2019年中考压轴题汇编(几何部分)

2019年中考压轴题汇编（几何部分）（2019年安徽23题）

23．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB ＝∠BPC＝135°．

（1）求证：△P AB∽△PBC；

（2）求证：P A＝2PC；

（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2?h3．

【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠P AB，即可得出结论；

（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；

（3）先判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△P AB∽△PBC，判断出，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，

∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC

又∠APB＝135°，

∴∠P AB+∠PBA＝45°

∴∠PBC＝∠P AB

又∵∠APB＝∠BPC＝135°，

∴△P AB∽△PBC

（2）∵△P AB∽△PBC

∴

在Rt△ABC中，AB＝AC，

∴

∴

∴P A＝2PC

（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，

∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，

∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°

∴∠APC＝90°，

∴∠EAP+∠ACP＝90°，

又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°

∴∠EAP＝∠PCD，

∴Rt△AEP∽Rt△CDP，

∴，即，

∴h3＝2h2

∵△P AB∽△PBC，

∴，

∴

∴．

即：h12＝h2?h3．

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．

（2019年北京27题）

27．（7分）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．

（1）依题意补全图1；

（2）求证：∠OMP＝∠OPN；

（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M 总有ON＝QP，并证明．

【分析】（1）根据题意画出图形．

（2）由旋转可得∠MPN＝150°，故∠OPN＝150°﹣∠OPM；由∠AOB＝30°和三角形内角和180°可得∠OMP＝180°﹣30°﹣∠OPM＝150°﹣∠OPM，得证．

（3）根据题意画出图形，以ON＝QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP ＝∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM＝PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD ＝NC，DM＝CP．此时加上ON＝QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC＝QD．利用∠AOB＝30°，设PD＝NC＝a，则OP＝2a，OD＝a．再设DM＝CP＝x，所以QD ＝OC＝OP+PC＝2a+x，MQ＝DM+QD＝2a+2x．由于点M、Q关于点H对称，即点H为

MQ中点，故MH＝MQ＝a+x，DH＝MH﹣DM＝a，所以OH＝OD+DH＝a+a＝+1，求得a＝1，故OP＝2．证明过程则把推理过程反过来，以OP＝2为条件，利用构造

全等证得ON＝QP．

【解答】解：（1）如图1所示为所求．

（2）设∠OPM＝α，

∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN

∴∠MPN＝150°，PM＝PN

∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α

∵∠AOB＝30°

∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α

∴∠OMP＝∠OPN

（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：

过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2

∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°

∵∠AOB＝30°，OP＝2

∴PD＝OP＝1

∴OD＝

∵OH＝+1

∴DH＝OH﹣OD＝1

∵∠OMP＝∠OPN

∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN

即∠PMD＝∠NPC

在△PDM与△NCP中

∴△PDM≌△NCP（AAS）

∴PD＝NC，DM＝CP

设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1

∵点M关于点H的对称点为Q

∴HQ＝MH＝x+1

∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x

∴OC＝DQ

在△OCN与△QDP中

∴△OCN≌△QDP（SAS）

∴ON＝QP

【点评】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180°，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第（3）题的解题思路是以ON＝QP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP＝2为条件构造全等证明ON＝QP．

（2019年北京28题）

28．（7分）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．

（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC 中，D，E分别是AB，AC的中点．

①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；

②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．

【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE＝2，最长中内弧即以DE 为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半；

（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，①当t＝时，要注意

圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP 满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．【解答】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，

∴BC＝＝＝4，DE＝BC＝×4＝2，

∴弧＝×2π＝π；

（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE 垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，

①当t＝时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1），

设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，

∵OA＝OC，∠AOC＝90°

∴∠ACO＝45°，

∵DE∥OC

∴∠AED＝∠ACO＝45°

作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF＝

根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；∴m≤

综上所述，m≤或m≥1．

②如图4，设圆心P在AC上，

∵P在DE中垂线上，

∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM＝，

∴P（t，），