点O及A、3
B两点.(1)求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程;
(2)C是⊙M上一点,连结BC交OA于D点,若∠COD=∠CBO,写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式;
(3)若延长BC到E,使DE=2,连结EA,试判断直线EA与⊙O的位置关系,并说明理由.
y
B
M
·
A
D
C
O x
在 AO 上,以 F 为圆心的圆与 y 轴,AC 边相切,切点分别为 O 、D ,⊙F 的半径为 , tan ∠CAO = .
F
O
x
上的点 C (0,- ) ,⊙P 的圆心 P 在 y 轴上,且经过 B 、C 两点,若 b = 3a , AB = 2 3 .
P 例 5.在直角坐标系中,抛物线 y = - x 2 + mx + m + 与 x 轴交于 A 、B 两点.已知点 A 在
例 3.已知:如图所示, Rt ∆AOC 中,直角边 OA 在 x 轴负半轴上,OC 在 y 轴正半轴上,点 F
3 3
2 4
(1)求过 A 、C 两点后一次函数解析的解析式; y (2)求过 E 、D 、O 三点的二次函数的解析式;
(3)证明(2)中抛物线的顶点在直线 AC 上.
C
D
A E
·
例 4.已知:如图所示,抛物线 y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 经过 x 轴上的两点 A( x ,0), B( x ,0) 和 y 轴
1
2
3
2
(1)求抛物线的解析式;
(2)D 在抛物线上,且 C 、D 两点关于抛物线的对称轴对称,问直线 BD 是否经过圆心 P ?并 说明理由;
(3)设直线 BD 交⊙P 于另一点 E ,求经过点 E 的⊙P 的切线的解析式.
y
M
A
O
· B x
D
E
C
Q
4 2
5 4
9 9 9 3
·B E
x轴的负半轴上,点B在x轴的正半轴上,且BO=2AO,点C为抛物线的顶点.
(1)求此抛物线的解析式和经过B、C两点的直线的解析式;
(2)点P在此抛物线的对称轴上,且⊙P与x轴,直线BC都相切,求点P的坐标.
例6.如图所示,在直角坐标系中,O为坐标原点,A点坐标为(-3,0),B点坐标为(12,0),以AB的中点P为圆心,AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,其顶点为M.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)设点D是抛物线与⊙P的第四个交点(除A、B、C三点以外),求直线AD的解析式;(3)判断(2)中的直线MD与⊙P的位置关系,并说明理由.
y
A O
C
P
M D
x
【拓展训练】
1.已知:如图所示,在平面直角坐标系中,过点A(0,2)的直线AB与以坐标原点为圆心,
y
(
3 为半径的圆相切于点 C ,且与 x 轴的负半轴相交于点 B .
(1)求∠BAO 的度数;(2)求直线
AB 的解析式; 3
)若一抛物线的顶点在直线 AB 上,且抛物线的顶点和它与 x 轴的两个交点构
成斜边长为 2 的直角三角形,求此抛物线的解析式.
2.已知抛物线 y = x 2 + ( 3 - 1) x - 3 .(1)如图所示,抛物线与 x 轴交于 A 、B 两点(点 A 在点 B 的左边),与 y 轴交于点 C ,求 A 、B 、C 三点坐标.(2)若⊙E 过 A 、B 、C 三点,求
圆心 E 的坐标和 AC 的长;(3)OE 的延长线交⊙E 于 F ,求过点 F 且与⊙E 相切的直线 l 的
解析式.
y
D
A P
· O E
F
C
Q
B
x
【作业】-----二次函数与圆(一)
1 .如图所示,抛物线 y = x
2 - px - q 与 x 轴交于 A 、 B 两点,与 y 轴交于 C 点,已知
( D
∠ACB = Rt ∠, ∠CAO = α , ∠CBO = β , tan α - tan β = 4 .
(1)求抛物线的解析式,并用配方法求顶点的坐标、对称轴方程;
(2)平行于 x 轴的一条直线交抛物线于 M 、N 两点,若以 MN 为直径的圆正好与 x 轴相切,求
此圆的半径.
2.如图所示,二次函数 y = ax 2 + bx + c 过 A (-1,0)、B (3,0)、C (0,-3),M 为顶点.(1) 求二次函数的解析式;(2) ∆ABM 内切圆圆心为 D ,⊙D 与 AB 相切于 N 与 BM 相切于 E ,求它 的半径; 3)在(1)中二次函数图像上是否存在一点 P ,使 ∆PAN 的面积为 ∆ACM 面积的 2001 倍?若存在,求出 P 点的坐标,若不存在,请说明理由.
y
N A O
B x
·
E
F C
M