中考数学几何证明压轴题

中考数学几何证明压轴

题

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中考专题训练

1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2.

(1)求证：DC=BC;

(2)E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形

状，并证明你的结论；

(3)在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值.

2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延

长线于G ．

（1）求证：△ADE ≌△CBF ；

（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什

么特殊四边形？并证明你的结论．

3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF

的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋

转．

（1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或

测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

4、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。 （1）若sin ∠BAD =35，求CD 的长； （2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留

π）。 5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB

于点G.

（1）求证：点F 是BD 中点；

（2）求证：CG 是⊙O 的切线；

（3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径．

6、如图，已知O 为原点，点A 的坐标为（4，3），

⊙A 的半径为2．过A 作直线l 平行于x 轴，点P 在直线l 上运动．

（１）当点P 在⊙O 上时，请你直接写出它的坐标；

（２）设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由.

7、如图，延长⊙O 的半径OA 到B ，使OA=AB ，

DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点B 作DE 的垂线，

垂足为点C . E B F C D A 图13－2 E A B D G F O M N C 图13－3 A B D E F

O M N

C

图13－1 A ( ) B ( E ) C O D ( F ) C

E

求证：∠ACB=3

1∠OAC .

8、如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为 60．

⑴求AO 与BO 的长；

⑵若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行.

①如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；

②如图３，当A 点下滑到A ’点，B 点向右滑行到B ’点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到P ’点．若∠POP ’＝ 15，试求AA ’的长．

[解析]

⑴AOB Rt ?中,∠O=90,∠α= 60

∴,∠OAB= 30，又ＡＢ＝4米，

中考数学经典几何证明题（一）

1.（1）如图1所示，在四边形ABCD 中，AC =BD ，AC 与BD 相交于点O ，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结EF ，

分别交AC 、BD 于点M N 、，试判断OMN △的形状，并加

以证明；

（2）如图2，在四边形ABCD 中，若AB CD =，E F 、分别

是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，分别与BA CD 、的延长

线交于点M N 、，请在图2中画图并观察，图中是否有相等

的角，若有，请直接写出结论： ；

（3）如图3，在ABC △中，AC AB >，点D 在AC 上，AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，与BA 的延长线交于点M ，若45FEC ∠=?，判断点M 与以AD 为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．

2．（1）如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥于点F ，EG ⊥A C 于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH=EF+EG;

(2) 若点E 在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥A C 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ， 则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

图 1 图2 图3 E D

F E D

A A

B A

C

D

E

F M N O

B G A

F D E C H (3) 如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线,L 在BD 上，且BL=BC, 连结CL ，点E 是CL

上任一点, EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具…有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

(4) 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形， 使它仍然具

有EF 、EG 、ＣH 这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.

3. 如图，△ABC 是等边三角形，F 是AC 的中点，D 在线段BC 上，连接DF ，以DF 为边在DF 的右侧作等边△DFE ，ED 的延长线交AB 于H ，连接EC ，则以下结论：①∠AHE+∠AFD=180°；②AF=21BC ；③当D 在线段BC 上（不与B ，C 重合）运动，其他条件不变时BD

BH 是定值；④当D 在线段BC 上（不与B ，C 重合）运动，其他条件不变时DC

EC BC +21是定值； （1）其中正确的是-------------------；

（2）对于（1）中的结论加以说明； 4. 在ABC △中，AC=BC ，90ACB ∠=?，点D 为AC 的中点．

（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作FH FC ⊥，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加

以证明．

（2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在

（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

5. 如图12，在△ABC 中，D 为BC 的中点，点E 、F 分别在边AC 、AB 上，并且∠ABE =∠ACF ，BE 、CF 交于点O ．过点O 作OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，P 、Q 为垂足．求证：DP=DQ ．

6. 如图。，BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G 。

探究：线段FG 的长与△ABC 三边的关系，并加以证明。

说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分。

①可画出将△ADF 沿BD 折叠后的图形；

②将CE 变为△ABC 的内角平分线。(如图2)

附加题：探究BD 、CE 满足什么条件时，线段FG 的长与△ABC 的周长存在一定的数量关系，并给出证明。

7. 在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠DAB ．

(1)如图①，当∠DAB ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°时，求证：AB ＋AD ＝AC ．

(2)如图②，当∠DAB ＝120°，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．

(3)如图③，当∠DAB ＝90°，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．

8. 设点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，F 是BC 边上一点，线段DE 和AF

相交于点P ，点Q 在线段DE 上，且AQ ∥PC ．

(1)证明：PC ＝2AQ ．

(2)当点F 为BC 的中点时，试比较△PFC 和梯形APCQ 面积的大小关系，并对你的结论加以证明．

9. 两块等腰直角三角板△ABC 和△DEC 如图摆放，其中∠ACB?=∠DCE?=90°，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点．

（1）如图1，若点D 、E 分别在AC 、BC 的延长线上，通过观察和测量，猜想FH 和FG 的数量关系为_______和位置关系为______；

（2）如图2，若将三角板△DEC 绕着点C 顺时针旋转至ACE 在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；

（2）如图3，将图1中的△DEC 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.

AC ＝3，∠BAC ＝90°，点D 大的直角三角板的直角顶点放在D 处． CD ，将三角板绕点D 逆时针旋转，两条直角边分别交

AB 、AC 于点E 、点F ，求出重叠部分AEDF 的面积(直接写出结果)． (2)如图②，若BD ＝CD ，将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AB 于点E 、另一条直角边交AB 的延长线于点F ，设AE ＝x ，重叠部分的面积为y ，求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

(3)若BD ＝2CD ，将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AC 于点F 、另一条直角边交射线AB 于点E ．设CF ＝x (x ＞1)，重叠部分的面积为y ，A

图3 A 图1 图2 A

D

E C H

F G

求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．